Đờng cao AH, phân giác BD của ∆ ABC cắt nhau tại I.. Câu 51 điểm: Cho tứ giác ABCD có trung điểm 2 đờng chéo M, N không trùng nhau... Tính độ dài quãng đờng AB.. Chứng minh tam giác ABC
Trang 1đề kiểm tra học kỳ II Năm học 2009-2010 Môn Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(3 điểm):
Giải các phơng trình sau:
a) 3x - 2 = x + 5
b) 2 3 4
x+ = x+
c) 2 1 2 2
x
x+ − =x x x
d) x− = 3 3x+ 1
Câu 2(2 điểm):
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngợc dòng từ bến
B về bến A mất 6 giờ Tính khoảng cách giữa 2 bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nớc là 2 km/h
Câu 3(2 điểm):
Giải các bất phơng trình sau:
a) 3x - 2 < x + 2
b) 2 1 1 3 1
x
− − + ≥ +
c) 1 1
2
x
x− ≥
−
Câu 4(2 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A Đờng cao AH, phân giác BD của ∆ ABC
cắt nhau tại I.
a) Tính AD, DC Biết AB = 6cm; AC = 8cm.
b) Chứng minh ∆ AID là tam giác cân.
Câu 5(1 điểm):
Cho tứ giác ABCD có trung điểm 2 đờng chéo M, N không trùng nhau.
Đờng thẳng MN cắt AD ở P và BC ở Q.
Chứng minh PA = QC
PD QB
hết
-đáp án và biểu điểm
môn toán 8
Trang 2a
3x - 2 = x + 5
2 7 7 2
x x x x
⇔ − = +
⇔ =
⇔ =
Vậy nghiệm của phơng trình là 7
2
x=
0,25đ
0,25đ
b
2 3 4
x+ = x+ 3(2 3) 4( 4)
6 9 4 16
6 4 16 9
2 7 7 2
x x x x
⇔ + = +
⇔ − = −
⇔ =
⇔ =
Vậy nghiệm của phơng trình là 7
2
x=
0,25đ 0,25đ
0,25đ
c
2 1 2 2
x
x+ − =x x x
− − (ĐKXĐ: x≠ 0;x≠ 2)
2 2
( 2) ( 2) 2
0 ( 1) 0
x x
x x
⇔ + − − =
⇔ + − + − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ x = 0 (không thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = -1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phơng trình là x = -1
0,25đ
0,25đ 0,25đ
d
+ Nếu x− ≥ ⇔ ≥ 3 0 x 3
Thì ta có phơng trình: x - 3 = 3x + 1 ⇔ x - 3x = 1 + 3 ⇔ - 2x = 4 ⇔ x = - 2 (không thỏa mãn x≥ 3) + Nếu x - 3 < 0 ⇔ x < 3
Thì ta có phơng trình: - (x - 3) = 3x + 1 ⇔ - x - 3x = 1 - 3 ⇔ - 4x = -2 ⇔ x = 1
2 (thỏa mãn x<3) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 1
2
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
2
Gọi khoảng cách giữa 2 bến A và B là x km (x > 0) Vận tốc ca nô xuôi dòng từ A đến B là
5
x km/h Vận tốc ca nô ngợc dòng từ B về A là
6
x km/h Vì vận tốc của dòng nớc là 2 km/h nên ta có phơng trình
2 2
x− = +x
6x 60 5x 60 x 120
⇔ − = + ⇔ = (thỏa mãn điều kiện) Vậy khoảng cách giữa 2 bến A và B là 120 km
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ
Trang 3a
3x - 2 < x + 2
2 4 2
x x x x
⇔ − < +
⇔ <
⇔ <
Vậy nghiệm của bpt là x < 2
0,25đ 0,25đ
b
2 1 1 3 1
x
− − + ≥ + 3(2 1) 6( 1) 2(3 1)
1 6
x x
⇔ − − + ≥ +
⇔ − − ≥ + −
⇔ − ≥ −
⇔ ≤
Vậy nghiệm của bpt là 1
6
x≤
0,25đ
0,25đ 0,25đ
c
1 1
2
x
