ÔN TẬP HK II - TOÁN 9

LÝ THUYẾT: ĐẠI SỐ: Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ thể cĩ bao nhiêu nghiệm?. *Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức d

HƯỚNG DẪN ƠN TẬP TỐN LỚP 9 – HỌC KÌ II ( 2010 – 2011)

I LÝ THUYẾT:

ĐẠI SỐ:

Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc

nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ thể cĩ bao nhiêu nghiệm?

*Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c+ = ,Trong đĩ a,b và c là các số đã

biết ( a≠0 hoặc b≠0 ).Phương trình bậc nhất hai ẩn luơn luơn cĩ vơ số nghiệm.

Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương

trình bậc nhất hai ẩn số

* Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ dạng

ax by c

a x b y c





Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ

thể cĩ bao nhiêu nghiệm?

* Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cĩ thể

vơ nghiệm, cĩ 1 nghiệm duy nhất hoặc vơ số nghiệm.

Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương

đương

Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai:

a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng cĩ vơ

số nghiệm thì luơn tương đương với nhau

b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm thì luơn tương đương với nhau

* Hai hệ phương trình được gọi là tương đương

với nhau nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm.

a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng cĩ

vơ số nghiệm thì luơn tương đương với nhau ( s ) b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm thì luơn tương đương với nhau.( Đ)

Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc

hai Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình − 3x2 + 3x+ = 1 0

*Dạng tổng quát của phương trình bậc hai

ax 2 + bx+ c = 0 (a≠0)

Áp dụng : −3x2 + 3x + =1 0(a= −3;b = 3;c =1)

Câu 9: Lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm

cĩ tổng là S và cĩ tích là P (khơng cần chứng minh )

Áp dung : Lập phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là:2+ 2 và 2− 2

Câu 10:

Nêu tính chất của hàm số y ax a = 2( ≠ 0)

Câu 6

cơng thức tính ngiệm của phương trình trên

Áp dụng : Giải phương trình

* Nếu

Nếu Nếu

Áp dụng

− + = ∆ = − − = − ⇒ ∆ = − <

Vậy phương trình vơ nghiệm

Câu 7

− 5x2 + 4x+ = 3 0

*

x1 x2 b

a

− + =

Áp dụng

a = -5<0

cĩ hai nghiệm phân biệt

Câu 8

nghiệm x

1 2

2 2

4

x x

x x

Câu9

tích hai nghịêm là P cĩ dạng

Áp dụng

2

Vậy 2+ 2 và 2- 2 là hai nghiệm của phương trình

Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ

trong một đường tròn hay trong hai đường tròn

bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng

nhau”

Ta có: »AB CD=» ( GT)

⇒ ·AOB COD=·

( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau )

Nên : VAOB=VCOD ( c.g.c)

⇒ AB = CD (đpcm)

Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong

một đường tròn Áp dụng:Cho đường tròn (O),

đường kính AB Vẽ dây AM sao cho·AMO=400

Tính số đo cung BM ?

O

M

GT

Cho đường tròn (O) AB: Đường kính Dây AM sao cho:

40

AMO= KL

Tính ·BOM ?

Ta có:OA = OB ( bán kính)

⇒ VAOM cân tại O

⇒ ·BOM = 2·AMO=2.400=800

( đlí về góc ngoài∆ AOM)

Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai

cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

(Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp:

một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả

đường tròn)

Ta có: ·AOC OCD=· ( So le trong)

BOD ODC· =· ( So le trong)

Mà OCD ODC· =· ( VOCD cân tại O)

⇒ ·AOC BOD=· ⇒ »AC BD=»

( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng

nhau)

Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ

và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON sao cho:·AOM =40 ,0 ·BON=800 So sánh:

AM, MN và NB ?

O A

M

B

N

GT

Cho đường tròn (O) M,N∈ (O):

AOM = BON = KL

So sánh: AM, MN, BN?

