Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS hoằng quang – thành phố thanh hóa chứng minh bất đẳng thức

Trong chương trình toán học THCS, bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản, xuyên suốt toàn bộ chương trình thể hiện ở chỗ: Ngay bậc tiểu học, học sinh đã làm quen với bất đẳng

MỤC LỤC

MỤC LỤC……….……… ……….……… 1

1 MỞ ĐẦU……….……….……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……….……….……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….……… …….……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… ……….……… …….……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……….……… … … 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… ……….…… …… 3

2.1 Cơ sở lý luận ……….……… ………… ……… ……… 3

2.2.Thực trạng vấn đề ……… ………….……… ………… …….…… 3

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện ……….…….……… …… …… 4

2.3.1 Nội dung ……….……… ………… …. 4

2.3.2 Một số kiến thức về bất đẳng thức……….… ……… 4

2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ……… ………… 5

2.3.4 Một số ứng dụng của bất đẳng thức ……… …… ….… … 14

2.4 Hiệu quả của SKKN ……….…….……… ……… …… …… 17

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……….….……… 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… ……… ………… ……… 19

1 MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán học trung học cơ sở (THCS), bất đẳng thức đóng một vai trò quan trọng Quan hệ lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai số, giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng rất cơ bản, điều đó nói lên vai trò của bất đẳng thức Trong chương trình toán học THCS, bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản, xuyên suốt toàn bộ chương trình thể hiện ở chỗ: Ngay bậc tiểu học, học sinh đã làm quen với bất đẳng thức một cách không tường minh Học lên THCS học sinh được học thêm các kiến thức về bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh chúng Tuy nhiên trong chương trình toán học THCS bất đẳng thức được đưa vào rất

ít, song trong các đề thi học sinh giỏi toán lớp 8, 9 và đề thi môn toán vào lớp 10 thì những bài toán về bất đẳng thức được đưa vào thường xuyên (thường là câu cuối trong đề) và đều là những bài toán khó đối với học sinh Có thể nói chứng minh bất đẳng thức là phần gây cho học sinh nhiều lúng túng và bối rối

Bên cạnh đó, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại rất đa dạng, phong phú và độc đáo, điều đó tạo cho học sinh sự hứng thú, tìm tòi và sáng tạo Mặt khác, thông qua hệ quả là một bất đẳng thức đơn giản mà học sinh có thể pháp hiện

ra được nhiều bất đẳng thức hay và đẹp Do đó, bất đẳng thức cũng tạo cho học sinh nhiều điều ngạc nhiên và thú vị, giúp học sinh đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nói riêng và say mê toán học nói chung Vì thế việc luyên tập về chứng minh bất đẳng thức là rất cần thiết đối với học sinh THCS Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 8, 9 tại Trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa, bản thân tôi thấy việc dạy học sinh chứng minh bất đẳng thức còn gặp rất nhiều khó khăn Các

em còn lúng túng, chưa xác định được phương hướng để chứng minh bất đẳng thức; chủ yếu dựa vào sự gợi ý của giáo viên một cách thụ động

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa chứng minh bất đẳng thức”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Việc hướng dẫn học sinh nghiên cứu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ chủ động, tích cực trong việc tìm tòi lời giải trong bài toán chứng minh bất đẳng thức Đồng thời giúp học sinh có thể mở rộng và tổng quát hóa các bất đẳng thức quen thuộc Qua đó học sinh dần hình thành

khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư duy và rèn kỹ năng tự học cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

cho học sinh lớp 9 Trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết,

Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, Phương pháp thu thập thông tin, Phương pháp thống kê xử lí tài liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận:

Toán học là một môn khoa học tự nhiên có vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học Toán học có rất nhiều hướng nghiên cứu và đa dạng; trong chương trình toán học phổ thông có nhiều nội dung khó, trong số đó các bài toán

về bất đẳng thức luôn là thách thức lớn đối với học sinh Để giải được các bài toán về bất đẳng thức, ngoài việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, còn phải nắm chắc được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng nên cần phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, có nhiều bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí

Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; các dạng toán cực trị trong đại số và hình học Ngoài ra, đây cũng là nội dung quan trọng khi ôn tập, ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông cũng như luyện thi học sinh giỏi lớp 8, 9

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN:

a Thuận lợi

- Hiện nay đời sống kinh tế được nâng cao rõ rệt, phần lớn các bậc phụ huynh đều quan tâm đến việc học hành của con em mình Đa số các bậc phụ huynh nhận thức được tầm quan trọng của việc học môn Toán

- Được sự quan tâm của các cấp uỷ Đảng và chính quyền địa phương, đặc biệt là Ban giám hiệu nhà trường nên hoạt động dạy và học toán trong nhà trường diễn ra thuận lợi, đạt kết quả cao Giáo viên được trang bị đầy đủ phương tiện phục vụ dạy học như : máy vi tính, máy chiếu đa năng, camera vật thể,

- Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa, sách tham khảo Học sinh THCS

đa phần sử dụng được Internet để khám phá, tìm tòi kiến thức

b Khó khăn

Qua tìm hiểu, khảo sát tình hình thực tế tôi thấy rằng :

- Việc tìm ra lời giải cho một bài toán chứng minh bất đẳng thức là khá khó khăn cho học sinh, mặc dù trong quá trình giảng dạy giáo viên đã cố gắng hướng dẫn các phương pháp thông dụng, rèn luyện các kỹ năng cần thiết

- Các bài toán bất đẳng thức và cực trị đại số, hình học xuất hiện nhiều trong thi vào cấp 3, thi học sinh giỏi, thi khảo sát chất lượng học kỳ, nhưng đa số là học sinh không làm được, và gây lúng túng cho cả giáo viên

- Số tiết để dạy bất đẳng thức trong chương trình hiện hành rất ít, chỉ đủ để giới thiệu các bất đẳng thức rất đơn giản Ngay cả bất đẳng thức Cô si là bất đẳng thức rất quan trọng cũng chỉ được giới thiệu trong phần đọc thêm của Sách giáo khoa toán 8

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

2.3.1 Nội dung:

Khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức thì có rất nhiều cách giải khác nhau Trong đề tài này tôi lựa chọn một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức quan trọng, thường được sử dụng đó là:

- Phương pháp dùng định nghĩa và biến đổi tương đương

- Phương pháp chứng minh phản chứng

- Phương pháp làm trội, làm giảm

- Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ

Ngoài ra còn có một số bài toán chứng minh bất đẳng thức mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau

2.3.2 Một số kiến thức về bất đẳng thức.

a Một số định nghĩa:

Định nghĩa 1:

- Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b, nếu a - b là một số

dương tức là a - b >0 Khi đó ta cũng ký hiệu b<a Ta có a>b  a-b>0.

- Nếu a>b hoặc a=b Ta viết a  b ta có a  b  a b 0

Định nghĩa 2:

Các mệnh đề “a>b”, “ a  b”,”a  b”,”a  b” được gọi là các bất đẳng thức

- Trong bất đẳng thức a>b ( Hoặc a  b,a  b,a  b) a gọi là vế trái, b gọi

là vế phải của bất đẳng thức

- Các bất đẳng thức “a>b”, “c>d” (Hoặc “a<b”, “c<d”) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều Các bất đẳng thức “a>b”, “c<d” gọi là hai bất đẳng

thức trái chiều

- Xét hai bất đẳng thức “a>b”, “c>d” Nếu ta có “a>b” “c>d” ta nói bất đẳng thức “c>d”là hệ quả của bất đẳng thức “a>b”,

Nếu “a>b c  d" Ta nói hai bất đẳng thức “a>b” và “c>d” là hai bất

đẳng thức tương đương

b Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

Với a,b,c,dR

Tính chất 1: a>b và b>c  a>c

Tính chất 2: a>b  a+c>b+c Hệ quả a>b+c a cb

Tính chất 3: a c b d

d c b a

















Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức cùng chiều

Tính chất 4: a>b  











0 0

c Khi bc ac

c khi bc ac

Tính chất 5: 











0 0

d c b a

 ac  bd Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều

Tính chất 6: a>b>0 a1b1

Tính chất 7: a  0 ; 2 0



a a  R

2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phép lập luận nhằm chứng tỏ một bất đẳng thức nào đó là đúng gọi là phép chứng minh bất đẳng thức ấy Phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất

đa dạng Sau đây là một số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức

a Phương pháp sử dụng định nghĩa và phép biến đổi tương đương.