x− ≥
− ( ĐKXĐ: x≠ 2)
1
1 0 2
0 2
1 0 2
2 0
x x
x
x x
−
⇔ − ≥
−
− − +
−
−
⇔ − >
⇔x > 2 Vậy nghiệm của bpt là x > 2
0,25đ
0,25đ 0,25đ
4
I A
D
0,5đ
a
- áp dụng định lí pitago vào ∆ ABC vuông tại A ta có
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 => BC = 10 cm
- Đặt AD = x cm => CD = 8 - x cm
áp dụng tính chất đờng phân giác của ∆ ABC ta có AD DC
BA = BC
8
6 10
−
=> AD = 3 cm => DC = 8 - 3 = 5cm
0,25đ
0,25đ 0,25đ
b
Xét ∆BHI và ∆BAD có BHIã =BAD 90ã = 0
ABD HBI= ( BD là đờng phân giác của ∆ ABC)
=> ∆ BHI ∆ BAD
=> BIH BDAã = ã
mà ãBIH = ãAID (2 góc đối đỉnh)
=> AID ADIã = ã
=> ∆AID cân tại A
0,25đ
0,5đ
Trang 4F
E
Q
P
M
N A
D
B
C
Từ A và C kẻ các đờng thẳng song song với BD cắt đờng thẳng
MN lần lợt tại E và F
Vì CF // BM => QC= CF
QB BM (1) Vì AE // DM => PA = AE
PD DM (2)
Do ∆ NAE = NCF ∆ (g.c.g) => AE = CF (3) mặt khác DM = BM (4)
Từ (1), (2), (3), (4) => PA = QC
PD QB
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Đề kiểm tra học kì II năm học 2009 - 2010
Môn : Toán 8
Thời gian làm bài : 90 phút
Câu 1 : (3 điểm) Giải các phơng trình sau:
a) 5x – 10 = 0
b) x(x + 3) – x2 = x – 1
c) 5x 1 x 2− − + =
1
Câu 2 : (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời lái ô tô đi từ A đến B với thời gian dự định là 2 giờ Nhng vì trời ma nên vận tốc trung bình của ô tô phải giảm đi 10 km/h, do vậy ngời đó mất 2,5 giờ mới đến đợc B Tính độ dài quãng đờng AB
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải bất phơng trình: 4x – 3 > 17
b) Tìm các số tự nhiên n thoả mãn giá trị của biểu thức (n + 1)2 không lớn hơn giá trị của biểu thức n(n – 1) + 15
Câu 4 : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm
a) Tính độ dài cạnh BC
b) Vẽ đờng cao AH (H∈BC) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA
c) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC
Câu 5 : (1 điểm)
Cho tam giác MNP, đờng trung tuyến MI Gọi IA, IB lần lợt là tia phân giác của các góc MIN, MIP (A∈MN, B∈MP)
a) Chứng minh AB // NP
Trang 5b) Biết ãNMP = 900, MN = a, NP = b Tính diện tích tam giác MAB theo a, b.
Đáp án - Biểu điểm kiểm tra học kì II năm học 2009-2010
Môn : Toán 8
Câu 1: (3đ) Giải đúng mỗi phơng trình đợc 1 điểm:
a) 5x – 10 = 0 ⇔ 5x = 10
0,5đ
⇔ x = 2
0,5đ
b) x(x + 3) – x2 = x – 1 ⇔ x2 + 3x – x2 = x – 1
0,25đ
⇔ 3x – x = –1
0,25đ
⇔ 2x = –1
0,25đ
⇔ x = – 0,5
0,25đ
c) 5x 1 x 2− − + =
1
2 3 ⇔ 3(5x 1) 2(x 2) 6
− − + =
0,25đ
⇔ 15x – 3 – 2x – 4 = 6
0,25đ
⇔ 13x = 13
0,25đ
⇔ x = 1
0,25đ
Câu 2 : (2đ)
Gọi độ dài quãng đờng AB là x (km) Điều kiện : x > 0
0,25đ
Vì ngời lái ô tô đi từ A đến B với thời gian dự định là 2 giờ nên vận
tốc dự định của ô tô là x
2 (km/h).