Ta có:

·

0

0 0 0

180

MON

= − − ( vì ·

0

180

AOB= ) ⇒ ·AOM <·MON<·NOB

⇒ ¼AM <MN¼ <NB» ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn)

⇒ AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn)

Câu 5: Chứng minh đlí:“ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng

số đo hai góc đối diện bằng 1800 ”

O

GT

Cho đường tròn (O) ABCD nội tiếp (O)

KL

0 0

180 180

A C

B D

+ = + =

Ta có: µA= 12sđ¼BCD ( Đlí về góc nội tiếp)

µC = 12sđBAD¼ (Đlí về góc nội tiếp) ⇒ µ µ 1

2

A C+ = sđ(BCD BAD¼ +¼ ) =1

180

Tương tự: µB D+ =µ 1800 ( hoặc µB D+ =µ 3600−1800 =1800 ( tính chất tổng 4 góc của tứ giác)

O

GT

Cho đường tròn (O) CD: dây cung AB: đường kính

AB // CD

KL »AC BD= »

O A

B

C

D

GT

Cho đường tròn (O)

AB CD= KL

AB = CD

Cõu 6: Chứng minh định lớ: “ Trong một đường

trũn, số đo của gúc nội tiếp bằng nửa số đo của

cung bị chắn( Chỉ chứng minh một trường hợp: cú

một cạnh của gúc đi qua tõm )

GT : Cho (O ; R)

ãBAC là góc nội tiếp

KL : chứng minh BACã 1

2

= sđ ằBC

Chứng minh: Trờng hợp: Tâm O nằm trên 1 cạnh

của góc ãBAC:

Ta có: OA=OB = R ⇒ ∆AOBcân tại O

⇒ ãBAC = 1ã

2

= sđ ằBC (đpcm)

Cõu 7: Chứng minh định lớ: “Số đo của gúc tạo

bởi tia tiếp tuyến và dõy cung bằng nửa số đo của

cung bị chắn”

( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tõm O của

đường trũn nằm ở ngoài của gúc)

Tâm O nằm bên ngoài góc ãBAx:

GT

Cho đường trũn (O)

ãxAB: gúc tạo bởi tia tiếp tuyến

Và dõy cung

KL ãxAB=1

2sđằAB

Vẽ đờng cao OH của ∆AOB cân tại O ta có:

BAxã =ãAOH (1) (Hai góc cùng phụ với ãOAH )

Mà: ãAOH = 1

2sđ ằAB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BAxã 1

2

= sđ ằAB (đpcm)

Cõu 9: Nờu cỏch tớnh độ dài cung n0của hỡnh quạt

trũn bỏn kớnh R Áp dụng: Cho đường trũn ( O; R

= 3 cm)

Tớnh độ dài cung AB cú số đo bằng 600?

Ta cú: ằ

180

AB

Rn

l =π

Với:R = 3cm và n = sđằ 0

60

AB= ( gt) Vậy: ằ

.3.60

180

AB

l =π =π cm

Cõu 8: Chứng minh định lớ: “ Số đo của gúc cú đỉnh ở

bờn trong đường trũn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn”

n

E O D

C A

B

m

GT

Cho đường trũn (O)

ãBEC : gúc cú đỉnh bờn trong(O) KL

ãBEC =1

2sđ(ẳBnC AmD+ẳ

Xột tam giỏc BDE, ta cú:

ãBEC= B Dà +à ( định lớ gúc ngoài của tam giỏc BDE)

Mà à 1

2

B= sđẳAmD (Đlớ về gúc nội tiếp )

2

D= sđBnCẳ (Đlớ về gúc nội tiếp ) Nờn: ãBEC = 1

2 sđ(ẳAmD+ẳBnC

Cõu 10: Cho tứ giỏc ABCD ngoại tiếp một đường trũn

(O)

Chứng minh: AB + CD = AD + BC

Ta cú: AM = AQ ( Tớnh chất 2 tiếp tuyến giao nhau)

BM = BN (…nt…)

DP = DQ (…nt…)

