Phân tích A thành tích các thừa số.. Điểm M di động sao cho VMAB có 3 góc nhọn.. Gọi H là trực tâm của VMAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của VMAB Tìm vị trí của M để giá tr
Trang 1Sở Giáo dục - đào tạo
Thái Bình
****
Đề chính thức
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8
Môn thi: Toán
(thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 ( 5điểm)
Cho biểu thức A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
1 Phân tích A thành tích các thừa số
2 Xét dấu của A khi a,b , c là số đo 3 cạnh một tam giác
Bài 2 ( 4điểm)
Chứng minh không thể tìm đợc số nguyên x , y , z thoả mãn:
x y 3 y z 5 z x − + − + − = 2003
Bài 3 (3điểm)
Cho x + y = 2
Chứng minh rằng x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004
Bài 4 ( 5điểm)
Đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của VAbc lần lợt cắt các cạnh AB, AC và tia
CB tại M, N, và P Chứng minh:
1) AB AC 3
AM AN + =
2) AB2 AC2 9 BC2
AM.BM AN.CN + = + BP.CP
Bài 5: (3điểm)
Cho hai điểm A và B cố định Điểm M di động sao cho VMAB có 3 góc nhọn Gọi
H là trực tâm của VMAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của VMAB
Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất
Hớng dẫn giải và biểu điểm
Bài
1 1 A = a
4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2
= (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2
= (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2)
= [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)]
= (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c)
0,5 1 1 1
Trang 22 Do a – b – c < 0
a – b + c > 0 ; a + b – c > 0; a + b + c > 0
=> A > 0
1.5
Bài
⇔ ≥
− + − = ⇔ <
Vậy x y x y − + − luôn chẵn
+ Tơng tự y z y z; z x z x − + − − + − luôn chẵn
+.x y 3 y z 5 z x − + − + − = − + − + − + − + − + − + x y y z z x (x y y z z x) 2 y z 4 z x − + −
luôn chẵn, không thể bằng 2003 là số lẻ (đpcm)
1 1 2
Bài
3 Xét ( x
2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = x2003(x – 1) + y2003 ( y – 1) = x2003(1 – y) + y2003 ( y – 1)
(do x – 1 = 1 – y)
Vậy ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = (1 – y) ( x2003 – y2003)
+.Giả sử x ≥y => x2003 ≥ y2003 và x ≥1 ≥ y
do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) ≥0 (đpcm)
+ Tơng tự nếu y ≥x => y2003 ≥ x2003 và y ≥1≥x
do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) ≥0 (đpcm)
(dấu bằng xảy ra khi x = y = 1)
0,5 1 1 0,5 Bài
+.Vẽ thêm CC2, AA1; BB1 nh hình vẽ
+.Chứng minh VBB1D = VCC1D
=> AB AC AB 1 AC 1 2AD 2.3AG
3
AM AN + = AG + AG = AG = 2AG =
2
2
+ Chứng minh tơng tự đợc : CA CB 3
CN + CP =
+.Ta tính :
( 1 2 2) ( 2 2 2)
BA BC
3
−
=> AB AC CA CB BA BC 9
AM AN CN + + + CP + BM − BP =
AB AM BM AC AN CN BC BP CP
9
9 AM.BM AN.CN + = CP.BP +
Bài
5 +)+) KM.KH = KB.KAVAKH ~ VMKB
A2
M A
C
B
P
C2 D
G N
B1 C1
H
M
K
Trang 3+)KA.KB KA KB 2 AB2
+
+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng AB2
4 khi
K là trung điểm của BC
+.M nằm trên đờng trung trực của AB cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng lớn hơn AB
2 để VMAB nhọn