0,25đ
Vì ngời đó mất 2,5 giờ mới đến đợc B nên vận tốc thực tế của ô tô
là x
2,5 (km/h).
0,25đ
Vì trời ma, vận tốc trung bình của ô tô phải giảm đi 10 km/h nên
ta có phơng trình: x x 10
⇔ 0,5x – 0,4 x = 10
0,25đ
Trang 6⇔ 0,1x = 10
0,25đ
⇔ x = 100 (thoả mãn)
0,25đ
Vậy độ dài quãng đờng AB là 100 km 0,25đ
Câu 3 : (2đ) Làm đúng mỗi phần đợc 1 điểm:
a) Giải bất phơng trình: 4x – 3 > 17.
4x – 3 > 17 ⇔ 4x > 17 + 3
0,25đ
⇔ 4x > 20
0,25đ
⇔ x > 5
0,5đ
b) Theo đề bài ta có bất phơng trình:
(n + 1)2 ≤ n(n – 1) + 15
0,25đ
⇔ n2 + 2n + 1 ≤ n2 – n + 15
⇔ n2 + 2n – n2 + n ≤ 15 – 1
⇔ 3n ≤ 14
⇔ n ≤ 14
3
0,5đ
Vì n là số tự nhiên và n ≤ 14
3 nên n ∈ {0; 1; 2; 3; 4}
Vậy các giá trị cần tìm của n là n ∈ {0; 1; 2; 3; 4}
0,25đ
Câu 4 : (2đ) Vẽ hình đúng đợc 0,25 điểm
a) Tính độ dài cạnh BC
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pitago ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 82 + 62 = 100
0,25đ
=> BC = 10 (cm)
0,25đ
b) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA
∆ABC và ∆HBA có:
+ ãBAC BHA=ã = 900
+ àB chung
=> ∆ABC ∆HBA ( g – g )
0,5đ
c) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC
Theo kết quả câu a): ∆ABC ∆HBA
=> AB AC BC
HB = HA =AB hay 8 6 10
HB =HA = 8
0,25đ
=> HA = 6.8
10 = 4,8 (cm) và HB =
2
8
10= 6,4 (cm) 0,25đ
Vì HB + HC = BC nên HC = BC – HB = 10 – 6,4 = 3,6 (cm)
0,25đ
6 8
B
A
Trang 7Câu 5 : (1đ)
a) Chứng minh AB // NP
+ ∆MNI có IA là tia phân giác của góc MIN, áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác ta có: MA MI
+ ∆MPI có IB là tia phân giác của góc MIP, áp dụng tính chất đờng
phân giác của tam giác ta có: MB MI
+ Vì MI là đờng trung tuyến của ∆MNP nên IN = IP => MI MI
IN = IP (3)
0,25đ
Từ (1), (2) và (3) => MA MB
AN = BP Theo định lí Talét đảo suy ra AB // NP
0,25đ
b) Tính diện tích tam giác MAB theo a và b
∆MNP vuông tại M, MI là đờng trung tuyến
=> MI = IN = IP = 1
2NP
=> ∆MNI cân tại I
=> Đờng phân giác IA của ∆MNI đồng thời là đờng trung tuyến
=> MA = 1
2MN Theo kết quả câu a): AB // NP
=> ∆MAB ∆MNP theo tỉ số đồng dạng k = MA 1
MN = 2
=> MAB 2
MNP
k
S = = 4 hay SMAB = 1
4SMNP
0,25đ
∆MNP vuông tại M => MP2 = NP2 – MN2 = b2 – a2
=> MP = b2 −a2
=> SMNP = MN.MP a b2 a2
−
=
=> SMAB = 1
4SMNP = 14.
