Tìm số đo các cạnh của mỗi hình vuông này.. Chứng minh rằng tổng : MQ MN MP AQ + BN + CP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trong của ∆ABC.. Chứng minh các điểm M, N, P, Q
Trang 1TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN THI KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN
- MÔN TOÁN 8
Bài 1: Giải phương trình: (1,5 điểm)
−
2 – 3x + 3| = 3x – x2 - 1
Bài 2:(1 điểm) a) Tìm x thỏa : 6x3 7x2 2 5x+2 5
2x x 1 x
+ +
b) Tìm các giá trị m để phương trình (ẩn số x): 4x - 1 3
Bài 3: (1 điểm)Cho biểu thức A =
1 1
x y y x
+ + .
a) Rút gọn A
b) Tìm các cặp giá trị nguyên dương của x, y với x + y ≤ 50 và A có giá trị bằng 8
Bài 4: (1,5 điểm)a) Với a, b là các số dương Chứng minh rằng: 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3
a + b + c ≥ + +
Bài 5: (1 điểm)
a)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình : y(x – 1) = x2 + 2
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = - x2 – y2 + xy + 2x + 2y
Bài 6: (1 điểm)Hiệu số đo chu vi của hai hình vuông là 32m và hiệu số đo diện tích của chúng
là 464m2 Tìm số đo các cạnh của mỗi hình vuông này
Bài 7: (1,5 điểm)Cho ∆ABC nhọn, M là điểm thuộc miền trong của tam giác, các đường thẳng
AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại Q, N, P Chứng minh rằng tổng :
MQ MN MP
AQ + BN + CP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trong của ∆ABC
Bài 8: (1,5 điểm)Cho ∆ABC có các đường cao AH, BD, và CE Gọi hình chiếu của H trên các đường thẳng AB, BD, CE và AC lần lượt là M, N, P, Q Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng
Trang 2Hết
-ĐÁP ÁN:
Bài 1: Giải phương trình:
a) S = {0}
b) Vì x2 – 3x + 3 = (x – 3/2)2 + ¾ > 0 với mọi x
=> x2 – 3x + 3 = 3x – x2 – 1
2x2 - 6x + 4 = 0
(x – 1)(x – 2) = 0
S = {1; 2}
Bài 2: a) Ở VT lấy tử chia mẫu được thương là 3x + 2 dư bằng 0.
3x + 2 = x – 5 x = -7/2
b) Đk: x ≠ 1 Biến đổi pt về dạng: (m – 1)x = m + 2
1
m m
+
−
Phương trình có nghiệm âm
2 0 1 2 1 1
m m m m
+
<
−
+
−
-2 < m< 1
Bài 3: Cho biểu thức A =
1 1
x y y x
+ + .
a) Rút gọn A = x/y
b) A = 8 => x / y = 8 x = 8y vì x + y ≤ 50 9y ≤ 50 y ≤ 5
(8; 1) , (16; 2), (24; 3), (32; 4), (40; 5)
Bài 4: a) Chứng minh rằng: 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3
Biến đổi tương đương 3(a + b)(a – b)2≥ 0 đúng
Vậy 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Dấu “=” a = b
a + b + c ≥ + +
+ = + ÷≥
ac ab c b
+ = + ÷≥
bc ab c a
+ = + ÷≥
2(bc ac ab) 2(a b c)
Bài 5: a) Ta có : y(x – 1) = x2 + 2(1)
Nếu x – 1 = 0 => (1) : 0 = 3 vô lí
Trang 3Nếu x -1 ≠ 0 => (1) y = 2 2 1 3
x
x
x + = + + x
X, y thuộc số nguyên => x – 1 thuộc Ư(3)
x = -2; 4; 0; 2 y = -2; 6; -2; 6 b) B = - x2 – y2 + xy + 2x + 2y
2B = - 2x2 – 2y2 + 2xy + 4x + 4y
2B = 8 – [(x – y)2 + (x – 2)2 + (y – 2)2] ≤ 8
B ≤ 4
Bài 6: goi số đo mỗi cạnh của hình vuông nhỏ là a (m, x > 0)
số đo mỗi cạnh của hình vuông nhỏ là (4a + 32):4 = a + 8
ta có pt: (a + 8)2 – a2 = 464 a = 25
Bài 7:
AQ + BN + CP =
Kẻ AH, MK cùng vuông góc BC
ABC
S
MQ MK
QA = AH = S
BN = S CP = S
1
ABC
MQ MN MP
AQ BN CP S
Bài 8: Cho ∆ABC có các đường cao AH, BD, và CE Gọi hình chiếu của H trên các đường thẳng AB, BD, CE và AC lần lượt là M, N, P, Q Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng
D
CQ CP CH
PQ E
C =CE = CB =>
C/m tương tự : MN // ED
c/m ∆ AQH ∼ ∆ AHC => AH 2 = AQ AC
∆ AMH ∼ ∆ AHB => AH 2 = AM AB
AQ AC = AM AB
AQ AB
AM = AC
Mặt khác: ∆ ABD ∼ ∆ ACE => AD AB
AE = AC
Trang 4=> AD AQ
AE = AM => AD AE ED//MQ
AQ = AM =>
=> đpcm.