Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... Các bài toán đ a ra trắc nghiệm Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2
Trang 1Đào Huy Nam
II giải quyết vấn đề Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác
t cos
1 2 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t
2 x 1
x 2
tgt 2 2
tgt 2 2
− = tg2t
2 x 1
x 2
tgt 2 2
tgt 2 2
+ = sin2t
xy 1
y x
−
+
β α
−
β +
α
tg tg 1
tg tg
β α
−
β +
α
tg tg 1
tg tg
= tg(α+β)
cos
1
1
α = tg2α
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin 2α + cos 2α = 1
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt
α
=
α
= cos y
sin x
với α∈ [0, 2π]
b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt
α
=
α
=
cos a y
sin a x
với α∈ [0, 2π]
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: − 2 ≤ S = a(c+d) + b(c-d) ≤ 2
Giải:
Đặt
=
=
u
cos
b
u
sin
a
và
=
=
v cos d
v sin c
⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
⇒ S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
4 ) v u ( sin
2
S= + −π∈ − ⇒− ≤ = + + − ≤ (đpcm)
VD2: Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:
2
25 b
1 b a
1 a
2 2 2 2 2
+ +
+
Giải:
Đặt a = cosα và b = sinα với 0 ≤α≤ 2π Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
b
1 b a
1
α + α +
α + α
=
+
+
+
Trang 2Đào Huy Nam
sin cos
sin cos
sin cos
4 sin
1 cos
1
4 4
4 4
4 4
4
α α
α + α +
α + α
= + α
+ α
sin cos
1 1
sin
α α +
α +
α
sin cos
1 1
sin cos 2 sin
α α +
α α
− α +
α
=
2
25 4 2
17 4 ) 16 1 ( 2
1 1 4 2 sin
16 1 2
sin
2
1
−
≥ +
α +
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a2+b2=1
VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 Chứng minh rằng:
A = a2−b2+2 3ab−2(1+2 3)a+(4−2 3)b+4 3−3≤2
Giải:Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1
α +
=
α +
=
⇒
α
=
−
α
=
−
cos sin 3 2 cos sin
A cos 2 b
sin 1 a cos
2
b
sin
1
6 2 sin(
2 2 cos 2
1 2 sin 2
3 2 2 cos 2
sin
VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a + 12b + 7= 13Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1
Giải:Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2≥ 1
Đặt
α
=
+
α
=
−
cos
R
1
b
sin
R
1
a
với R ≥ 0 ⇔ (a 1)2 (b 1)2 R2
1 cos R b
1 sin R a
= + +
−
⇔
− α
=
+ α
=
Ta có: 5a+12b+7 =13⇔ 5(Rsinα+1)+12(Rcosα−1)+7 =13
13
5 arccos sin
R cos 13
12 sin 13
5 R 1 13 cos R 12
sin
R
+ α
= α +
α
=
⇔
= α +
α
Từ đó ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (đpcm)
II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin α | ≤ 1 ; | cos α | ≤ 1
1 Ph ơng pháp :
a) Nếu thấy |x| ≤ 1 thì đặt
[ ]
2 2
x khi
x khi
π π
= ∈ −
b) Nếu thấy |x| ≤ m ( m≥0) thì đặt
[ ]
2 2
π π
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1
Giải:
Đặt x = cosα với α∈ [0, π], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p
p 2
p
cos
2 + α = α + α≤ α+ α=
Trang 3Đào Huy Nam
VD2: Chứng minh rằng: 3−2≤A=2 3a2+2a 1−a2 ≤ 3+2
Giải:Từ đk 1 - a2≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nên
Đặt a = cosα với 0 ≤α≤π⇒ 1 − a2 = sinα Khi đó ta có:
A=2 3a2+2a 1−a2 =2 3cos2α+2cosαsinα= 3(1+cos2α)+sin2α
3 2 sin 2 3 2
sin 2
1 2
cos
2
3
α+π
= +
2 3 2
VD3: Chứng minh rằng: 1+ 1−a2[ (1+a)3 − (1−a)3]≤2 2+ 2−2a2 (1)
Giải:Từ đk |a| ≤ 1 nên
Đặt a=cosα với α∈[0,π] ⇒ − = α + = α; 1−a =sinα
2 cos 2 a 1
; 2 sin 2 a
2 sin 2 2 2 2 2
sin 2 cos 2 2 2
cos 2 sin
2
α α +
2 sin 1 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos
2
α− α
α+ α
2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos
2
đúng ⇒ (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: S = 4 ( ( 1 − a2)3 − a3) ( + 3 a − 1 − a2) ≤ 2
Giải:Từ đk |a| ≤ 1 nên:
Đặt a = cosα với α∈ [0, π] ⇒ 1 − a2 = sinα Khi đó biến đổi S ta có:
S=4(sin3α−cos3α)+3(cosα−sinα) = (3sinα−4sin3α)+(4cos3α−3cosα)
4 3 sin 2 3
cos
3
α+π
= α +
VD5: Chứng minh rằng A = a 1−b2+b 1−a2 + 3(ab− (1−a2)(1−b2)) ≤2
Giải:Từ điều kiện: 1 - a2≥ 0 ; 1 - b2≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nên