2 2
a b a 2
− = a b2 a2
8
−
Vậy SMAB = a b2 a2
8
− (đơn vị diện tích)
0,25đ
Môn :toán 8-thời gian 90phút Năm học: 2009-2010
Câu1(1đ): Giải phơng trình sau:
a/ 13x +25 = -1
I
B M
P N
A
Trang 8b/4 5 1
3 6 2
x− =
Câu2(2đ) :Cho bi u th c :A =ể ứ 3 1 2 5 7 2 2
− − − + − −
a/Tìm giá trị của x để A có nghĩa
b/Rút gọn biểu thức A
c/Tìm giá trị của x để A=1
d/ Tìm giá trị của x để A > 0
Câu3(2đ):Hai tủ sách có tất cả 120 cuốn sách.Nếu chuyển từ tủ I sang tủ II là
15 cuốn ,thì số sách của tủ II gấp ba lần số sách của tủ I Hỏi lúc đầu mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách
Câu4(4đ):Cho hình chữ nhật ABCD,có AB = 10 cm, BC = 8 cm.Trên CD xác
định điểm I sao cho 2
3
DI
IC = Đờng thẳng BI cắt đờng thẳng AD tại E
a/Chứng minh tam giác DIE đồng dạng với tam giác CIB
b/Tính độ dài các đoạn thẳng DE và CI Từ đó chứng minh tam giác ABI cân
c/Chứng minh AB.CB = AE.CI
Câu5(1đ):Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.
a/So sánh các số a, b, c với 1
b/từ đó chứng minh 1 +abc < ab +bc +ac
…….Hết……
Hớng dẫn chấm.-Môn toán 8
Đáp án –biểu điểm
Câu1(1đ) a/Tìm đợc x =-2
Câu2(2đ)
a/Biểu thứcA có nghĩa 1 0 1
⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ≠ ⇔ ≠ −
b/Rút gọn A =(3 1)( 3) (2 5)( 1) 7 2 2
( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3)
− + − − − + − −
= 3 9 3
( 1)( 3) 1
x
+ =
c/ĐểA=1 31 1 1 3
4
x x
x
⇔ = ⇔ − =
−
⇔ =
d/ĐểA> 0⇔x-1> 0 ⇔x>1
0,25 0,25 0,25 0,25
0,5 0,5
Câu3(2đ) Gọi số sách lúc đầu đựng ở tủ I là x(cuốn, x∈N,
15<x<120).Khi đó số sách ở tủ II là 120 – x(cuốn) Sauk hi chuyển từ tủ I sang tủ II là 15 cuốn ,
Còn lại số sách tủ I là x –15 (cuốn),tủ II có là :120 –x
0,25 0,25
Trang 9+15 Theo bài ra ta có phơng trình: 120 – x+ 15 =3(x-15) Giải phơng trình x =45
Với x =45 thoả mãn ĐK đặt ra của ẩn Vậy số sách lúc đầu đựng ở tủ I là 45 cuốn sách
Số sách lúc đầu đựng ở tủ II là 120 – 45 = 75( cuốn sách.)
0,5 0,5 0,5
Câu4(4đ)
a/(1đ)
b/1,5đ
c/(1đ)
Vẽ hình đúng ,ghi GT-KL
A B GT:…
I
D I C KL:…
Chứng minh:
E a/Xét ∆DIE CIB, ∆ có:ãIDE BIC= ã =900(vì ABCD là
hình chữ nhật)
DIE CIB= (vì hai góc đối đỉnh)⇒ ∆DIE: ∆CIB(g.g)(1) b/Từ (1)⇒ 2
3
DI DE
CI = BC =
⇒DE=2 2.8 16 5,3( )
BC
cm
= = ≈
DI =CI = DI CI+ = DC = AB = =
+
⇒CI =3.2=6(cm) Tam giác BCI vuông tại C⇒BI2=BC2+CI2
⇒Tính đợc BI=10(cm)
Do đố AB = BI=10(cm)Vậytam giác ABI cân tại B
c/chứng minh đợc:
( )
ABE CIB g g
AB AE
AB CB AE CI
CI CB
:
0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu5(1đ) a/Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
bất đẳng thức tam giác a < b+c⇔a + a< a + b + c
⇔2a< a +b+c(Vì a +b +c = 2)
⇔a<1 Tơng tự ta có b < 1, c< 1 b/Theo câu a có:(1- a)(1- b)(1- c) > 0
⇔(1- a - b +ab)(1 – c)>0
⇔1 – a – b – c +ac +ab + bc - abc > 0.Thay a +b + c
=2
⇔ab +bc +ac >1 + abc Vậy1 + abc<ab +bc +ac
0,25 0,25 0,25 0,25