CP = CN (…nt…) Cộng từng vế, ta cú:

AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm)

O

A

Cho đường trũn (O; R = 3cm)

Sđ ằ 0

60

AB= KL

Tớnh độ dài ằAB



O

H

B

O A

D

B

C

M

N

P

Q GT Cho đường trũn (O)ABCD ngoại tiếp

đường trũn (O)

KL AB+CD = AD+BC

II.BÀI TẬP:

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a/ 3x y x−2y=31

 + = −



b/ 3 5 1

x y

x y



 + = −



c/ 43x x+32y y=1510

 + =

x y

x y







d/ 3 5

x y









⇔ 



x



⇔ 



16

y

⇔ + = ⇔ = ⇔ = e/

8

8

x y

x y

 + =





 − =



Cộng từng vế hai phương trình ta được: 2 1 x 2

x = ⇔ =

Thay x=2 vào 1 1x+ =y 58 được: 1 5 1 1 1 8

y = − ⇔ = ⇔ =y Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 ; 8)

f/

1 2

6 2

x y x y

x y x y







2

x y x y

+ − Điều kiện

2

x y y x

≠





 ≠−



Ta có hệ phương trình 2 1

a b

a b

− =



 + =

 Giải ra ta được

1 1

a b

=



 =



Giải hệ phương trình

1 1 2

1 1

x y

x y

 +





 −



2

3

x

x y

x y

y

 =

 + =



( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)=

2 3 1 3

x

y

 =



 =





 + = − −





⇔

33

8

y

x y

y

x

−

 =





Vậy ( ; ) (29; 33)

x y = −

Bài 2:

Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 2 12

ax by

ax by



 − = −

 Có nghiệm là (x= −2;y=1)

Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 3 1

2

mx y

x ny



 + = −

 nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.

Giải câu 1: 2ax ax by+2by=126

 − = −

 Do (x= −2;y=1) là nghiệm của hệ phương trình

Nên 4 12

a b

a b

− + =



− − = −



3

Câu 2: mx x ny+3y=21

 + = −

 Do (x= −2;y=3) là nghiệm của hệ phương trình Nên −22 3m+n3.3 1=2

− + = −

m n



⇔ − + = −



Bài 3:

Câu 1: Cho hệ phương trình: 3 5

mx y

x y



 + =

 Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình 2 5

3

x y

ax y a



 + =

 a/ Có một nghiệm duy nhất ; b/ Vô nghiệm.

Câu 3: Cho hệ phương trình 3

x y m

x y



 − =

 Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.

Giải

Câu 1: 4mx x +63y y=95

 + =

 Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

m

m

Câu 2: ax x+23y y a=5

 + =

 a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

a

b/ Hệ phương trình vô nghiệm 1 2 5 3

⇔ = ≠ ⇔ =

Câu 3: 3

x y m

x y



 − =

−

=

− Nếu

1

4

m m

= ⇔ = thì hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu 1 4

m m

≠ ⇔ ≠ thì hệ phương trình vô nghiệm

Bài 4:

Câu 1: Xác định hàm số y ax b= + biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm

a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)

Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b= + biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm

A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y= −x và y= − +2x 1

Giải

Câu 1:a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên 2a b+ =4

Và qua B(-5 ; 4) nên − + =5a b 4Ta có hệ pt 2 4

a b

a b

+ =



− + =



a

a b

=





0 4

a b

=



⇔  =

 Vậy y=4 b/ Vì đường thẳng y ax b= + qua A(3 ; -1) nên 3a b+ = −1Và qua B(-2 ; 9) nên − + =2a b 9

Ta có hệ phương trình 3 1 5 10

Câu 2:

.Xác định giao điểm B của hai đường thẳng : y= −x và y= − +2x 1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:− = − +x 2x 1 ⇔ =x 1⇒ = −y 1Vậy B(1 ; -1)

.Xác định tiếp đường thẳng đi qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) được y=2x−3

Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)

a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1

b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng

c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P)

