SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM Gồm 05 trang Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 05 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau
- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
Câu 1 (2,0 điểm)
Phương trình tương đương: 3 sin 2x 3 1 1 cos 2 x
cos 2 sin 2
3 cos 2
x
12
4
k
Vậy phương trình có nghiệm là
12
x k
4
x k k
Câu 2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm: x33mx2m4 x m4.
2
0
3 1 0 (1)
x
x mx
Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 9m2 4 0
2
3
2
3
m
m
Vậy các giá trị cần tìm của m là 2
3
m hoặc 2
3
m
Trang 2b) (1,0 điểm)
y x mx; 'y 0x hoặc 0 x2m
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 (*)
Các điểm cực trị của đồ thị là A0;m4 ;B 2 ;m m44m3
Suy ra AC m4 1 m4 ; 1 COyd B AC , 2m
2
ABC
S AC d B AC m m ; 4
ABC
S m m
t t t t t t t t
Do đó m (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy 1 m 1
Câu 3 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm).
Với m=2 ta có hệ
Đặt x2xa x;3 y , ta có hệ: b 4 2
4
ab
a b
a b
Giải hệ 4
4
ab
a b
ta được ab Suy ra 2
2
2
x x
x y
Giải hệ ta được ( ; )x y ( 1;5); (2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( ; )x y ( 1;5); (2; 4)
Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế
b) (1,0 điểm)
Hệ tương đương
2
2
x x x y m
4
x x a a xyb, ta có hệ: 2
6
ab m
2
6
2
6
a a
a
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn 1
4
a
Trang 3Với 1
4
a thì f a'( )0a 2
Bảng biến thiên:
2
∞
-25 28
+∞
2 -1
4
f(a) f'(a) a
Suy ra giá trị cần tìm của m là: m 2
Câu 4 (2,0 điểm)
60°
30°
S
A
B
C
K
C
B
B'
M H
I
2 0
.sin120
HBC
a
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC
AH HM HB AK AH
Trang 4Góc giữa (SHC) và (ABC) là 600 tan 600 3
4
a SKA SA AK
Vậy
.
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là ' BCB
Gọi I là hình chiếu của A trên SK AI (SHC)
Ta có BB'd B SHC( , ( ))2 (d M SHC, ( ))2 ( , (d A SHC))2AI
Trong tam giác vuông SAK, ta có
2
a
AK AS
0
BCB
BCB
Câu 5 (1,0 điểm)
H
1 1
E I
A
D
B
C
Gọi I ACBD , H là hình chiếu của B trên CD
1 1
1 1
2 3
Đường thẳng AC có dạng: a x( 4)b y( 2)0ax by 4a2b0 (a2b20)
2
5
a b
a ab b
a b
Chọn b=1 ta được 1; 3
3
a a
Từ đó suy ra phương trình AC là x3y100 hoặc 3xy100
2
EH CH IE BE
2
ABCD
AD AD AD
5
AI
Trang 5* Nếu AC x: 3y10 , suy ra 0 17 11;
5 5
I
Gọi A10 3 ; t t thì từ 4 10
5
AI ta có
5 5
A A
Do x A2A1;3
* Nếu AC: 3xy10 , suy ra 0 21 13;
5 5
I
Gọi A t t ;3 10 thì từ 4 10
5
AI ta có
(không thỏa mãn x A ) t 2
Vậy điểm A cần tìm là A1;3
Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh AD thì cho 0,25 điểm 2
Câu 6 (1,0 điểm)
Ta có ab c a2b2a2c2 0 b c2 2a2b2c2a2a23 2 a2
Suy ra bca 3 2 a2
Xét hàm f a( )3a2 3 2 a2 2013a3; a 0;1 Ta có
2
18 1 2
a a a
3
2
a a a a a
Suy ra 2 2
1
3 3
3 3
f a
Suy ra ( )f a nghịch biến trên đoạn 0;1 Do đó ( )f a f(1) 2013
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi abc 1
……… Hết………
