phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ sở

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc trung học cơ sở, bản thân tôi lại được nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7 tôi nhận thấy dạng toán “Tìm giá

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi tư duy trừu tượng cao độ, hệ thống toán học có kết cấu hết sức chặt chẽ, lôgíc và đa dạng Nhưng trong thực tế giảng dạy luôn tồn tại mâu thuẫn giữa tầm quan trọng của nó với việc dạy và học ở trường trung học cơ sở

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc trung học cơ sở, bản thân tôi lại được nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7 tôi nhận thấy dạng toán “Tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một trong những dạng toán khó với các

em học sinh lớp 7 Đồng thời học tốt dạng toán này là bước quan trọng để chuẩn

bị cho việc học phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vô tỉ ở lớp

8, 9 sau này

Qua quá trình trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy nhiều em còn vướng mắc

về phương pháp giải, quá trình giải thiếu lôgic và chưa chặt chẽ, chưa xét hết các trường hợp xảy ra Lí do là học sinh chưa nắm vững biểu thức về giá trị tuyệt đối của một số, của một biểu thức, chưa biết vận dụng kiến thức này vào giải bài tập Nhiều em học sinh còn yếu về kĩ năng nhận dạng, phương pháp giải không phù hợp Một số em còn tâm lí lo sợ khi học dạng toán này

Mặt khác phạm vi kiến thức ở lớp 6, 7 chưa rộng, học sinh mới bắt đầu làm quen về vấn đề này, nên chưa thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải bài toán một cách có hệ thống, cần có cái nhìn tổng quát hơn để tìm ra phương pháp giải dễ hiểu giúp cho việc lĩnh hội kiến thức và nâng cao chất lượng giáo dục

Chính vì vậy, tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối để phân chia được các dạng, tìm ra được phương pháp giải đối với từng dạng bài Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp giải nhanh gọn, hợp lí Bước đầu hình thành cho các em các kĩ năng suy luận biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán

Chính vì những lí do trên mà tôi mạnh dạn trình bày một vài kinh nghiệm:

“Phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ sở”

II Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

1 Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và

bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình toán lớp 7

2 Đối tượng nghiên cứu: Phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá

trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ sở

III Mục đích nghiên cứu:

- Nghiên cứu dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Đưa ra các phương pháp giải dạng toán trên để học sinh lựa chọn cách giải hay

- Hạn chế, khắc phục sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán này

IV Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

- Các em biết lựa chọn các phương pháp giải toán phù hợp biết tìm nhiều cách

để giải toán, tìm ra cách giải ngắn gọn, thông minh nhất, phù hợp với trình độ của các em

- Đặc biệt các em yêu thích môn toán, các em hào hứng thi đua trao đổi thảo luận sôi nổi khi gặp các bài toán khó Biết cách trình bày bài giải một cách mạch lạc, rõ ràng, ngắn gọn

- Rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân và đồng nghiệp khi dạy về dạng toán này

- Thời gian nghiên cứu khá dài (hai năm học) nên bản thân tôi đúc rút được nhiều kinh nghiệm, khắc phục và thay đổi cách làm, hướng đi cho phù hợp tình hình thực tế

PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận:

Đề tài trên được nghiên cứu trên thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi về dạng toán tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Khi dạy về dạng toán này gặp rất nhiều khó khăn do học sinh chưa học về phương trình, các phép biến đổi tương đương… Các em thường e ngại, lúng túng, nhầm lẫn không tìm ra hướng giải hoặc thường mắc sai lầm trong lời giải, tìm được x nhưng chưa đầy đủ còn thiếu trường hợp

Cần yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải bài tập tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối như:

- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

Dạng 1: Dạng |A(x)| = B với B  0

Dạng 2: |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x)

Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0

THPT, Việc nắm vững dạng toán này ở lớp 7 sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các lớp học sau

Trong toán học: “tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một vấn đề trừu tượng nhưng nó lại góp phần giải quyết các bài toán phức tạp sau này Khi gặp các dạng toán này bản thân tôi và các em học

sinh thấy được một số thuận lợi và khó khăn như sau:

- Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ

thầy cô giáo trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc

- Đa số các học sinh đều ham thích học bộ môn toán

2) Khó khăn:

+ Về khách quan:

- Trường THCS Mường Than có phần lớn HS là con em dân tộc, cuộc sống của các em còn gặp nhiều khó khăn Ngoài giờ lên lớp các em còn phải phụ giúp gia đình để kiếm sống cho nên các em không thực hiện tốt được việc tự học ở nhà

- Trong thời đại thông tin, khoa học kỹ thuật phát triển, nhiều trò vui chơi giải trí như điện tử, bi a, đã làm một số em sao nhãng việc học tập của mình dẫn tới kết quả học tập bị giảm sút

- Bên cạnh những gia đình quan tâm chu đáo cho việc học tập của con em mình còn một số gia đình chưa quan tâm tới việc học tập của các em do còn phải lo cho việc làm ăn kinh tế, lao động kiếm sống hàng ngày Từ sự quản lí không chặt chẽ của gia đình dẫn tới các em quen thói chơi bời, tụ tập và tư tưởng ỷ nại, lười học dần dần xuất hiện

+ Về chủ quan:

- Trong chương trình đại số lớp 7, việc tìm giá trị của biến trong đẳng thức, bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối với học sinh còn gặp những khó khăn

như kiến thức chưa được tường minh, lời giải chưa được trình bày một cách đầy

đủ và chính xác Học sinh thường mắc một số sai lầm cơ bản như: Chưa xác định xem đẳng thức có xảy ra không đã thực hiện các phép biến đổi hoặc khi tìm được x đã kết luận ngay không đối chiếu với điều kiện để chọn x rồi kết luận Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương mà trình bày rời rạc không theo một qui trình, không khoa học, thiếu thẩm mĩ

- Mức độ kiến thức của dạng toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối tương đối trừu tượng và phức tạp

- Do những khó khăn nêu trên và khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát 30 học sinh lớp 7 trường THCS Mường Than năm học 2011 - 2012; 2012 - 2013 với đề bài:

Tìm x biết:

a) |2x – 5| = 7 (5điểm) b) |x – 5| < 8 (5 điểm)

Kết quả đạt được như sau:

Năm học

Nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn trên là:

- Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của đa số học sinh còn yếu

- Học sinh không nắm được các kiến thức cơ bản, không nhận dạng được các dạng bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Học sinh còn lúng túng trong việc sử dụng định nghĩa và các tính chất của giá

trị tuyệt đối: | | 0

0

A k h i A A

- Không đặt điều kiện đã phá dấu giá trị tuyệt đối

- Khi tìm được x, bỏ quên bước so sánh với điều kiện mà kết luận ngay

- Giáo viên chưa phân biệt cho học sinh thấy rõ được các dạng bài toán cơ bản của tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Giáo viên xem nhẹ việc nhắc lại kiến thức cũ cho học sinh mà tập chung chủ yếu cho nội dung bài học mới

Qua thực tế giảng dạy và kết quả bài làm khảo sát của 30 học sinh tôi nhận thấy sai lầm mà các em thường mắc phải nhất là:

* Sai lầm do không nắm vững kiến thức

+ Bước 3: Không tìm được giá trị nào của x thỏa mãn đề bài yêu cầu

Nhận xét: Các em sai ngay ở bước 1, bỏ ngay dấu giá trị tuyệt đối, cho rằng

|A| = A mà không cần điều kiện gì của A

Nhận xét: Các em sai ở bước 2, nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do các em

không nắm vững kiến thức, chưa hiểu được ở đây 3 + x có chứa biến x (nên chưa khẳng định được 3 + x  0 hay 3 + x < 0 để giải tiếp)

* Sai lầm do chủ quan mặc dù nắm vững kiến thức

Ví dụ : Tìm x biết | 2x – 3| = 5

Học sinh chủ quan vội vàng cho rằng cần xét giá trị của biến để 2x – 3  0 hoặc 2x – 3 < 0 và giải 2 trường hợp tương ứng, trong khi ở đây đẳng thức luôn xảy ra (vì 5 > 0) Cách làm này của học sinh chưa nhanh gọn

Khi tôi áp dụng đề tài này vào quá trình hướng dẫn học sinh giải được bài, hiểu rất rõ cơ sở của việc giải bài toán đó Các em đã biết lựa chọn ngay cách giải nhanh