Hai bất đẳng thức gọi là tương đương nếu bất đẳng thức này đúng thì bất đẳng thức kia đúng và ngược lại

Phép biến đổi được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một bất đẳng thức thành bất đẳng thức tương đương với nó

Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là: Nếu chứng minh mệnh đề A>B ta đưa về chứng minh mệnh đề A - B>0 Ta cần chứng minh đó là một mệnh đề đúng

Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương là biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà đã biết

đúng hoặc đã được chứng minh là đúng, hoặc biến đổi những bất đẳng thức đúng đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh

Bài toán 1: a,b,cR , chứng minh rằng: a2b2c2abbcca

Giải : Xét hiệu:

ca bc ab c b

a2 2  2   = a2b2c2  ab bc ca

2 1

= ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2

a ca c c bc b b ab

= ( ) 2  2  2

2

1

a c c b b

a      0(luôn đúng với a,b,cR)

 a2b2c2 ab bc ca  0  a2b2c2abbcca

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nhận xét: Từ bài toán trên, với cách tương tự ta cũng chứng minh được:

ad ca bc ab d

c

b

a2 2 2 2    a,b,cR

Hay tổng quát: a a2 a n2 a1a2 a1a n

2

2

1       , a i  0 ,i 1 ,n,n 3

Bài toán 2: Cho ac 0và bc 0.Chứng minh rằng:

ab c

b c c a

c(  )  (  )  (2)

Giải: (2)   2  2

) ( ) (a c c b c ab

 acbc 2c2  2 c2 (a c)(b c) ab













 c a c b c ab abc c c













 c a c b c a c b c c

  2 ( )( )2 0







 a c b c

c  c (a c)(b c)2  0 (2’)

Vì ac 0  a c 0

bc 0  b c 0

Nhận thấy (2’) đúng a,b,c thỏa mãn ac 0và bc 0

Vậy (2) đúng

Dấu “=” xảy ra khi: c a c b c c a ab b











Bài toán 3: Cho  a,b,c 1 Chứng minh rằng:

ab b

a   

2 1

1 1

1

(4)

Giải: (4)  a a b b ab













1

2 )

1 )(

1 ( 2

 ( 2 ab)( 1  ab)  2 ( 1 a)( 1 b)

 2  2 ab (ab)  ab(ab)  2  2 (ab)  2ab

 (ab)  ab(ab)  2ab 2 ab 0

 (ab)( 1  ab)  2 ab( 1  ab)  0

 (ab 2 ab)( 1  ab)  0

 ( ) 2 ( 1 ) 0





a ( 4’)

Vì a,b  1  ab 1  1  ab 0và  a b2 0 ( 4’) lu«n đúng









2 1

1 1

1

 a,b,c 1

Dấu “=” xảy ra khi a=b

 Áp dụng câu a, ta có thể mở rộng như sau:

ab b

a   

2 1

1 1

1

3 3 3

1

2 1

1 1

1

abc c abc

c   

































1

2 1

1 2 1

1 1

1 1

1

1

1

abc c ab

abc c

b

a

4

1

4

abc abc





3 1

1 1

1 1

1

abc c

b

a     

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c

Chú ý: Từ a, b ta có bài toán tổng quát sau:

Cho a i  1  ,i 1 ,n (nN) thì:

n

n

n a

a

1

1

1 1

1

2 1 2

1       



Mặt khác, ta còn có: 0 a1  1 i  1 ,n (nN) thì:

n

n a

a

1

1

1 1

1

2 1 2

1       



Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách áp dụng câu a, cho hai

số một, cho đến n số; hoặc chứng minh bằng phương pháp quy nạp ( sẽ được đề cập ở phần sau) hoặc sử dụng phương pháp chứng minh dựa vào các bất đẳng thức đã biết

Bài tập tương tự:

1 Cho năm số a, b, c, d, e bất kỳ; chứng minh rằng:

) (

2 2 2 2

2 b c d e a b c d e

a        

Hãy mở rộng với số mũ của a, b, c ,d, e là 4; 8; 16.

2 Cho a, b>0 Chứng minh rằng:   1 1 4















b a b a

Hãy tổng quát bài toán với n số dương

b Phương pháp chứng minh phản chứng:

Phương pháp chứng minh phản chứng là phương pháp mà: Để chứng minh bất đẳng thức A>B, ta giả sử AB và suy ra điều vô lý; từ đó ta có A>B

Điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết, là điều không đúng hoặc có thể điều vô lý là do chỉ ra hai điều trái ngược, mâu thuẫn với nhau

Sau đây là một số bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Bài toán 4 Cho các số a1 ,a2 ,b1 ,b2 thỏa mãn hệ thức:a1 a2 2 b b1 2 Chứng

minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đây là đúng: 2 1

1 a

2 a

b 

Giải: Giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai, tức là: 2 1

1 a

2 a

b 

2 1

2

2

2

1 b a a

b   

Vì a1 a2 2 b b1 2 nên 1 2

2 2

2

1 b 2 b b

2 2 1

2

1  b b b 

2

1  b 

b

Điều này vô lý với b1,b2

Vậy ít nhất một trong hai bất đẳng thức trên là đúng (đpcm)

