MỘT HƯỚNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Xin lỗi không biết tên tác giả – Tiêu đề tự đặt A... Bài tập áp dụng Bài 1... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy... Cộng các BĐT trên, vế theo
Trang 1MỘT HƯỚNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(Xin lỗi không biết tên tác giả – Tiêu đề tự đặt)
A Cơ sở lí thuyết
Xuất phát từ bất đẳng thức (a b− )2≥ ∀0, a b, (*)
Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b.
1 Từ (*) ta suy ra: a2+b2≥2 ,ab ∀a b, (1a)
Hay a2 b2 ab a b, ,
2
2(a2+b2) (≥ +a b) ,2 ∀a b, (1c)
a2 b2 a b 2, a b,
+ ≥ + ∀
÷
(1d)
2 Với a, b > 0 Chia 2 vế của (1a) cho ab ta được:
b a+ ≥2 (2)
3 Cộng 2 vế của (1a) với 2ab ta được (a b+ )2 ≥4ab Hay a b 2 ab
2
+ ≥
÷
Với a, b ≥0 Khai phương 2 vế ta được: a b
2
+ ≥ ab ( BĐT Cô–si với 2 số không âm)
4 Với a, b > 0, chia 2 vế của (3) cho ab(a+b), ta được:
4
+ ≥
Hay
a b a b
1 1+ ≥ 4
4 +4 ≥ +
5 Với a, b > 0, nhân hai vế của (2) với a ta được:
b
2
2
Hoặc nhân hai vế với b, ta được:
a
2
2
6 Với a, b > 0 Lấy nghịch đảo 2 vế của (1a) ta được:
ab a b2 2
b a b2 2
+ + ≥
+ ( nhân 2 vế với a + b )
⇔ a b a b
a2 b2
1 1 1 2
+ ≥ +
÷
+
7 Với a, b > 0, từ (1) ⇔ a2−ab b+ 2≥ab ⇔ a3+b3≥ab a b( + ) (7)
8 Từ (a b− )2 ≥0, (b c− )2≥0, (c a− )2 ≥0
Suy ra: a2+b2+c2≥ab bc ca+ + (8a)
Trang 2B Bài tập áp dụng
Bài 1 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ( p là nửa chu vi) Chứng minh rằng:
1 + 1 + 1 ≥21 1 1+ +
• Áp dụng (4), với a, b > 0 ta có:
a b a b
1 1+ ≥ 4
+
Từ đó:
2
2
2
Cộng (a), (b), (c), vế theo vế, ta được:
2 + + ÷≥4 + + ÷
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.
Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b b c c a a b c
+ + + + + ≥ + +
Từ công thức (5) ta có: a c a b a b c b c
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được:
+ + ≥ + + (1)
Tương tự : a b c a b c
+ + ≥ + + (2)
Cộng (1) với (2) ta được: a b b c c a a b c
+ + + + + ≥ + + (đpcm).
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.
Bài 3 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
b c c a a b
2
+ + + + ≥
+ + +
• Từ công thức (5) ta có:
2
(2 ) + + ≥( ) 2.2 =4 ; (2 ) + + ≥( ) 2.2 =4 ; (2 ) + + ≥( ) 2.2 =4
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được: a b c a b c
b c a c a b
+ + +
Chia 2 vế cho 4 ta được đpcm
Trang 3Bài 4 Cho x > 0 Chứng minh rằng: ( x)
x x
2 2
1+ + + ≥1÷ 16
• Từ (3) ta có: (1+x)2 ≥4x>0 (a)
và
x
2 2
1 + + =2 1 1+1 ≥41 >0
÷
Nhân (a), (b), vế theo vế, suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1.
Bài 5 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2
3 + + ÷≥4 + + ÷
+ + +
• Từ (3) ta có (a b+ )2 ≥4ab Chia 2 vế cho ab a b( + )2 >0, ta được: ab a b 2
≥ +
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được:
ab ac bc a b 2 b c 2 a c 2
+ + ≥ + + ÷÷
2
≥ + + ÷ + + +
(theo (8))
Bài 6 Chứng minh rằng: 2(a3+b3+c3)≥ab a b bc b c ac a c( + +) ( + +) ( + )
• Từ (7) ta có: a3+b3≥ab a b( + ); b3+c3 ≥bc b c( + ); c3+a3 ≥ac a c( + )
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được:
2(a3+b3+c3)≥ab a b bc b c( + +) ( + + +) (a c) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b= c.