Cụ thể : |2x - 3| = 5 (vì 5 > 0)



   



III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Do khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng

bộ nên việc áp dụng lí thuyết cơ bản của dạng tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối còn gặp rất nhiều khó khăn, đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải dạng toán này vì các em chưa biết bài toán

đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất

Nắm bắt được tình hình trên trong tiết dạy tự chọn tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng Để giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt Tôi đã đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó, bên cạnh đó cũng có những bài tập nâng cao Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể

tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó

giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều

Ngoài ra còn phối hợp với giáo viên chủ nhiệm, gia đình học sinh thường xuyên quan tâm tới các em động viên giúp đỡ nhiệt tình, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học của các em

Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể

Từ định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài Cụ thể như sau:

Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán:

Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao?

(có xảy ra vì |A|  0 , 5 > 0) Đây là dạng cơ bản đầu tiên của đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi và nắm vững các kiến thức để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt Giáo viên trình bày bài tập mẫu, lưu ý cho các em về các bước giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

x x x x

Cách giải ở ví dụ 2 của bạn học sinh bị sai Mục đích ở đây là tôi muốn giúp học sinh nhận dạng và phương pháp giải dạng 1 cần lưu ý đến B  0 hay không? Do đó chỉ rõ lỗi sai lầm của học sinh và giải lại như sau:

Cách giải đúng: |2x – 1| + 3 = 2

|2x – 1| = - 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn |2x – 1| = - 1

Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra các ví dụ có độ khó được nâng dần lên

Nhận xét : Sau mỗi ví dụ tôi lưu ý cho các em phương pháp chung giải dạng toán đó Nếu có điểm khác biệt riêng giữa các ví dụ các em cần tìm hiểu và so

sánh chúng với nhau Một bài toán có thể có nhiều con đường để giải

1.2 Dạng |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x)

1.2.1 Cách tìm phương pháp giải:

Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao?

Học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra nếu B(x) < 0

(tôi nhấn mạnh thêm: chúng ta đã vừa tìm hiểu ở ví dụ 2)

=> Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy luận tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách?

1.2.2 Phương pháp giải:

- Học sinh có thể hình thành nên cách giải từ mâu thuẫn ở ví dụ 2

Cách 1: (Dựa vào tính chất) |A(x)| = B(x) ( ) ( )

Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

|A(x) | = B(x)

+ Xét A(x)  0  x = ? Ta có A(x) = B(x) (giải để tìm x thoả mãn A(x)  0) + Xét A(x) < 0  x = ? Ta có A(x) = - B(x) (giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0) + Sau đó kết luận về giá trị của x

Chú ý: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa

1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau (|A(x)| = k  0 dạng đặc biệt vì k > 0) của

Ta có: 9 – 7x = 5x – 3

x = 1 (thoả mãn)

+ Xét 9 - 7x < 0  7x > 9  x >

7 9

Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được dấu giá trị tuyệt

đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải: Xét các trường

hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa theo định nghĩa) và cách giải dựa vào tính

chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) = B(x); A(x) = - B(x) (vì ở đây cả hai vế đều không âm do |A(x)| ≥ 0 và |B(x)| ≥ 0) Để học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán, vận dụng tốt trong quá trình học tập

1.3.2 Phương pháp giải:

Cách 1: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối

Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x

thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)

Để khử các dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét khi nào x – 3  0 và x + 2  0

Ta có thể trình bày theo các bước sau:

Nếu x  - 2 ta có x - 3  0 và x  2  0 nên x - 3 3 - x và x + 2= - x – 2 Đẳng thức trở thành: 3 - x – x –2 = 7

Chú ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong

mỗi cách giải Ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối (các em cần quan sát, có ý thức lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp) Tuy nhiên với cách giải 2 (lập bảng xét dấu) sẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng qui tắc lập bảng như ví dụ dưới đây:

Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với x  9 thì đẳng thức trở thành:

x - 4 + x - 9 = 5 Khi đó x = 9 thỏa mãn x  9, như vậy nếu không kết hợp với

x = 9 để x – 9 = 0 mà chỉ xét tới x  9 để x - 9  0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 9

1.4 Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| = 0

1.4.1 Cách tìm phương pháp giải:

Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy