Đề cương ôn tập học kỳ 2 "hay"

Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng đôi một.. a Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.. Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lư

BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ II – MÔN TOÁN LỚP 11

Phần A : Giải Tích

Bài 1 : Tìm giới hạn sau :

3

3 2

) lim n n

a



3 2

) lim

b

n

) lim

n c

 

5

) lim

( 2) (5 1)

d

2

) lim

1 2

e

n

 



3 2.5 ) lim

3.5 4

n n



) lim

2.4 2

n n

n n



) lim

2

h

n

 i) lim n 1 n 

Bài 2 : Tính các giới hạn sau:

2

) lim(3 1)

) lim 3 sin 2

2

) lim 3 1 2

2

) lim 3 6 1 7

) lim

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a)

1

1, , , , , ,

n

 

1

1 1 1 1

1, , , , , ,

n

 

 

 

Diễn đàn toán học Việt Nam: http://maths.edu.vn

- Nơi đây chúng tôi luôn cung cấp đề thi – đáp án nhanh nhất,chính xác nhất.Luôn luôn cập nhập tài liệu miễn phí cho tất cả giáo viên và học sinh,hỗ trợ trực tuyến

- Nơi giao lưu giữa học sinh và giáo viên.Chúng tôi sẽ trả lời những thắc mắc khó khăn của học sinh về môn toán

http://maths.edu.vn Nơi hội tụ nhân tài đất Việt

Hỗ trợ trực tuyến : quangdiep@maths.edu.vn

Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 

):

a)

3

3 2

lim

x



3

lim

x

x x



3 2 2

lim 3

x



d)

5 3

2 3

lim

x



2

3 2

) lim

x

x e





lim

2 5

x

x





Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):

a) lim ( 2 3 2 3 1)

d)lim 2 3 2

lim 2

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):

a)

3

1

lim

3

x

x

x







1 lim

4

x

x x





lim

3

x

x x









d)

2

lim

2

x

x x





 

2 lim

x







lim

1

x

x x









Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0

0 ):

2

3

9 ) lim

3







x

x

a

2 1

) lim

1





x

b

3 lim

x

x





  d)

3

2

1

1 lim

1

x

x

x





2 2 1

lim

x



2 lim

7 3

x

x x





  g)

2 3

9 lim

1 2

x

x

x





  h) 4

lim

2

x

x x



 

 i) 1

2 1 lim

5 2

x

x x



 

  k)

2

2

lim

2

x

x







Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0 ):

a)

0

1

x  x x

1

1

x

x x

x









 c)

2 3

3

x

x x

x











2 2

2





x

x

x

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):

Bài 10: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

2

4 -2 ( ) 2

4 -2

x

khi x

f x x

khi x



 



tại x0 = -2

b)

2

khi x<3

5 khi 3

x





tại x0 = 3

c)

2

1

7 1

khi x

khi x



 



tại x0 = 1

d)

3

3 3

x

khi x

khi x



  



tại x0 = 3

e/

2

2 2

2 2 2

x

khi x

khi x



 



tại x0 = 2

f)

2 2

3 4 2

x

khi x





  



tại x0 = 2

Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

a)

2

2

1 2

khi x

khi x





1 2 2

( )

3 2

x

khi x x

f x

khi x



 

 



c)  

2

2

x 2 2

x x

khi

x khi



 



2

0

0 1

2 1 1









Bài 12: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0

a)  

2

2

1 1

1

x x

khi x



 



với x0 = -1

b)

2

1 ( )

2 3 1

x khi x

f x

ax khi x

 

c)

7 3 2

1 2

x

khi x







với x0 = 2

d)

2

3 1 1 ( )

2 1 1

x khi x

f x

a khi x

 

Bài 13: Chứng minh rằng phương trình :

a) x45x 2 0 có ít nhất một nghiệm

b) x53x 7 0 có ít nhất một nghiệm

2x 3x  5 0 có ít nhất một nghiệm

d)2x310x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

g) x33x2 1 0 có 3 nghiệm phân biệt

h)  2  3 2

1m x1 x   x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m

i)  3 2  4

m x x  x   luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m

Bài 14: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:

a) yx3 b)y3x21 c) y x1

1

y

x





Bài 15: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1)  3  2  5

2

2 5  

7

y

4) y5x2(3x1) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6) 2 3

) 5

 x

y 7) ( 2 1)(5 3 2)

x x

) 3 ( ) 2 )(

1

10)     

2 3  1

3 2

y x 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

2

2

x y x







y



3 2

2 1

y





  18)