Bài 7 Cho (x; y) là nghiệm của hệ phương trình: ax by
x y 1 0
− =
+ =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy
• Trước hết ta tính x, y
Từ ax = by ⇒ ax ay ay by+ = + ⇒ a x y( + = +) (a b y) ⇒ y a
a b
= + ⇒
b x
a b
= +
Khi đó: xy ab
a b 2
1 4
+
Suy ra: Maxxy 1 a b
4
= ⇔ = ⇔ x y 1
2
= =
Trang 4Bài 8 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2 + + +2 + + +2 + + ≤ 4 +4 +4
• Từ (4) ta có:
≤ + ⇒ ≤ +
Suy ra
2 + +( ) 8≤ +4( + ) 8= +4 +4 ≤8 +16 +16 Tương tự :
2 + +( ) 8≤ +16 +16 2 + +( ) 8≤ +16 +16 Cộng vế với vế 3 bđt trên, rồi rút gọn ta có đpcm
Bài 9 Cho a, b, c > 0 thoả mãn
b a c
2 1 1= +
Chứng minh rằng: a b c b
+ + + ≥
− −
Từ giả thiết a c
a c
2
= +
Suy ra: a b
a b
−
ac a
a c ac a
a c
2 2 2
+ +
− +
a a
2 2
2 2
+ = +
Tương tự : c b c b
3
+ = +
−
Do đó: a b c b
+ + +
− − = a
+ + + = + + +
= a c ac ac ac ac
Bài 10 Cho a, b, c > 0 thoả mãn a b c 1+ + = Chứng minh rằng:
a b+ +2c≥4(1−a)(1−b)(1 )−c
• Từ a b c 1+ + = ⇒ b c+ = −1 a và 0≤ ≤c 1 ⇒ c2 ≤ ⇒ ≥ −1 1 1 c2≥0
Suy ra: 4(1−a)(1−b)(1 )−c ≤[(b c+ + −) (1 b) (1 )]2 −c = (1 ) (1 )+c 2 −c = (1−c2)(1 )+c
≤ + = + +1 c a b 2c (đpcm)
Bài 11 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≥3 (*)
• Đặt x b c a y c a b z a b c= + − ; = + − ; = + − ⇒ x y z a b c+ + = + +
Suy ra: a y z
2
+
= ; b z x
2
+
= ; c x y
2
+
=
+ + +
= + + = + + + + + ÷≥ + + =
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c hay ∆ABC đều
Trang 5Bài 12 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
abc≥ + −(b c a c a b a b c)( + − )( + − )
• Tương tự bài 11 ta có: x y+ ≥2 xy, y z+ ≥2 yz z x, + ≥2 zx
Suy ra: (b c a c a b a b c+ − )( + − )( + − )=xyz x y y z z x. . abc
+ + +
Bài 13 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:
2+ 2 + 2+ 2 + 2+ 2 ≥ + +
• Theo (1c) ta có: 2(a2+b2) (≥ +a b)2 a b a b
a b
2
b c
2
+ ≥ +
c a
2
+ ≥ +
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm
Bài 14 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b c
a2 b2 b2 c2 c2 a2
1 1 1
+ + + + + ≤ + +
• Theo (6) ta có : a b
a b
a2 b2
1 1 1 2
+ ≤ +
÷ + .
Tương tự: b c
b c
b2 c2
1 1 1 2
+ ≤ +
÷ + ,
c a
c a
c2 a2
1 1 1 2
+ ≤ +
÷ + .
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm
Bài 15 Cho a, b > 0 thoả mãn a b 1+ = Chứng minh rằng: a b
2
+ + + ≥
÷ ÷
(*)
• Từ (1d) ta có: a2 b2 a b 2
≥ ÷
Suy ra:
+ + + ≥ + + + = + + + + = + + ≥
Bài 16 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b c
a b b c c a
+ +
• Từ (4) ta có:
a b a b
1 1+ ≥ 4
+
a b
a b
1 1 4
1 1 4+ ≤ +
Trang 6Bài 17 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a b c b c c a a b
15 2
+ + +
+ + +
Theo (2) ta có: a b
b a+ ≥2.
M
+ + +
= + + = + + + + + ÷≥ + + =
N
= + + ÷ = + ÷ + ÷ + −÷
(a b c)
b c c a a b
= + + + + ÷−
+ + +
(a b) (b c) (c a)
b c c a a b
2
= + + + + + + + −
+ + +
2− = 2 Suy ra: M N 6 3 15
+ ≥ + = Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.
Bài 18 Cho 2 số dương a, b thoả a + b = 1 Chứng minh rằng:
ab a b2 2
+
• a) Từ (3) ta có 4ab≤ +(a b)2⇒4ab≤1 ⇒ ab1 ≥4 (vì a, b > 0)
Từ (4) ta có
a b a b
1 1+ ≥ 4
+
+ = + + ÷≥ + =
Dấu “=”xảy ra ⇔ a = b = 1
2. b) Tương tự như trên ta có
Bài 19 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng: a c b d c a d b
+ + + + + + + ≥
• Sử dụng công thức (4) ta có:
a b a b
1 1+ ≥ 4
+ .
+ + + = + + ≥ +
+ + + + + + +
4
+ + + ≥ +
Cộng các BĐT trên, vế theo vế, ta được đpcm
Trang 7Bài 20 Cho a + b = 2 Chứng minh rằng: a4+b4≥2.
• Từ (1c) ta có: 2(a2+b2) (≥ +a b)2 =4 ⇒ a2+b2≥2
và 2(a4+b4) (≥ a2+b2 2) ≥22 =4
Suy ra: a4+b4≥2 (đpcm)
Bài 21 Cho a ≤1, b ≤1, a b+ = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = 1−a2 + 1−b2 (Đề thi vào lớp 10 THPT Hải Dương)
• Ta có : A= 1−a2 + 1−b2 ≥0
Xét A2 = 1−a2+ −1 b2+2 (1−a2)(1−b2) 2 (≤ − a2+b2) 1+ −a2+ −1 b2
= −4 2(a2+b2≤ − +4 (a b)2=1
A = 1 khi a = b ⇔ a = 3 4a2 3 a 3
2
⇔ = ⇔ = ±
Vậy maxA = 1 khi a b 3
2
2
= = −
Bài 22 Giải hệ phương trình:
x
y
z
2 2 2 2 2 2
1
1
1
=
+
=
+
=
+
• Từ hệ phương trình ta suy ra được: x, y, z ≥ 0
Ta có: 1+x2≥2x ⇒ 12x x2 ≤1
x
x
2 2
2 1
= ≤ +
Tương tự: z y y
y
2 2
2 1
= ≤ + ,
z
z
2 2
2 1
= ≤ + .
Như vậy: x z y x≤ ≤ ≤ ⇒ x y z= = .
Do đó (a) ⇔ x x
x
2 2
2
x
x3−x2 0 =x 10
= ⇔ = Vậy hệ phương trình có nghiệm: (0; 0; 0) hoặc (1; 1; 1)
====================