Gọi K là giao điểm của AEF với SC.
Trang 1Trường THPT Long Khánh A
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 LỚP 11 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT
Câu 1: Tinh lim 2 1 4 2 2
3
n
+ (1điểm)
Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại x0 = −1
2 3
1 1
( )
1
1 2
khi x x
f x
=
(1điểm)
Câu 3: Chứng minh phương trình x3+6x+ − =1 2 0 có nghiệm dương (1điểm)
Câu 4: Tính '( 1)f − biết
2 4 3 ( ) 2
3
x
f x = x +
(1điểm)
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 2x+1 Biết rằng tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng :6d x+2y− =1 0 (1điểm)
Câu 6: Xác định giá trị của a để '( ) 0f x > ∀ ∈x ¡
3 2
f x = + −x a x + −a x+ (1điểm)
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, SA vuông góc với mặt đáy và SA a= 3 Biết ABCD là hình vuông cạnh a 3
a) Chứng minh BD⊥(SAC) và (SAB)⊥(SAD) (1.5 điểm) b) Tính góc giữa SB và (SAC) (0.5 điểm) c) Tính khoảng cách giữa SA và CD (1điểm) d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD Gọi K là giao điểm của (AEF)
với SC Chứng minh AI ⊥EF (0.5 điểm)
(Hình vẽ 0.5 điểm)
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC KỲ 2 – KHỐI 11 – NĂM HỌC 2010-2011
1)
1điểm
lim
3
lim
3
lim
3 1
1 0 0 4 0
1 0 1
n
n
n n
n
+
=
+
=
+
=
+
= −
0.25
0.25
0.25 0.25 2)
1 ( ) ( 1)
2
0
2
f x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì
0
0
1 ( ) lim ( )
2
x x
→
0.25
0.5 0.25
3)
1điểm
Đặt f x( )= +x3 6x−3, ( )f x liên tục trên [ ]0;1
(0) 3 (0) (1) 0
(1) 4
f
f f f
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong (0;1) hay nghiệm dương
0.25 0.25 0.25 0.25 4)
1điểm
/
4
'( 1) 2 2( 1) 6( 1)
f
0.25 0.25 0.25 0.25 5)
1điểm Ta có: f x'( )= 2 2(2x+x1) '1= 21x 1
Trang 30 0
1
3 1 '( ).( 3) 1 '( )
3
Từ đó ta được:
0 0
3
2.4 1 3
x Suy ra y
+
Phương trình tiếp tuyến: 0 0 0
'( ).( )
y y− = f x x x− ⇒ =y x+
0.25
0.25
0.25
6)
(1điểm)
2 '( ) 3 2( 1) (1 )
f x = x + a− x+ −a
Để thỏa yêu cầu bài toán thì
3 0
0 0
>
∆ <
( 2;1)
Suy ra a∈ − thì thỏa yêu cầu bài toán.
0.25
0.25 0.25 0.25 7)
0.5điểm
0.5
7a)
BD SAC
⊥
Ta có:
( )
AB SAD
AB SAB
⊥
⊂
Từ (1) và (2) suy ra (SAB)⊥(SAD)
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 40.5điểm Ta có: BD
AC
⊥ và BD∩AC O= nên O là hình chiếu của B lên (SAC)
Suy ra: ·BOS là góc cần tìm
Mặt khác: SB SD BD a= = = 6 nên tam giác SBD là tam giác đều
Suy ra ·BOS=300
0.25 0.25 0.25 0.25 7c)
1điểm Ta có:
AD⊥SA SA⊥ ABCD
AD⊥CD (ABCD là hình vuông)
Suy ra: AD là đoạn vuông góc chung
Vậy khoảng cách giữa SA và CD là AD a= 3
0.25 0.25 0.25 0.25 7d)
1điểm
EF BDP ⇒EF ⊥ SAC
Mặt khác: AI⊂(SAC)
Suy ra: EF⊥ AI
0.25 0.25