chuyên đề về số phức

Nhân hai số phức... Môdul của số phức.. Chia hai số phức... Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác... Khơng có trường hợp phương trình vơ nghiệm.. Phương trình bậc nh

ĐẶT VẤN ĐỀ

Số phức đóng vai trò quan trọng như là công cụ đắc lực nhằm giải quyếthiệu quả nhiều bài toán đại số, giải tích, hình học, số học và tổ hợp

Trong các kì thi học sinh giỏi toán thành phố, quốc gia, Olympic khu vựcvà quốc tế, nhiều bài toán liên quan đến số phức hoặc giải quyết trên quan điểmáp dụng các tính chất của số phức

Số phức cũng là chuyên đề quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPTvà thi ĐH – CĐ Nhận thức được điều đó, tổ toán trường THPT Lê Quý Đônmạnh dạn đưa ra một số quan điểm về chuyên đề số phức, tiến hành hội thảocùng các đồng nghiệp trong cụm và các trường bạn trong thành phố góp ý xâydựng Chúng tôi rất mong được sự góp ý chân thành từ các bạn đồng nghiệp đểđể chuyên đề được hoàn thiện hơn, hội thảo thành công tốt đẹp

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

I ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC

II BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 8: SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( Hẹn năm sau)III BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ ĐÃ QUA

PHẦN I ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC

1 Khái niệm số phức

Số Phức (dạng đại số) có dạng z = +a bi với a, bÎ R , a gọi là phần thực,

b gọi là phần ảo, i là số ảo, i 2 = –1.

z là số thực  phần ảo của số phức z bằng 0 (b = 0).

z là số thuần ảo  phần thực của số phức z bằng 0 (a = 0).

Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo

Tập hợp các số phức kí hiệu là £ và ¡ Ì £

2 Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi (a, bÎ R) xác định một điểm M(a; b) hay xác địnhmột véc tơ ur =( ; )a b trong mặt phẳng (oxy) Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa

tập các số phức với tập hợp điểm trong mặt phẳng (oxy) hay tập các không gian véc tơ hai chiều Do vậy mặt phẳng (oxy) còn gọi là mặt phẳng phức.

Véc tơ ur biểu diễn số phức z, véc tơ ur' biểu diễn số phức z' thì véc tơ u ur+r'

biểu diễn số phức z + z’ và véc tơ u ur- r' biểu diễn số phức z – z’.

4 Nhân hai số phức.

z là số thực  z=z ; z là số ảo  z = - z.

6 Môdul của số phức

Số thực z = a2+b2 Î ¡ gọi là môdul của số phức z = a + bi.

7 Chia hai số phức.

Số nghịch đảo của số phức z là số phức z- 1 thoả mãn z z - 1=1 Kí hiệu

8 Căn bậc hai của số phức

w= +x yi là căn bậc hai của số phức z= +a bi khi và chỉ khi

Số 0 có một căn bậc hai là số w = 0.

Số z ¹ 0 có hai căn bậc hai đối nhau là w và – w

Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là ± a

Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là i± - a

9 Giải phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, CÎ £, A ¹ 0)

* Tính D =B2- 4AC = , d2 d là 1 căn bậc hai của .

* D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt

2

B z

A

Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì z cũng là

nghiệm của pt(*) Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số thực thì ta biết được nghiệm còn lại.

10 Dạng lượng giác của số phức

Mỗi góc lượng giác j =( ,Ox OM) gọi là một Acgumen của số phức z Khi đó số phức

11 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.

Cho z=r(cosj +isin ) ,j z'=r'(cos 'j +isin ')j Khi đó

12 Công thức Moa–vrơ:

(cosj +isinj )n =cosn j +isinn j

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Số phức z=r(cos j +isin )j , (r > 0) có hai căn bậc hai là

VÍ DỤ 1 Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau

Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 32

b Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là (1 i+ ) Suy ra:

VÍ DỤ 3 Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( )10

Vậy phần thực của z là 29, phần ảo của z là - 2 39

VÍ DỤ 4 Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( )

10

5

33

i z

Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 25

VÍ DỤ 5 Tìm phần thực và phần ảo của số phức

VÍ DỤ 6 Tìm phần thực phần ảo của số phức z biết z = và 5 (z- 3)i Î ¡

Từ (1) và (2) ta tìm được x = 3, y = 4 hoặc -4.