2 2

3

y

x x

19)y x2 6x7 20)y x1 x2 21)y(x1) x2 x1

22)

1 2

3 2 2









x

x x

1 x





2

2

y x  x  x  x 26) y = x (x2- x +1) 27)

3 2

2

x

x

    



Bài 16: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx

4)y(1cotx)2 5) ycosx.sin2 x 6) cos 1cos3

3

y x x

7)

2 sin4 x

x x

x x

y

cos sin

cos sin





4



  10) ysin (cos 3 )2 x 11) y cot 1 x 3  2 12) y3sin2 x.sin3x

13) y 2 tan x 2 14) y cosx3 4cot x

3sin x 3

   15)ysin(2sin )x

16) ysin4 3x 17) 2 2

) 2 sin 1 (

1

x

y



 18) y xsin x

1 tan x



 \ 19) y sin x x

x sin x

  20) y 1 2tanx

Bài 17 : Cho hai hàm số : f x( )sin4 xcos4x và ( ) 1cos 4

4

Chứng minh rằng: '( )f x g x'( ) ( x R )

Bài 18: Cho yx33x22 Tìm x để:

a) y’ > 0 b) y’ < 3

Bài 19: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x b) f(x) = 3sinxcosxx

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 20: Cho hàm số f(x) 1 x Tính : f(3) (x 3)f '(3) 

Bài 21:

a) Cho hàm số:

2

2 2

2  

y Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

b) Cho hàm số y = x 4

3 x



 Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’

c) Cho hàm số y  2x x  2 Chứng minh rằng:y y" 1 0 3  

Bài 22: Chứng minh rằng f x'( )0  x , biết:

a/ ( ) 2 9 6 2 3 3 2 6 1

3

f x  x x  x  x  x b/ f x( )2xsinx

Bài 23: Cho hàm số

2 2

y x





 (C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1

b ) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1

Bài 24: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2

Bài 25: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : yx35x22 Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2)

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1

7x – 4

Bài 26 : Cho đường cong (C): 2

2

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

b) Tại điểm có tung độ bằng 1

3 c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là  4

Bài 27: Tính vi phân các hàm số sau:

a) yx3 2x1 b)

2 sin4 x

y c) y x2 6x7 d) ycosx.sin2 x e) y(1cotx)2

Bài 28: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

2

x

y

x





 2) 2

2

x y





  3) 2

1

x y x



4) yx x21 5) yx2sinx 6) y (1 x2) cosx

7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

Bài 29: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

1

y

x



Phần B : Hình Học

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA  (ABC)

a)Chứng minh: BC  (SAB)

b)Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA  (ABCD) Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh: BC  AD

b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH  (BCD)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2

a) Chứng minh SO  (ABCD)

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IKSD

c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD)

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh:

a)H là trực tâm BCD b)AC  BD

Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau

từng đôi một

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA  (ABCD)

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD)

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) Gọi H, K lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a)Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC) b)Chứng minh SC  (AHK)

c)Chứng minh HK  (SAC)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC)

Gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh BC  (SAI)

b) Tính SI

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA  (ABC) và SA = a, AC = 2a

a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC

Bài 11: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a Gọi I là trung

điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC

1 CMR: BC(OAI)

2 CMR: (OAI)(OHK)

3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC)

5 Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK)

6 Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC)

7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai đường

ấy

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a 2 

1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

2 CMR: mp (SAC)mp(SBD)

3 Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB)

4 Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)

5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD)

6 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng ấy

7 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD   a 3

2 Và

BAD60 Gọi H là hình chiếu của S trên AC

1 CMR: BD(SAC) và SH (ABCD)

2 CMR: ADSB

3 CMR: (SAC)(SBD)

4 Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC

5 Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD)

6 Tính khoảng cách từ H đến (SBD)

7 Tính góc giữa(SAD)và (ABCD)

8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng ấy

9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ADC450

2 CMR: CDSC

3 Tính góc  giữa SC và (ABCD), góc  giữa SC và (SAB), góc  giữa SD và (SAC)

4 Tính tang của góc  giữa mp(SBC) và mp(ABCD)

5 Tính khoảng cách giữa SA và BD

6 Tính khoảng cách từ A đến (SBD)

7 Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D Từ đó tính MS và NS

Bài 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD 1 CMR: BD(ACC'A') và A’C(BDC') 2 CMR: A'C AB' 3 CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’)(ACC’A’) 4 Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’)

5 Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’)

6 Tính tang của góc giữa AC và (MNC’)

7 Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD)

8 Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’)

9 Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’

Phần C : Đề tham khảo thi học kỳ II

Đề 1 (90 phút )