Nhận xét: Từ bài toán trên ta có thể mở rộng để được bài toán sau:

1 Cho các số a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 thỏa mãn a1 a2 a3 b1b2 b2b3 b3b1

Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:

1

2

1 a

3 2

2

2 a ,b a

2 Tổng quát: Cho các số a i,b i,(i 1 ,n) thỏa mãn: 1 1 1

1 1

b b b b

n





 Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng b  i2 a i (

n

i 1 , )

Bài toán 5: Cho a; b; c ( 0 , 1 ), chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:a( 1  b)  41; b( 1  c) 41; c( 1  a) 41

Giải: Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều đúng tức là:

4

1 ) 1

a ; b( 1  c) 41; c( 1  a) 14

     

64

1 1

1

     

64

1 1

1

 a a b b c c (6’)

Mà ta có:

4

1 )

1 (

0 a  a  a2 a

4

1 )

1 (

0 b  b  b2 b

4

1 )

1 (

0 c  c  c2 c

64

1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

 a a b b c c (6’’)

Nhận thấy (6’) và (6’’) Mâu thuẫn với nhau

Vậy có ít nhất một trong các bất đẳng thức trên là sai

Chú ý: Bằng cách tương tự ta cũng chứng minh được bài toán:

Cho a; b; c ( 0 , 2 ) hãy chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai:a( 1  b)  1; b( 1  c)  1; c( 1  a)  1

Có thể mở rộng bài toán trên để được bài toán mới cũng chứng minh tương tự : a; b; c ( 0 ,  )  0 Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây

là sai:

4 ) (   b 2

4 ) (   c 2

4 ) (   a 2

c

Ngoài ra ta còn có thể mở rộng thành bài toán sau: Cho a i0 , 

i 1 ,n,n 2,   0 có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

4 ) (

2 2 1



  a 

a

;

4 )

(

2 3

2



  a 

4 ) (

2 1



  a 

a n

Bài toán 6: Nếu ab 7998 thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

0 1999 2





ax

x (1)

2 2000 0





bx

x (2)

Giải: Giả sử cả hai phương trình trên đều vô nghiệm ta có:

Từ (1) ta có: 2 4 1999 2 7996 0

Từ (2) ta có: 2 4 2000 2 8000 0

0 7998 2 0

2

2















Theo giả thiết a b 7998  ab  7998

Nên ta có: 2 2 2 2 2 2 7998 2 2 15 996 0

















a

( ) 2 0





 a b (vô lý)

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Nhận xét: Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau:

Cho a1.a2  2 (b1b2) chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 2 1 1 0





a x b





a x b x

Bằng cách chứng minh tương tự ta hoàn toàn có thể chứng minh được bài toán này

Bài tập tương tự:

1 Cho 0 a,b,c 1 chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số a(1-b); b(1-c); c(1-a) không vượt quá 31 .

2 Cho a,b,c >0 và abc =1 Chứng minh: a+b+c 3

Hãy tổng quát bài toán bài toán trên

c Phương pháp làm trội, làm giảm.

Phương pháp làm trội, làm giảm ( Hay còn gọi là phương pháp ước lượng hoặc đánh giá phần tử đại diện) là phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tính được tổng hữu hạn

 Phương pháp tính tổng hữu hạn: Giả sử tính tổng: S n U1 U n

Ta biểu diễn số hạng tổng quát U k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau

1





 K K

U Khi đó:S  (a1  a2 )  (a2  a3 )   (a n  a n1 ) a1  a n1

* Phương pháp làm giảm, làm trội: là phương pháp để chứng minh:

mX1X2 X nM

Ta sử dụng các bất đẳng thức phụ: A iX i B i (i 1 ,n) mà m A1 A nvà

M

B

B1  n  sau ra mX1X2 X nM.Sau đây là một số bài toán:

Bài toán 7: Cho a>0; b>0; c>0; d>0 Chứng minh rằng:

























d b a

d a d c

c d c b

b c

b

a

a

































b a d

a d a d c

d c d c b

c b c b

a

b

a

Giải:

a.Với a>0; b>0; c>0; d>0 ta luôn có:a b a c d a a b c a a c

















a b b c d b c b d b b d

















a b c c d c d c a c c a

















a b d c d d d a b b d d

















Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có

d b

d b c a

c a b a d

d a d c

c d c b

b c b a

a d c b

a

d c b

a















































