Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung điểm của AB.. Từ trung điểm M của BC vẽ một đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, Cắt AB, AC lần lợt tại E
Trang 1PHềNG GD-ĐT
TRỰC NINH
TRƯỜNG THCS
TRỰC BèNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MễN TOÁN 7 NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài 120 phỳt(Khụng kể thời gian giao
đề)
Bài 1 (3 điểm) Tìm x biết
a) (3x2 - 51)2n = (-24)2n (n ∈ N*)
b) (8x - 5)2 = |5- 8x|
Bài 2: (3 điểm)
Cho (x1p – y1q) + (x2p – y2q)2n + (x3p –y3q)2n + + (xmp – ymq)2n ≤0 với m,n ∈
N*
Chứng minh rằng :
x1 + x2 + x3 + +xm q
= y1 + y2 + y3 + +ym p Bài 3 (3 điểm) chứng minh rằng nếu : bz cy a− =cx az−b =ay bx c−
thì x,y, z tơng ứng tỉ lệ với a, b, c
Bài 4 (4 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung
điểm của AB Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng 1
2 khoảng cách từ xe máy đến M
Bài 5 Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M của BC vẽ một đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, Cắt AB, AC lần lợt tại E và F Chứng minh rằng:
a) BE = CF
b) AE =
2
AB AC+
; BE =
2
AB AC−
c) ãBME=ã à
2
ACB B−
Họ và tên thí sinh:
Số báo
danh :
Chữ kí của giám thị 1:
Chữ kí của giám thị 2:
Trang 2Đáp án đề thi học sinh giỏi toán 7
Năm học 2010 - 2011
Bài 1 (3 điểm) Tìm x
a) (3x2 - 51)2n = (-24)2n
Vì n ∈N* nên 2n là số chẵn khác 0
Từ đề bài ta có :
3x2 - 51 = -24 (1)
3x2 - 51 = 24 (2)
Giải (1) ta đợc: 3x2 = 27 ⇒x2 = 9 ⇒x = ±3
Giải (2) ta đợc: 3x2 = 75 ⇒x2 = 25⇒x = ±5
Vậy x∈{± ± 3; 5}
0,25 0,5 0,5 0,25 b) ⇒(5 – 8x)2 = |5- 8x|
⇒|5 – 8x|2 = |5- 8x|
⇔|5 – 8x| (|5 – 8x| - 1) = 0
⇔ |5 – 8x| = 0 ⇔ 5-8x = 0 (1)
|5 – 8x| - 1 = 0 |5-8x| = 1 (2)
Giải (1) ta đợc: x= 5
8 Giải (2) ta đợc : 5-8x = 1 ⇔ 8x = 4
5-8x = -1 8x = 6
⇔ x = 1
2
x = 3
4 Vậy x ∈ 1 5 3; ;
2 8 4
0,5
0,5
0,5
Bài 2 (3 điểm)
Đặt bz cy cx az ay bx k
− = − = − =
Ta có : bz-cy=ak ; ay-bx=ck ; cx-az=bk
Nhân lần lợt từng vế của đẳng thức lần lợt với a,b,c ta có
abz-acy=a2k
bcx-abz=b2k
acy-bcx=c2k
Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức ta đợc:
0 =k(a2+b2+c2)
Theo đầu bài ta có: a2+b2+c2 ≠0
Suy ra k=0 ⇒bz=cy; cx=az; ay=bx
Từ đó suy ra x y z
a = =b c
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 3Vậy x;y;z tơng ứng tỉ lệ với a,b,c
Bài 3 (3 điểm)
Ta có: (x1p – y1q)2n ≥0
(x2p – y2q)2n ≥0
(xmp – ymq)2n ≥0
Vậy (x1p – y1q)2n+(x2p – y2q)2n + +(xmp – ymq)2n ≥0
Mà theo đầu bài ta có :
(x1p – y1q)2n+(x2p – y2q)2n + +(xmp – ymq)2n ≤0
Suy ra ta có :
x1p – y1q=x2p – y2q= =xmp – ymq=0
Do đó : 1 2 3
m
m
y = y = y = = y = p
Hay : 1 2 3
m m
+ + + +
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 (4 điểm)
A M B
Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km Gọi
quãng đờng ô tô và xe máy đã đi là S1, S2 (km) (S1, S2 >0) Trong cùng
một khoảng thời gian thì quãng đờng tỷ lệ thuận với vận tốc do đó:
1 2
S S
t
V =V = (t là thời gian cần tìm)
⇒t=270 270 2
− = −
t=540 2 270 2 (540 2 ) (270 20)
−
270 3
90
t= =
Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách xe máy một koảng bằng 1
2 khoảng cách từ xe máy tới M
2a a
Trang 4Bài 5 (7 điểm)
a) Chứng minh ∆AHE= ∆AHC (g – c - g)
Suy ra AE = AF vaf Eà1 =Fà
Từ C vẽ CD // AB (D ∈ EF)
Chứng minh ∆BME= ∆CMD (g – c - g)
Suy ra BE = CD (1)
Có àE1=CDFã (Cặp góc đồng vị)
Do đó CDFã =àF
CDF
⇒ ∆ cân Vậy CF = CD (2)
Từ (1) và (2) Suy ra BE = CF
b) * Ta có: AE = AB – BE
Mặt khác: AE = AF – AC + CF
Suy ra: AE + AE = (AB - BE) + (AC + CF)
2AE = AB + AC (vì BE = CF)
⇒AE =
2
AB AC+
* Ta có: BE = AB – AE = AB – AF = AB – (AC + CF) Mặt khác: BE = CF Suy ra BE + BE = (AB – AC - CF) + CF
⇒2BE = AB – AC ⇒BE =
2
AB AC−
c) Xét ∆CMF Có ãACB là góc ngoài Suy ra CMFã = ãACB F− à
Xét ∆BME Có Eà1 là góc ngoài Suy ra ã ả à
1
BME E= −B
Vậy CMF BMEã +ã =(ãACB F−à )+(Eà 1 −Bà )
Hay 2ã ã à ã ã à
2
ACB B BME= ACB B− ⇒BME= −
A
M
<
E
F H D