VÍ DỤ 7(KD.2010) Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số ảo

Bài giải

Giả sử số phức z đó là z = x+iy, x y Î ¡, Þ x2+y2 = (1).2

Ta lại có z2 =(x2- y2) +2xyi là số ảo Û x2- y2= (2).0

Từ (1) và (2) có hệ phương trình

2 2

2 2

1112

10

11

é = =ê

ê = = ê

VÍ DỤ 8 CĐ 2010 Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( )2

2 3- i z+ 4+i z = - 1 3+ i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, 5

VÍ DỤ 9 Tìm các căn bậc hai của số phức 16 30i+

Bài giải

Giả sử w = x+iy, x y Ỵ ¡, là căn bậc hai của sớ phức 16 30i+ khi và chỉ khi

ìï = ïí

ï =

Vậy có hai căn bậc hai của sớ phức 16 30i+ là 5 3 ; 5 3+ i - - i.

1.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1 Tìm phần thực phần ảo của mỡi sớ phức sau

i z

Bài 4 Cho z z Ỵ £ thỏa mãn: 1; 2 z = , 1 3 z = , 2 4 z1- z2 = Tìm phần thực 5

phần ảo của sớ phức 1

2

z z z

=

Bài 5 Cho sớ phức z = +x yi (x y Ỵ ¡; ) Tìm điều kiện của x; y để sớ phức(2 z i- ) ( )+ là sớ thuần thực.z

Bài 6 Biết sớ (2 z i- ) ( )+ là mợt sớ thuần ảo, hãy tìm z 2z- (2+ i)

Bài 7 Tìm phần thực và phần ảo của sớ phức 3

Bài 10 Tìm x, y sao cho

Sau đó sử dụng linh hoạt cơng thức Moa–vrơ Sau đây là mợt sớ ví dụ cơ bản.

2.1 MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOẠ

VÍ DỤ 1 Viết sớ phức z= - +1 3i dưới dạng lượng giác, từ đó tìm mợt

z có một acgument là 2

20 20

(2 2 ) , 1+ i + 3i , 1- i Khi gặp luỹ thừa bậc cao, ta nên đưa về dạng

lượng giác, sau đó vận dụng cơng thức Moa–vrơ

Chúng ta sẽ bàn kĩ hơn về ứng dụng dạng lượng giác được trình bày trongVẤN ĐỀ 6, 7 áp dụng cho mợt sớ bài toán: Chứng minh đẳng thức lượng giác,giải hệ phương trình

2.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1.Tìm mợt Acgument của sớ phức sau:

Bài 2 Tìm phần thực, phần sảo của các sớ phức sau:

a) 2 cos18( o +isin18 cos72o) ( o +isin72o) b) cos85 sin85

i i

++

++

Bài 3.Viết dưới dạng lượng giác của sớ phức sau

1

i i

+ =

Bài 6.Chứng minh

a) sin5t =16sin5t- 20sin3t+5sint

b) cos5t =16cos5t- 20cos3t+5cost

c) sin3t =3cos2t- sin3t d) cos3t =4cos3t- 3cost

Bài 7.Chứng minh

30

13

i i

çè + ø là sớ ảo.

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỚ PHỨC

Trong mục này ta xét việc giải phương trình trong đó ẩn sớ của mỡi phươngtrình là mợt sớ phức z Chú ý rằng các phương trình mẫu mực, các phương phápgiải mẫu mực trong phương trình với các hệ sớ và ẩn sớ là sớ thực được chuyểnthể nguyên vẹn sang phương trình phức Điểm khác biệt với phương trình trong

tập sớ thực là phương trình phức bậc n luơn có n nghiệm, tính cả nghiệm bợi.

