Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: a.. Vẽ các đờng phân giác BD, CE a.. Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 9.
Trang 1Phòng GD&ĐT Chprông
Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Năm học :2010-2011 Đề thi Học sinh giỏi Lớp 8
Môn: Toán Thời gian :90 phút
ẹEÀ
Cõu1 (2điểm)
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
a x4 + 4
b x3 – 5x2 + 8x – 4
Cõu 2 (2 điểm)
a chứng minh rằng : a)
2 2
2
2
+
≥ +b a b a
b Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9
a + + ≥b c
Câu 3: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b
Vẽ các đờng phân giác BD, CE
a Chứng minh rằng DE // BC
b Tính DE từ đó suy ra
b a DE
1 1
1 = +
Câu 4 (2 điểm) :
a Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn x2 = y2 + 2y +13
b Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyờn liờn tiếp chia hết cho 9
Trang 2ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM
Câu 1 a) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) b) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2
( 0,5 đ )
( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ )
Câu 2:
a) Ta xÐt hiÖu:
2 2
2
2
+
− +b a b
4
2 4
2a2 +b2 −a2 + ab+b2
= (2a 2b a b 2ab)
4
1 2 + 2 − 2 − 2 − = ( ) 0
4
1 a−b 2 ≥ VËy
2 2
2
2
+
≥ +b a b
a ; DÊu b»ng x¶y ra khi a = b
b) Từ: a + b + c = 1 ⇒
1 b c 1
a a a
1 a c 1
b b b
1 a b 1
c c c
= + +
= + +
= + +
3
3 2 2 2 9
⇒ + + = + + ÷ + + ÷ + + ÷
≥ + + + = Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1
3
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
( 0,5 đ )
Trang 3Câu 3: Vẽ hình đúng
a) à à
B =B ⇒
a
b BC
BA DC
à à
C =C ⇒ AE CA b
EB =CB = a (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD AE
DC = EB ⇒DE//BC b) ∆DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có DE AD
BC = AC hay x b x
a b
−
=
=> ax +bx =ab ; x = ab
a b+ = DE Suy ra 1 a b 1 1
DE ab a b
+
= = +
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
Câu 4 a) -HS biến đổi đợc
x2 = y2 + 2y +13 ⇔x2 = (y + 1)2 + 12
⇔ (x + y + 1)(x - y - 1) = 12
Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y ∈ N* nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số
nguyên dơng chẵn
Mà 12 = 2.6 ⇒ Chỉ xảy ra một trờng hợp
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2 ⇒ x = 4 và y = 1
b) Gọi 3 số nguyờn liờn tiếp là n-1; n; n+1 ( n∈ Z )
Ta cú ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n
= 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n = 3n (n-1) (n+1) +9n
Vỡ 9 9
3 ( 1)( 1) 9
n
M
M ⇒ 3n (n-1) (n+1) + 9n M9
0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
x
2 1 2
1
x A
D E