Đặt a = sinα, b = sin β với α, β∈
π π
2
; 2 Khi đó A = sinαcosβ+cosαsinβ− 3cos(α+β)=
3 ) ( sin 2 ) cos(
2
3 ) sin(
2
1 2 ) cos(
3 )
sin(α+β − α+β = α+β − α+β = α+β −π ≤
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26|≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
Giải:
Do a ∈ [1, 3] nên |a-2|≤ 1 nên ta đặt a - 2 = cosα⇔ a = 2 + cosα Ta có:
A = 4(2+cosα)3−24(2+cosα)2+45(2+cosα)−26= 4cos3α−3cosα = cos3α ≤1
VD7: Chứng minh rằng: A = 2a a− 2 − 3a+ 3 ≤2 ∀ ∈a [0, 2]
Trang 4Đào Huy Nam
Giải:Do a ∈ [0, 2] nên |a-1|≤ 1 nên ta đặt a - 1 = cosα với α∈ [0, π] Ta có:
A = 2(1+cosα)−(1−cosα)2 − 3(1+cosα)+ 3 = 1−cos2α− 3cosα
3 sin 2 cos 2
3 sin
2
1 2 cos
3
α+π
=
α
− α
= α
−
III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg 2α = 1
cos
1 tg
cos
1
2
2
α
= α
⇔
2
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu |x| ≥ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 − 1
thì đặt x =
α
cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
; 0
b) Nếu |x| ≥ m hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 −m2
thì đặt x =
α
cos
m với α∈
π π
∪
π
2
3 , 2
; 0
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A = a2 1 3 2 a 1
a
− + ≤ ∀ ≥
Giải:Do |a| ≥ 1 nên :
Đặt a =
α
cos
1
với α∈
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 ⇒ a2−1= tg2α=tgα Khi đó:
3 sin 2 cos 3 sin cos
) 3 tg ( a
3 1
a2
≤
α+π
= α +
α
= α +
α
= +
VD2: Chứng minh rằng: - 4 ≤ A = 2 2
a
1 a 12
5− − ≤ 9 ∀ ≥a 1
Giải:Do |a| ≥ 1 nên:
Đặt a =
α
cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 ⇒ a2−1= tg2α=tgα Khi đó:
A =
2
2
a
1 a 12
5− − = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= + α −6sin2α
2
) 2 cos 1 ( 5
α+ +
=
+
13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 2 sin 13
12 2 cos
13
5
2
13
2
5
2
13 2
5 13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 A ) 1 ( 2
13
2
5
= +
≤
α+ +
=
≤
−
VD3: Chứng minh rằng: A =
ab
1 b 1
a 2 − + 2 − ≤ 1 ∀ a b ; ≥ 1
Trang 5Đào Huy Nam
Giải:Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên Đặt a =
α
cos
1 ; b =
β
cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 Khi đó ta có:A = (tgα+tgβ)cosαcosβ = sinαcosβ+sinβcosα = sin(α+β) ≤1(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 2 2
1 a
a
− ∀ > a 1
Giải:Do |a| > 1 nên:Đặt a = α
cos
α α
=
−
⇒
π
sin
1 tg
1 cos
1 1 a
a 2
; 0
2
2 sin
2 2 sin
1 cos
1 2 sin
1 cos
1 1
a
a
α
= α α
≥ α
+ α
=
VD5: Chứng minh rằng y x2−1+4 y2−1+3≤xy 26 ∀ x y ; ≥ 1
y y
y x x
≤
+
− +
−
Do |x|; |y| ≥ 1 nên Đặt x =
α cos
1 ; y= cos β
1
với α, β∈
π
2 ,
0
Khi đó: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26
Ta có: S ≤ sinα + cosα (42+32)(sin2β+cos2β) =sinα+5cosα
≤ (1 2 + 5 )(sin 2 2 α + cos 2 α ) = 26 ⇒ (đpcm)
IV Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg 2α =
α
2 cos 1
1 Ph ơng pháp:
a) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tgα với α∈
− π π 2
, 2 b) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtgα với α∈
−π π 2 , 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
1
4 1
3
3 2
3
+
−
x x
x
Giải:Đặt x = tgα với α∈
− π π
2
,
1
1 2 , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 4
) a 2 1 (
a 12 a 8 3 +
+ +
Giải:
Đặt a 2= tgα với α∈−π2,π2 thì ta có: A = 2 2
4 2
) tg 1 (
tg 3 tg 4 3
α +
α + α +
Trang 6Đào Huy Nam
α + α
α +
α α +
2 2 2
4 2
2 4
cos sin 2 ) cos (sin
3 )
sin (cos
sin 3 cos sin 4
cos
3
2
0 2 2
2 sin 3 A 2
1 3 2
5 2
2
=
−
≤ α
−
=
≤
−
=
⇒
α
Với α= 0 ⇒ a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α=
4
π
⇒ a = 2
1 thì MinA =
2 5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2
+ +
− + ∀ a, b ∈ R
Giải:Đặt a = tgα, b = tgβ Khi đó
) tg )(
tg (
) tg tg )(
tg tg ( ) b )(
a (
) ab )(
b a (
β + α +
β α
− β + α
= + +
− +
2 2
2
1 1
1 1
=
β α
β α
− β α β α
β + α β
α
cos cos
sin sin cos cos cos cos
) sin(
.
cos
2
1 2
2
= β + α β +
sin(
) a 1 )(
c 1 (
| a c
| )
c 1 )(
b 1 (
| c b
| )
b 1 )(
a 1 (
| b a
|
2 2 2
2 2
+ +
−
≥ + +
− +
+ +
−
Giải:Đặt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ Khi đó bất đẳng thức ⇔
⇔ (1 |tgtg2 )(tg1 tg| 2 ) (1 |tgtg2 )(1tg |tg2 ) (1+|tgtg2 γ)(tg1+tg| 2 α)
α
− γ
≥ γ + β +
γ
− β +
β + α
+
β
−
α
γ β
γ
− β γ β + β α
β
− α β
α
cos cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
.
cos
cos
⇔|sin(α-β)|+|sin(β-γ)|≥|sin(γ-α)| Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)|≤
|sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)|
≤|sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)|⇒ (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) ( 1 ) ∀ a , b , c , d > 0
d
b 1 a
c 1 ab cd
d
b 1 a
c 1
1 1
) d b )(
c a (
cd )
d b )(
c a (
ab
≤
+
+
+
+
+
⇔
≤ + +
+ + +
Đặt tg2α=
a
c
, tg2β=
b
d với α,β∈
π 2 ,
0 ⇒ Biến đổi bất đẳng thức
) tg 1 )(
tg 1 (
tg tg )
tg 1 )(
tg
1
(
2 2
2 2 2
β + α +
β α +
β + α
+
⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 đúng ⇒ (đpcm)
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1 a
| 1 a
| 4 a 6
2
2
+
− +
Trang 7Đào Huy Nam
Giải:Đặt a = tg
2
α Khi đó A =
1 2 tg
1 2
tg 4 2 tg 1 2 tg 2 3 1
2 tg
| 1 2 tg
| 4 2 tg 6
2
2 2
2
2
+ α
−
α +
α +
α
= +
α
− α +
α
A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα≥ 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5
Với sinα = 1 ⇔ a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
| cos
| 3
sinα = α
thì MaxA = 5
V Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu
= +
+ +
>
1 2
0
2 2
x
z
;
y
;
x
thì
=
=
=
π
∈
∆
∃
C cos z
; B cos y
; A cos x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
b) Nếu
= + +
>
xyz z y
x
z
;
y
;
thì
=
=
=
π
∈
∆
∃
tgC z
; tgB y
; tgA x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
c) Nếu
= + +
>
1 zx yz
xy
0 z
,
y
;
x
thì
=
=
=
π
∈
=
=
=
π
∈
∆
∃
2
C tg z
; 2
B tg y
; 2
A tg x
)
; 0 ( C
; B
; A
gC cot z
; gB cot y
; gA cot x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S = 3(x y z)
z
1 y
1 x
1
+ +
− + +
Giải:Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α ; y = tg
2
β; z = tg
2
γ với α, β, γ∈
π
2 , 0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
α tg
2
β + tg
2
βtg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1
⇔ tg
2
β + γ
2
tg 2
tg = 1 -
2
tg β
tg 2
γ ⇔
2 g cot 2 2 tg 2 tg
1 2
tg 2 tg 1
2
tg 2
β+ γ
⇔ α
= γ β
−
γ + β
⇔ ⇔β+ γ = π−α ⇔α+β+γ = π ⇔α+β+γ=π
π+α
=
β+ γ
2 2
2 2 2 2 2 2 2
tg
S = 3 ( x y z )
z
1
y
1
x
1
+ +
− +
2
α + cotg
2
β+ cotg
2
α+ β+ γ
2
tg 2
tg 2 tg
α+ β+ γ
−
+
+
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 tg cotg tg cotg tg tg tg tg
g
cot
Trang 8Đào Huy Nam
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) -
α+ β+ γ
2 2 2
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ
) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α
) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β
)
Để ý rằng: cotgα + cotgβ = sinsin( .sin) sinsin.sin cos(α−β)sin−cos(α+β)
γ
= β α
γ
= β α
β +
2 2
2 tg 2 g cot g cot 2 tg 2 2 cos 2
2
cos 2 sin 4 cos 1
sin 2 ) cos(
1
sin
2
γ γ
= γ +
γ
= β
+
α
−
γ
T đó suy ra S ≥ 0 Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
) z 1 )(
y 1 ( x 1 (
xyz 4 z
1
z y 1
y x
1
x
2 2 2 2
2
−
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α; y = tg
2
β; z = tg
2
γ với α, β, γ∈
π
2 , 0
Khi đó tgα = 2
x 1
x 2
− ; tgβ = 1 y2
y 2
− ; tgγ = 1 z2
z 2
− và đẳng thức ở giả thiết
x
1
x
2
− +1 y 2
y
− +1 z 2
z 2
− = (1 x (1 y )(1 z )
xyz 8
2 2
− ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ
⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔1tg−αtg+α.tgtgββ = - tgγ⇔ tg(α+β) = tg(-γ)
Do α, β, γ∈
π
2 ,
0 nên α + β = π - γ⇔α + β + γ = π Khi đó ta có:
tg
2
αtg
2
β+ tg
2
βtg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1 Mặt khác:
(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =
2
1 [ ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2] ≥ 0
⇒ S = x2 + y2 + z2≥ xy + yz + zx = 1 Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 1
VD3: Cho
= + +
>
1 z y x
0 z , y , x
Chứng minh rằng: S =
4
9 xy z
z zx y
y yz x
+
+ +
+ +
Giải:
Trang 9Đào Huy Nam
Đặt
2
tg
x
yz = α;
2
tg y
xz = β;
2
tg z
xy = γvới α, β, γ∈
π
2 , 0
Do
x
yz z
xy z
xy y
zx y
zx
x
yz
+
nên tg
2
α tg
2
β + tg
2
βtg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1
β + γ
2
2 = cotg 2
α ⇔
β + γ
2
π − α
2
β
+ 2
γ
= 2
π
-2
α
⇔ α+β+γ= π⇔α+β+γ=π
2 2
S =
2
3 1 xy z
z 2 1
zx y
y 2 1
yz x
x 2
1 xy z
z zx y
y yz
x
+ +
+ +
+
= +
+ +
+
+
=
2 3 z
xy 1 z
xy 1 y
zx 1 y
zx 1 x
yz 1 x
yz 1 2
1 2
3 xy z
xy z zx y
zx y
yz
x
yz
x
2
1
+
+
− + +
− + +
−
= +
+
− + +
− +
−
−
=
2
1(cos + cosβ + cosγ) +
2
2
3 1
2
1
+ β + α
− β α
− β +
α cos (cos cos sin sin ) cos
4
9 2
3 4
3 2
3 cos cos ) sin (sin
2
1 ) 1 cos (cos
2
1
2
= +
= +
3 Các bài toán đ a ra trắc nghiệm
Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần Với các bài tập sau:
Bài 1: Cho a2 + b2 = 1 CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13
Bài 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5 CMR: 2a + b ≤ 10
Bài 3: Cho
= +
≥
2 b a
0 b
; a
CMR: a4 + b4≥ a3 + b3
−
−
−
≥
−
−
−
c
1 c b
1 b a
1 a a
1 c c
1 b b
1 a
Bài 5: Cho
= +
+ +
>
1 xyz 2 z y x
0 z
; y
; x
2 2
a) xyz ≤
8
1
b) xy + yz + zx ≤
4 3
Trang 10Đào Huy Nam
c) x2 + y2 + z2 ≥
4 3
d) xy + yz + zx ≤ 2xyz +
2 1
z 1
z 1 y 1
y 1 x
1
x
+
− + +
− +
+
−
Bài 6: CMR:
ab 1
2 b
1
1 a
1
1
2
Bài 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0
Bài 8: Cho
2
3 3 z 1
z y
1
y x
1
x : CMR 1
zx yz xy
0 z , y , x
2 2
−
+
−
+
−
= + +
>
Bài 9: Cho
2
3 z 1
z y
1
y x
1
x : CMR xyz
z y x
0 z , y , x
2 2
+
+ +
+ +
= + +
>
z 1
z 2 y
1
y x
1
x z
1
1 y
1
1 x
1
1 : CMR 1 zx yz xy
0 z , y , x
+
+ +
+ +
≥ +
+ +
+ +
= + +
>
Sau 2 tuần các em hầu nh không làm đợc các bài tập này mặc dù tôi đã gợi ý là dùng
ph-ơng pháp lợng giác hoá Sau đó tôi đã dạy cho các em sáng kiến của tôi trong một buổi sinh hoạt chuyên đề (3 tiết) thì thu đợc kết quả rất tốt