Khơng có trường hợp phương trình vơ nghiệm Sau đây ta xét mợt sớ ví dụ cơbản sau

3.1 MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1 Phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất.

VÍ DỤ 1 Giải phương trình sau trên tập sớ phức:

a 2iz+ -1 i =0 b z i 2i

z i

-=+ c (1 2- i z) - 2+ =i 0

Trong phương trình b, học sinh hay mắc sai làm khi cho rằng z2+ ¹1 0," z

Điều này trái ngược hoàn toàn với số thực vì nhớ rằng i = -2 1

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

Giải phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, CÎ £, A ¹ 0)

* Tính D =B2- 4AC = , d2 d là 1căn bậc hai của 

* D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt B

z =- ±d

* D = 0: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép)

2

B z

A

Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì z cũng là nghiệm của pt(*) Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số thực thì ta biết được nghiệm còn lại Không có trường hợp phương trình bậc hai

Nhận xét: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lý Viét vẫn đúng trong trường

hợp xét phương trình bậc 2 trên tập hợp số phức

VÍ DỤ 2 Giải phương trình sau trên tập số phức

(2 3- i z) 2+(4i - 3)z+ -1 i = 0

Bài giải

Cách 1 Giải theo biệt thức D

Cách 2 Nhẩm nghiệm.

Chứng minh rằng nếu một nghiệm của phương trình az2+bz c+ = có 0

môđul bằng 1 thì b2 =ac

Bài giải

Giả sử z z là các nghiệm của phương trình 1, 2 az2+bz c+ = với 0 z =1 1

Theo định lý Viét ta có 1 2 2

1

1

Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai

VD4.(Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B – 2009).

Giải phương trình sau trên tập số phức 4 3 7

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là z = + , 3 i z = +1 2i.

VÍ DỤ 5 Giải phương trình với z là số phức:( 2 )2 ( 2 )

Vậy phương trình đã cho tương tương với:

1 2

3 4

i z

z

z z

ê =êê

2

i t

i t

ê =ê

-ê =êë

( ) 1

2

14

-êÛ

ê = ê

-Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là 1 2 1 1

 Phương trình quy về dạng tích bằng 0.

VÍ DỤ 7 Giải phương trình 2 2 213

VÍ DỤ 8 ( Dạng bất thường) Giải phương trình 3z+2 i z+ -1 4i =0

HD Sử dụng phương pháp tìm phần thực, phần ảo số phức z = +x yi x y, ,( Î ¡ )

VÍ DỤ 9 Tìm giá trị tham số m  sao cho (z i z- )( 2+2mz m+ 2- 2m) =0

a Chỉ có đúng mợt nghiệm phức

b Chỉ có đúng mợt nghiệm thực

c Có ba nghiệm phức

-Do các hệ sớ của phương trình (2) đều là sớ thực và có biệt thức  ' 2m 

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có hai nghiệm thực

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có mợt nghiệm thực, khơng có nghiệm phức

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có hai nghiệm phức, khơng có nghiệm thực Do vậy

a Phương trình (1) Chỉ có đúng mợt nghiệm phức   ' 2m 0 m0

b Phương trình (1) chỉ có đúng mợt nghiệm thực   ' 2m 0 m0

c Phương trình (1) có ba nghiệm phức    ' 0 m0

3.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1 Giải các phương trình sau trên tập sớ phức

rời giải phương trình Z4+2Z3+3Z2+2Z + = trên 2 0 £

Bài 3.Giải các phương trình sau trên tập sớ phức ( x là ẩn)

g) 4z2+8z2=8 h) z2+z =0 i) z2+z2=0k) z+2z = -2 4i l) z - 2z = - -1 8i m) z2- z=0Bài 8.Giải các phương trình sau trên tập sớ phức

Bài 9.Giải các pt sau trên tập sớ phức biết chúng có mợt nghiệm thuần ảo.

a)z3- iz2- 2iz- 2=0 b) z3+ -(i 3)z2+ -(4 4 )i z- 4 4+ i =0

Bài 10 Tìm m để phương trình sau: (z i z+ ) ( 2- 2mz m+ 2- 2m) =0

a) Chỉ có đúng mợt nghiệm phức

b) Chỉ có đúng mợt nghiệm thực

c) Có ba nghiệm phức

Bài 11 Tìm m đê phương trình sau: z3+ +(3 i z) 2- 3z- (m i+ = có ít) 0nhất mợt nghiệm thực

Bài 12 Tìm tất cả các sớ phức z sao cho ( z- 2)(z + là sớ thực.i)

Bài 13 Giải các phương trình trùng phương

a) z4- 6z2+25=0 b) z4- 24(1- i z) 2+308 144- i =0c) z4+6(1+i z) 2+ +5 6i =0 d) z4- 8(1- i z) 2+63 16- i =0

Bài 14 Cho z z là nghiệm của phương trình: 1, 2 z2- (1+i 2)z+ -2 3i = 0Tính giá trị của các biểu thức sau

