a/ Viết phương trình mặt phẳng ABC.
Trang 1SỞ GD – ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
TRƯỜNG THPT LÊ THẾ HIẾU MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (6 điểm)
Câu 1 ( 3,5 điểm ) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4 có đồ thị (C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2
c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Câu 2 ( 2,5 điểm ) Tính các tích phân:
a/
1
sin(ln )
dx x
π
∫ b/ 4 2
0 cos
π
∫
II PHẦN RIÊNG (4 điểm)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn:
Câu 3 ( 1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: z3 + 1 = 0
Câu 4 ( 3 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm:
A(-1; -2; 0); B(2; -6; 3) ; C(3; -3; -1) ; D(-1; -5; 3)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy ra A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua D và vuông góc với (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó
Phần 2: Theo chương trình nâng cao:
Câu 3 (1,5 điểm)
a/ Chứng minh đẳng thức sau trên tập số phức:
(3+i)16 =256(3 4 )− i 8 ( trong đó i là số ảo )
b/ Giải bất phương trình sau:
log x+2log (x− +1) log 6 0≤
Câu 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương
trình: x2 +y2 + −z2 4x+2y−6z+ =5 0
và hai đường thẳng:
(d 1 ): 5 1 3
− ; (d 2 ):
7 1 8
z
= − +
= − −
=
a/ Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với (d1) và (d2), đồng thời tiếp xúc với (S)
b/ Xác định tọa độ tiếp điểm của (S) và (α)
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC KỲ II
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (6 điểm)
Câu 1
a/ (2 điểm)
i) TXĐ : R (0,25 điểm)
ii) Sự biến thiên :
* Ta có : y' = 3x 2 + 6x ; y' = 0 0
2
x x
=
⇔ = − (0,25 điểm)
* Các giới hạn tại vô cực
x x
→− ∞
x x
→+ ∞
→+ ∞ = + − = +∞
* Bảng biến thiên (0,5 điểm) x −∞ – 2 0 +∞
y’ + 0 – 0 +
y 0 +∞
−∞ - 4
* Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và (0;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 2; 0 ) (0,25 điểm) * Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x = – 2 ; y CĐ = y(–2) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = y( 0) = –4 (0,25 điểm) iii ) Đồ thị : Ta có Các giao điểm của (C) với trục Ox là ( –2; 0) và (1; 0) Giao điểm của (C) với trục Oy là I(0;– 4). Đồ thị nhận I(–1; 2) làm tâm đối xứng (0,25 điểm) Đi qua điểm (–3 ; – 4)
2
-2
-4
-2
x
y
O
1 -1
-3
( Vẽ đúng đồ thị được 0,25 điểm )
Trang 3y’(2) = 24 (0,25 điểm)
Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = 24(x – 2) + 16
Hay y = 24x – 32 (0,25 điểm)
c) Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là :
1
2
−
= ∫ − − (0,5 điểm)
1 4 3
2
27 4
x
x x
−
= − − ÷ =
(0,25 điểm)
Câu 2
a/ (1,5 điểm) I1 =
1
sin(ln )
dx x
π
Đặt t = lnx Ta có: dt dx
x
= (0,5 điểm)
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0
x e= ⇒ =π t π (0,5 điểm)
0
I =π∫ tdt = − t π = (0,5 điểm)
b/ (1 điểm) Ta có:
2 2
0
x xdx
π
* Xét 4
0
cos2
π
Đặt
cos 2
u x
=
=
ta có 1sin 2
2
du dx
=
=
(0,25 điểm) Khi đó :
1 8
π
Vậy
2