Giải

a/

2

( )

A A

A A

ì

b/ Bảng giá trị của y=-2x-3 và y = - x2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :

3

x

x

é =-ê

ê = ë

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)

c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :- x2=- 2x m+ Û x2- 2m m+ =0

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û D = -' 1 m> Û0 m<1

Với m<1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

d/ (d) tiếp xúc với (P) Û D = Û -' 0 1 m= Û0 m=1

(d) không cắt (P) Û D < Û - ' 0 1 m< Û 0 m> 1

Bài 6: Giải phương trình :

2

3

Giải :

1/ 3x2 +75 0;3= x2 +75 0> "x Nên phương trình vô nghiệm

2/

1

2

24

24 3

x

x

ê

=-ë

2

9

9

x

x

é = ê

2

0

11

x

x

é = ê

5/

1

2

0

7

x

x

é = ê ê

ê = ê

Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )

1/−x2 =5x−14; 2 / 3x2+10x=80 0;3/ 25= x2−20x+ =4 0

x 0 -3/2 y=-2x-3 -3 0

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=-x2 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

Giải : 1/ − =x2 5x−14Û x2+5x - 14 0(= a=1;b=5;c = - 14);D =25 56 81 0+ = > Þ x1 =2;x2 = - 7

2/ 3x2+10x+80 0= (a=3;b=10;c=80);D'= 25-240 = -215<0 Phương trình vơ nghiệm

3/ 25x2−20x+ =4 0(a=25;b= −20;c=4) ;D'=(-10)2 -25.4 =0

Phương trình cĩ nghệm kép : 1 2

b

x x

a

−

Bài 8:Định m để phương trình :

2

a/ 3x 2x m 0 vô nghiệm ;b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt

c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép

Giải a/ 3x2−2x m+ =0(a=3; 'b = −1;c m= ) ;D'= (-1)2 -3m = 1-3m

Để phương trình vơ nghiệm D'<0 suy ra 1-3m<0 hay 1

3

m>

Với 1

3

m> thì phương trình đã cho vơ nghiệm

b/ 2x2 + mx - m2 = 0 (a = 2;b = m; c =- m2) ;D= m2 -4.2(-m2)= m2 +8 m2=9 m2

Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt Û D > Û0 9m2> Û0 m¹ 0

c/ 25 x2 + mx +2 = 0 (a = 25;b = m;c = 2);D= m2 -4.25.2= m2 -200

Để phương trình cĩ nghiệm kép thì D=0 2 1

2

10 2

200 0

10 2

m m

m

ê

=-ê

Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)

1/ Chứng tỏ rằng phương trình cĩ nghiệm với mọi m

2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại

3/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau

4/ Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau

5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ;

6/ Tìm m để x12+x22 đạt gía trị lớn nhất

7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;

8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 khơng phụ thuộc vào m

9/ Tính x13+x23

Giải:

1/ x2 + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m) D=(m+1)2 -4.1.m= (m+1)2³ 0 với mọi m

2/Thay x = -2 vào (1) ta được (-2)2 +(m+1)(-2) + m = 0 4-2m-2+ m = 0Û m = 2

x x1 2 c m 2.x2 2 x2 1

a

3/ Phương trình cĩ hai nghiệm đối nhau Û x1 +x2 =0Û -(m+1) = 0Û m = -1

4/Phương trình cĩ hai nghiệm nghịch đảo nhau Û x1 x2=1Û m = 1

5/Theo hệ thức Vi-et

1 2

1 2

1 2

m 3

ïï

ïỵ

é

=-ê

Û

ê =

ë

6/Theo hệ thức Vi-et

1 2

1 2

ïï

ïỵ

Dấu ‘ =’ xảy ra khi m=0 Vậy : GTNN là 1 khi m=0

Vậy với m = -1 hoặc m = 3 thì x1− =x2 2

7/ Phương trình có hai nghiệm đều dương Û

2

ì

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm đều dương

8/Ta có

1 2 1 2

x x x x

-Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m

9/Ta có

1 2

1 2

1 2

1/

15 2( 0)

