Định giá trị của tham số để phương trình 2 có:... THỐNG KÊ: 1.Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán thang điểm 20 kết quả được cho trong bảng sau đây: a.Tính số trung bình,
Trang 1ÔN TẬP HỌC KÌ II KHỐI 10 PHẦN
ĐẠI SỐ:
A Kiến thức cần nhớ:
1 Bất phương trình và hệ bất phương trình.
2.Nhị thức bậc nhất : f(x) = ax + b (a≠0)
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất : x −∞ b
a
− +∞
ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a
3.Tam thức bậc hai : f(x) = ax 2 + bx + c (a≠0)
Định lý dấu của tam thức bậc hai:
* Nếu ∆ < 0 , ta có BXD: x −∞ +∞
f(x) cùng dấu với a
* Nếu ∆= 0, ta có BXD: x −∞
2
b a
− +∞
f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a
* Nếu ∆> 0, gọi x1, x2 là hai nghiệm của tam thức f(x), ta có BXD
x −∞ x 1 x 2 +∞
f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a
4.Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Dạng I: Ad B ⇔A2dB2 ⇔A2−B2d0⇔(A B A B− )( + ) 0d (Dấu d có thể thay bằng dấu “ , , ,> < ≥ ≤” )
( Biểu thức B có thể là một số thực dương) Sau đó xét dấu và kết luận.
Dạng II: ax b p x+ d ( ) (Trong đó ax b+ là nhị thức bậc nhất (a≠0),Dấu d có thể thay bằng dấu “ , , ,> < ≥ ≤”, ( )
p x là một biểu thức chứa x)
Phương pháp giải:
0 ( ) 0
ax b
ax b p x bpt
ax b
ax b p x
⇔ + <
− +
d
d
Dạng III: ( )p x dax b+ (Trong đó ax b+ là nhị thức bậc nhất (a≠0),Dấu d có thể thay bằng dấu “ , , ,> < ≥ ≤”, ( )
p x là một biểu thức chứa x bậc lớn hơn bậc 1)
Phương pháp giải:
1/ ( )p x >ax b+
0 0
ax b
ax b
+ <
⇔ >+ ≥+
2/ ( )p x ≥ax b+
0 0
ax b
ax b
+ ≤
⇔ ≥+ >+
3/ ( )p x ≤ax b+
0
+ ≥
ax b
p x ax b 4/ ( )p x <ax b+
0
+ >
ax b
Phương trình bậc hai chứa tham số
Cho phương trình ax2+bx c 0(2)+ = Đặt S x1 x2 b;P x x1 2 c
= + = − = = trong đó x ;x là 2 nghiệm của 1 2 phương trình (2) Định giá trị của tham số để phương trình (2) có:
Trang 21/ Pt(2) có nghiệm
=
≠
⇔ ≠
∆ ≥
a 0
b 0
a 0 0
2/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔x x1 2< ⇔ <0 P 0 3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt a 0 2
≠
⇔
∆ = − >
Tìm m thỏa điều kiện bài toán
1/ ax 2 +bx +c >0, ∀x ⇔ 0
0
a>
∆ <
2/ ax
2 +bx +c ≥0, ∀x ⇔ 0
0
a>
∆ ≤
3/ ax 2 +bx +c <0, ∀x ⇔ 0
0
a<
∆ <
4/ ax
2 +bx +c ≤0, ∀x ⇔ 0
0
a<
∆ ≤
10NC: Bất phương trình chứa căn bậc 2: (quy bất phương trình về hệ bất phương trình)
1/
2
( ) 0 ( ) 0
( ) 0
q x
p x
p x
<
>
2/
2
( ) 0 ( ) 0
( ) 0
q x
p x
p x
≥
3/
2
( ) 0
q x
>
<
4/
2
( ) 0
q x
≥
5/
( ) 0
( ) ( )
q x
p x q x
≥
d
d
B/ Bài tập áp dụng
I.DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT – TAM THỨC BẬC HAI:
1.Giải các bất phương trình sau:
a (2x−4) (x+5) ≥0 b (1−x) (2x+ ≥8) 0 2.Giải các phương trình, bất phương trình sau:
BẬC NHẤT
2
x
x
− ≥
− b
0
2 5
x x
− ≥
− c
5 0
2 5
x x
− + ≥
− d
3 2 1
x
−
x
x+ ≥
− g.
+ − h.
− − e
1
2 0
1 x + ≤
−
BẬC HAI
a.(4 2− x x) ( 2+7x+12) <0 b 2 4 0
x
− + c.
2 2
2
d
2
2
0
− + e.
2
3
x
x+ − ≥ −
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a 3x− ≤ −1 x 2 b | 2 x − ≥ − 1| x 1 c | x2 − < 1| 2 x
d.x2 + 2 x − 5 | x + + ≤ 1| 7 0 e
2 2
4
| | 1
2
x x
2 2
5 4
| | 1
4
x
− + ≥
−
TÌM GIÁ TRỊ M
Bài 1: Tìm các giá trị m để phương trình:
a) x 2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt
b) x 2 – 6m x + 2 – 2m + 9m 2 = 0 có nghiệm
c) (m 2 + m + 1)x 2 + (2m – 3)x + m – 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Trang 3Bài 2: Tìm giá trị của tham số để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
a) 5x 2 – x + m > 0 b) mx 2 –10x –5 < 0
c) m(m + 2)x 2 + 2mx + 2 >0 d) (m + 1)x 2 –2(m – 1)x +3m – 3 ≥ 0
Bài 3: Tìm giá trị của tham số để bpt sau vô nghiệm:
a) 5x 2 – x + m ≤ 0 b) mx 2 –10x –5 ≥ 0
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN: (10NC)
1) 2
21 4− x x− < +x 3 2) 2
1− +x 2x − − <3x 5 0 3) 2( 1)
2
x x
x
+ + <
−
4) 2 16 3 5
x
x
− + − >
x
II THỐNG KÊ:
1.Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán( thang điểm 20) kết quả được cho trong bảng sau đây:
a.Tính số trung bình,số trung vị, mốt của bảng số liệu
c Có bao nhiêu phần trăm học sinh đạt điểm trên 15
2.Điểm thi toán của một lớp gồm 45 học sinh, thống kê điểm như sau:
a.Tính số trung bình,số trung vị, mốt của bảng số liệu
b.lập bảng phân bố tần suất ghép lớp:[0;2),[2;5),[5;8),[8;10)
c.Có bao nhiêu phần trăm học sinh trên trung bình
III LƯỢNG GIÁC:
Bài 1 Cho biết
3
2 sina= và
2
0<a<π
Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a
Bài 2 Cho biết
3
2 cosα = và π <α <π
2 Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α
Bài 3 Cho biết tanb=3 và
2
0<b<π Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α
Bài 4 Cho biết
2
3 tanα = , tính giá trị các biểu thức:
a)
α α
α α
sin cos
2
cos 5 sin 2
−
+
=
Bài 5 Tính giá trị các biểu thức:
a) A=sin150 +cos750 b)
12
5 sin 12
=
12
5 sin 12
d)
12
cos 24
cos 24 sin
=
16 sin 16 cos 8
=
E
2 cos 3 ) sin(
−
− +
Rút gọn biểu thức P và tính giá trị biểu thức P khi x =
3 π
Trang 4
+
−
−
−
Q
2
3 sin 4 2
sin ) 2
Rút gọn biểu thức Q và tính giá trị biểu thức Q khi a =
6
π
Bài 8 Chứng minh các hệ thức:
x x
x x
2 sin tan
2 tan
tan 2 tan
=
a a
a
tan 1
tan 1 2 sin 1
sin 2
+
−
= +
−
Bài 9 Rút gọn các biểu thức :
a tan 2
tan 4 tan 2
α
3 4cos 2 cos 4
3 4cos 2 cos 4
c sin sin 3 sin 5
2
cot
α
Bài 10 Chứng minh các đẳng thức:
a
1 sin cos sin cos
c tan tan tan tan
cot cot
0 0
tan100
1 sin 640 sin10
+
HÌNH HỌC:
A Kiến thức cần nhớ:
Chương II
1 Định lý Côsin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a; AB = c; CA = b, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2b.c.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2a.c.cosA ; c2 = a2 + b2 – 2a.b.cosA
* Hệ quả:
cosA=
2bc
+ −
cosB=
2ac
+ −
;
cosC=
2ab
+ −
* Công thức tính độ dài trung tuyến
( 2 2) 2 2
a
m
4
2 b
m
4
2 c
m
4
=
2 Định lý sin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a; CA = b; AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
2R sinA =sin B =sin C =
3 Công thức tính diện tích tam giác:
* S 1absin C 1bcsin A 1ca sin B
* S abc 4R
=
* S = Pr
* S= P P a P b P c( − ) ( − ) ( − ) (Công thức Hê rông) II.BÀI TẬP:
Trang 5Bài 1 Cho tam giác ABC có góc A = 600 ; góc B = 450 và cạnh AC = 4
a) Tính hai cạnh AB và BC
b) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 2 Cho tam giác ABC có ba cạnh AB = 7; BC = 8; AC = 6
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính Độ dài đường cao AH của tam giác ABC
c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 3 Cho tam giác ABC có a = 12; b = 16; c = 20
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 4 Cho tam giác ABC có góc B = 600, cạnh BA = 6, BC = 12
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính độ dài cạnh AC
c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chương III
1 Phương trình tham số của đường thẳng ∆:
+
=
+
=
2 0
1 0
tu y y
tu x x
với M (x0; y0) ∈ ∆ và u=(u1;u2) là vectơ chỉ phương (VTCP)
2 Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: a(x – x0) + b(y – y0) = 0 hay ax + by + c = 0
(với c = – ax0– by0 và a 2 + b 2 ≠ 0) trong đó M ( x0; y0) ∈ ∆ và n=( b a; ) là vectơ pháp tuyến (VTPT)
• Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là: + =1
b
y a x
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (x0; y0) có hệ số góc k có dạng : y – y0= k (x – x0)
3 Khoảng cách từ mội điểm M ( x0; y0) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 được tính theo công thức :
d(M; ∆ ) =
2 2
0 0
b a
c bx ax
+
+ +
4.Đường tròn
Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R có dạng :
(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 (1) hay x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a 2 + b 2 – R 2
• Với điều kiện a 2 + b 2 – c > 0 thì phương trình x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm
I(a ; b) bán kính R
• Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ : α x + β y + γ = 0
khi và chỉ khi : d(I ; ∆ ) = 2 2
β α
γ β α
+
+
a
= R
∆ cắt ( C ) ⇔ d(I ; ∆ ) < R ∆ không có điểm chung với ( C ) ⇔ d(I ; ∆ ) > R
∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d(I ; ∆ ) = R
5.Phương trình tiếp tuyến với đường tròn:
* Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có phương trình là :
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) =0
* Nếu phương trình đường thẳng ∆ : α x + β y + γ = 0 Điều kiện để đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi d(I ; ∆ ) = 2 2
β α
γ β α
+
+
a
= R
Trang 6B Bài tập áp dụng:
I.PHƯƠNG TRÌNH Đ ƯỜ NG THẲNG :
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(4;2) và đường thẳng d:x – 2y +3 = 0
a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆1 qua A và song song với d
b Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆2 qua A và vuông góc với d
c Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆3 qua A và vuông góc với d
d Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆4 qua A và song song với d
2 Cho tam giác ABC: A(1;2),B(-2;6),C(4;8)
a.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB, BC
b.Viết phương trình tham số của AC
c.Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM
d.Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
e Tính diện tích tam giác ABC
II.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
1.Tìm tâm ,bán kính của các đường tròn có phương trình sau:
a ( ) (2 )2
x− + y+ = b ( ) (2 )2
x+ + y− = c ( ) (2 )2
c 2 2
x +y − x+ y+ = d 2 2
x + y + x− y− = e 2 2
x + y + x− y+ =
2.Viết phương trình đường tròn trong các trương hợp sau:
a.Đường tròn tâm I(2;-7), bán kính R = 3
b Đường tròn tâm I(-4;3),qua A(2;11)
c Đường tròn tâm I(1;3) và tiếp xúc với d:3x - 4y +5 = 0
d Đường tròn đường kính AB Với A(4;2) và B(5;-4)
e Đường tròn qua ba điểm A(1;2) ,B(5;2),C(1;-3)
III.PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN:
Bài 1: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) :(x−1)2+ +(y 2)2 =36 tại điểm M o (4; 2) thuộc đường tròn.
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : (x−2)2+ −(y 1)2 =13 tại điểm M thuộc đường tròn có hoành độ bằng x o = 2.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2+y2+2x+2y− =3 0 và đi qua điểm M(2; 3)
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : (x−4)2+y2 =4 kẻ từ gốc tọa độ.
Bài 5: Cho đường tròn (C) : x2+y2−2x+6y+ =5 0 và đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến ∆
biết ∆ // d; Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho đường tròn (C) : (x−1)2+ −(y 2)2 =8 Viết phương trình tiếp tuyến với (C ), biết rằng tiếp tuyến đó // d có
phương trình: x + y – 7 = 0
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ): x2+y2 =5, biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x – 2y = 0.