II PHẦN RIÊNG (4 điểm)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu 3: ) Ta có:
Trang 43 2
2
z = - 1
z + 1 = 0 (z + 1)(z - z + 1) = 0
z - z + 1 = 0 (*)
Xét (*), ta có: ∆ = − = − ⇒ ∆ =1 4 3 3i (0,25 điểm)
Suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm: 1,2 1 3
2
i
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 1,2 1 3
2
i
3 = - 1 (0,25 điểm)
Câu 4
a/ (1,25 điểm) Ta có: uuurAB=(3; 4 ; 3);− uuurAC =(4; 1; 1)− − (0,5 điểm)
Mặt phẳng (ABC) có 1 vectơ pháp tuyến là: n AB ACr uuur uuur= ∧ =(7;15;13) (0,25 điểm)
Suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là:
7(x + 1) + 15(y + 2) + 13(z - 0) = 0 ⇔7x + 15y + 13z + 37 = 0 (0,25 điểm)
* Dễ thấy D ∉ (ABC), nên A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện (0,25 điểm)
b/ (0,75 điểm) Đường thẳng d vuông góc với (ABC) nên d có 1 vectơ chỉ phương là:
u nr r= =(7; 15; 13) (0,5 điểm)
Suy ra phương trình tham số của d:
1 7
5 15
3 13
= − +
= − +
= +
(0,25 điểm)
c/ (1 điểm) Phương trình mặt cầu có dạng:
x2 + y2 + +z2 2ax+2by+2cz d+ =0(S) (0,25 điểm)
( trong đó a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: a2 + + − >b2 c2 d 0)
Vì (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:
(0,25 điểm)
Vậy mặt cầu (S) có phương trình là x2 + y2 + −z2 2x+8y−2z+ =9 0 (0,25 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; -4; 1) và bán kính R = 3 (0,25 điểm)
Phần 2: Theo chương trình nâng cao:
Câu 3
16
8
3 (3 )
i i
+ +
Mà ( )2
2
i
Trang 5Suy ra
16
8
(3 )
(3 4 )
i
i
log x+2log (x− +1) log 6 0≤ (1)
Điều kiện: x > 0 (0,25 điểm)
Với điều kiện trên:
(1)⇔ −log2 x−log (2 x− +1) log 6 02 ≤ ⇔log2[x x( −1)] ≥log 62 (0,25 điểm)
3
x
x
≤ −
⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥
Kết hợp với điều kiện ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là x≥3.(0,25 điểm)
Câu 4
a/ (1,5 điểm) (S) có tâm là điểm I(2; -1; 3) và có bán kính là R = 3 (0,25 điểm)
(d1) có 1 vectơ chỉ phương là uur1 =(2; 3;2)−
(d2) có 1 vectơ chỉ phương là uuur2 = −(1; 1;0) (0,25 điểm)
Vì (α ) song song với (d1) và (d2) nên (α) có 1 vectơ pháp tuyến là:
n ur ur uur= ∧ =1 u2 (2;2;1) (0,25 điểm)
Do đó phương trình (α ) có dạng 2x + 2y + z + c = 0 (0,25 điểm)
(α ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:
14
c c
c
α = ⇔ − + ++ + = ⇔ + = ⇔ = − = (0,25 điểm)
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu là:
(α1): 2x + 2y + z + 4 = 0 ; (α2): 2x + 2y + z – 14 = 0 (0,25 điểm)
b/ (1 điểm) Gọi ∆là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (α) Khi đó tiếp điểm của (S) và (α) chính là giao điểm của ∆ với (α )
∆vuông góc với (α ) nên có 1 vectơ chỉ phương là: u nr r= =(2;2;1) (0,25 điểm)
Do đó ∆có phương trình tham số là:
2 2
1 2 3
= +
= − +
= +
(0,25 điểm)
Tham số t ứng với giao điểm của (S) và (α1) là nghiệm của phương trình
2(2 + 2t) + 2(-1 + 2t) + (3 + t) + 4 = 0 ⇔ 9t + 9 = 0 ⇔ = −t 1 (0,25 điểm)
Suy ra tiếp điểm của (S) và (α1) là: A(0; -3; 2)
Tương tự tiếp điểm của (S) và (α2) là B(4; 1; 4) (0,25 điểm)
Ghi chú:
- Học sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.