Bài 15 Cho x x là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 x2- x+ = 1 0

Tính giá trị của các biểu thức:

a) x12010+x22010 b) x12011+x22011 c) x1n +x n N2n, ỴBài 16 Tìm hai sớ biết tởng và tích của chúng là

Bài 18 Tìm tham sớ m Ỵ ¡ để phương trình z2- mz m+ + = có hai 1 0

-nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện: z2+z2 =z z + 1

Bài 19 Tìm tham sớ m Ỵ ¡ để phương trình z2- 3mz+5i = có hai 0

nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện: 3 3

MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – MAX, MIN MƠĐUL

4.1 PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỚ: Tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo

Giả sử sớ phức z có dạng z= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ) Từ giả thiết đề bài ta

thiết lập biểu thức giữa x, y Sau đây là mợt sớ biểu thức thường gặp.

Biểu thức Đường tương ứng

4.1.1 MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOẠ

VÍ DỤ 1 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn sớ phức z thoả mãn

Mở rộng: khi giả thiết đề bài sửa thành z- 1+ > + ta biến đổi được i z 2

3x y- + <1 0 và kết luận tập hợp các điểm biểu diễn số z là nửa mặt phẳng

không chứa gốc tọa độ bờ là đường thẳng 3x y- + =1 0.

d (2- z i) ( )+z = = -( x2- y2+2x y+ ) + -(2 2y x i- ) là số thuần ảo khi

phần thực bằng 0 ( )2 1 2 5

Mở rộng: ta kết luận như thế nào nếu hệ thức tìm được là

4.1.2 BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1 Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

a Phần thực của z bằng -2 b Phần ảo của z bằng 3

c Phần thực của z thuộc (- 1;2) d Phần ảo của z thuộc é ùê ú1;3

e Phần thực của z thuộc (- 1;2)và phần ảo của z thuộc 1;3é ùê ú

Bài 2 Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

d z = -z 3 4+ i e z2 là số ảo f z2=( )z 2

13

4.2 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: Sử dụng các quỹ tích hình học cơ bản

Chú ý rằng, mỗi số phức z = x + yi tương ứng với một điểm M(x;y) trong mặt phẳng phức oxy, và ngược lại Môdul z z- o là khoảng cách giữa hai điểm

tương ứng M(x; y) và M o (x o ; y o ) tương ứng với hai số phức z, z o

Sau đây ta xét một số tập hợp điểm cơ bản trong hình học

Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi

z z- = -z z Đường trung trực của đoạn thẳng M 1 M 2 ,

với M1, M2 tương ứng với z1, z2

o

z z- =R R > Đường tròn tâm Mo, bán kính R, với Mo

là điểm ứng với zo

z z- + -z z = a> c> Elip tâm sai là F1, F2 tương ứng với M1,

M2 và khoảng cách F1F2 = 2c.

z z- - z z- = a> Hyperbol tâm sai là F1, F2 tương ứng với

M1, M2 và khoảng cách F1F2 = 2c

4.2.1.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ

VÍ DỤ 2 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z biế

a z- 2 3+ i = + -z 1 i b z+ -4 2i =5

c z- 4+ + =z 4 10 d z- 2- z+2 =3

Bài giải

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.

a Xét hai điểm A(2;-3) và B(-1;1)

Tương tự z+ -1 i =MB

Vậy giả thiết z- 2 3+ i = + -z 1 i Û MA =MB

Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB

b Xét điểm I(-4;2)

Từ giả thiết: z+ -4 2i = Û5 IM =5

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-4;2), bán kính R = 5

c Xét hai điểm F1( )4;0 và F -2( 4;0)

Giả thiết z- 4+ + =z 4 10Û MF1+MF2 =10

Suy ra tập hợp các điểm M là Elip có tiêu cự 2c = 8, độ dài trục lớn 2a = 10, độ

dài trục nhỏ 2b = 6 phương trình chính tắc là: 2 2 1

d Xét hai điểm F1( )2;0 và F -2( 2;0)

Giả thiết: z- 2- z+2 = Û3 MF1- MF2 = Suy ra tập hợp các điểm M3là Hypebol có tiêu cự 2c = 4, độ dài trục thực 2a = 3, độ dài trục ảo 2b = 7.Phương trình chính tắc là : 4 2 4 2