I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm)

Câu 1 (2 điểm) : Tính các giới hạn sau :

1



n

lim

lim

1

x

x



2 2 3

lim

3

x

x







4

4

4 3

lim

Câu 2 (1 điểm): Xét tính liên tục của hàm số sau trên R :

2 2

2 ( )

x

x x

f x

x

 

 



Câu 3 (2 điểm): Tính đạo hàm của hàm số :

x

2 2

2 2

1

 





Câu 4 ( 3 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O SAABa;

3

BCa , SA(ABCD) Gọi I là trung điểm của SC

1.Chứng minh rằng: SBC là tam giác vuông và (IOC)(ABCD)

2.Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)

3.Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

II – PHẦN RIÊNG ( 2 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2 )

1.Theo chương trình Chuẩn:

Câu 5.a (1 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

2

1 ( )

1

x

 

 tại điểm

có hoành độ bằng 4

Câu 6.a (1 điểm): Chứng minh phương trình: ( m2   m 3)( x2    4) 4 0 luôn có nghiệm với mọi tham số m

2.Theo chương trình Nâng Cao:

Câu 5.b (1 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

( )

1

x

 biết tiếp

tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2

3

y x

Câu 6.b (1 điểm): Chứng minh rằng: nếu

2 2

cos

1 sin

x y

x



'

f   f  

   

   

Đề 2 (90 phút )

I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a)

n n

n n

lim

2.4 2

xlim x2 x x

2

x 2

4 lim 2









x x

Câu 2: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 3

x

f x

khi x x

2

9

3 12

 

 



Câu 3: (1,5 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x

2



3 (2 5)



 c) ysin(cos )x

Câu 4: (3 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có AB = BC = a, AC = a 2

a) Chứng minh rằng: BC  AB

b) Gọi M là trung điểm của AC Chứng minh (BCM)  (ACCA)

c) Tính khoảng cách giữa BB và AC

II – PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2 )

1 Theo chương trình Chuẩn

1 2

lim

3

  

Câu 6a: (2,0 điểm)

a) Cho hàm số y2010.cosx2011.sinx Chứng minh: y y 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x22 tại điểm M ( –1; –2)

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm x để ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: a10 3 x, b2x23,

c 7 4x

Câu 6b: (2,0 điểm)

a) Cho hàm số: y x2 2x 2

2

 Chứng minh rằng: 2 y y 1 y2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x22, biết tiếp tuyến vuông góc với

đường thẳng d: y 1x 2

9

  

Đề 3 (90 phút )

I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu 1 : (1,5 điểm).Tính các giới hạn sau (3đ)

a)

lim

x



n

5

4 3

2

x 1

lim

x 1







Câu 2: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm  

2

1 khi x 1

2x khi x = 1





x

Câu 2: (1,5 điểm)

a) Cho hàm số y x 32x Tính y’ 1 

b) y sin 2x Tìm y’ 3

yx xtại điểm A 2;2 

Câu 4: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng các mặt bên là các tam giác vuông

c) Xác định và tính góc giữa mặt (SCD) và mặt đáy

II – PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2 )

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu 5a: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1m x2) 53x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m

Câu 6a: (2 điểm)

a) Cho hàm số y x sinx Tính y

2



 

  

 

b) Cho hàm số y x 4x23 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu 5b: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x2cosx x sinx 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; )

Câu 6b: (2 điểm)

a) Cho hàm số ysin4xcos4x Tính y

2



 

  

 

b) Cho hàm số y x 4x23 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x2y 3 0

Đề 4 (90 phút )

I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu 1: (1 điểm) Tìm các giới hạn sau:

a)

x

x

1

lim

1



xlim x2 x 1 x

Câu 2: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x02:

khi x

   



Câu 3 (1 điểm) :

Chứng minh rằng phương trình sau: -3x5+7x +1=0 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng (-1; 2)

Câu 4: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y x

x

2

2





Câu 5: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 Gọi I

là trung điểm của SO

a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

II Phần riêng

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình : x53x1 có ít nhất một nghiệm thuộc 1; 2

Câu 6a: (2,0 điểm)

a) Cho hàm số ycot 2x Chứng minh rằng: y 2y2 2 0

b) Cho hàm số y x

x

1





 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7)

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình: x17 x111 có nghiệm

Câu 6b: (2,0 điểm)

a) Cho hàm số y x

x

3 4





 Chứng minh rằng: 2y2  (y 1)y b) Cho hàm số y x

x

1





 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2x2y 5 0