3

5

x

x

x

é =-ê

ê = ë

(Thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5

2/

2

1

x

x

-Vậy phương trình vô nghiệm

3/ 2x4 - 7x2 – 4 = 0 Đặt t=x2³ 0 Ta có phương trình : 2

1 2

2

2 4

2

t t

x x

x

é = ê

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 2

và x2 = -2

4/

5 3 2

1 0

1

x

é = ê

ê

Vậy nghiệm của phương trình là x1 =1;x2 = −1

II.BÀI TẬP:

Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn AB lấy điểm M

( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P Chứng minh :

a/ Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn

b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành

c/ Tích CM.CN không đổi

d

C

D

N P

GT

Cho đường tròn(O;R)

AB, CD: đường kính, AB ⊥ CD tại O

M∈AB, CM cắt (O) tại N Đường thẳng d ⊥AB tại M Tiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P

KL

a/ OMNP nội tiếp được 1 đường tròn b/ CMPO là hình bình hành

c/ CM.CN không đổi

a/ Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn:

Ta có: OMP· =900 ( d ⊥AB)Và ONP· =900 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính)

⇒ OMP ONP· =·

Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 cạnh dưới 1 góc không đổi)

b/ Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:

Ta có: · 1

2

AMC= sđ(»AC BN+» ) ( Định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn(O))

và · 1

2

CNx= sđ(BC BN» +» ) ( Định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và 1 dây cung)

mà sđ»AC= sđ»BC= 0

90 ( do AB ⊥ CD)

Do đó: ·AMC= ·CNx (1)

Ta lại có: ·CNx= ·MOP ( cùng bù với ·MNP) (2)

Từ (1), (2) ⇒ ·AMC= ·MOP

Mà ·AMC, ·MOP ở vị trí so le trong =>: CM // OP (3)

Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4)

Từ (3), (4) ⇒ CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)

c/ Chứng minh tích CM.CN không đổi:

Ta có: CND· =900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

Nên ta chứng minh được: VOMC: VNDC(g.g)⇒ CM CO

CD =CN

Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R2

Mà R không đổi ⇒ 2R2 không đổi

Nên: CM.CN không đổi (đpcm)

Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R

Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I Tia BA cắt tia CM tại D

a/ Chứng minh: DI ⊥ BC

b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

c/ Giả sử ·AMB=450.Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM

I

M

O

D

Cho đường tròn (O), đường kính :

BC = 2R

A∈(O): BA = R; M∈cung AC nhỏ.

BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D

45

ABM = : (c)

KL

a/ DI ⊥BC b/ AIMD nội tiếp (O) c/ Tính độ dài AC và SquatAOM ? a/ Chứng minh : DI ⊥BC:

Ta có: · 0

90

BAC = ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) ⇒ CA ⊥ BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (1)

Và BMC· =900( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)

⇒ BM ⊥ CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC (2)

Từ (1), (2) ⇒ I là trực tâm của tam giác BDC

⇒ DI là đường cao thứ ba của tam giác BDC

Nên DI ⊥ BC

b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn:

Ta có: IAD· =900 ( CA ⊥ BD )

Và ·IMD=900( BM ⊥ CD

⇒ ·IAD + ·IMD=900+ 0 0

Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn

( Tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 0

c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM:

*Tính AD:

Nếu ·ABM =450thì VABIvuông cân tại A ( Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 450) ⇒ AB = AI = R

Xét tam giác ADI vuông tại A ,ta có: ·ADI =·AMI ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…)

Mà · 1

2

AMI = sđ»AB= 1 0 0

2 = ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn và VAOBđều) Nên: ·ADI =300

Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều

⇒ ID = 2R Lúc đó: AD = ID2−AI2 = 3R2 =R 3(đvđd)

* Tính diện tích hình quạt AOM:

Ta có: SquatAOM = 2

360

R n

AOM = ABM =