có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có thể tích bằng V.. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông.. Người ta đổ nước vào cái phễu
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: TOÁN – Phần Trắc nghiệm khách quan
Thời gian: 40 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 25/3/2017
(Phần Trắc nghiệm khách quan gồm có 03 trang)
Họ và tên thí sinh: ………
Số báo danh: ……….………
Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 4 x2
A maxy 2 B maxy 2 C maxy 4 D maxy 2 2
Câu 2 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y x 4 2mx2 2 m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
A 0 ; 1 B 0 ; 2 C 1 ; 2 D ; 2
Câu 3 Hỏi hàm số
3 2
2
x x x khi x
có bao nhiêu điểm cực trị ?
Câu 4 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y 3 sinx cosx mx đồng biến
trên khoảng (0;3 )
A 2 ; B 2 ; C 1 ;
2
D 2 ;
Câu 5 Tìm tập xác định D của hàm số y 1 log (2 3 x)
A D 1; 2. B D 1; 2. C D ; 2. D D 1; .
Câu 6 Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn: log27a2 log9b2 2016 và log9a2 log27b2 2017 Tính tích a b
A 1
27
a b . B .a b 3 C .a b 9 D .a b 27.
Câu 7 Biết rằng phương trình 6x 12 2x2 3x1
có hai nghiệm thực x x và1, 2
1 2 log 32 log 23
x x m n Tính m n
2
m n B m n 2 C m n 3 D m n 5
Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tập nghiệm của bất phương trình
2
2
log x (m1) log x m 2 0 chứa khoảng (1 ; 8)
Mã đề thi 001
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2C ( ) ln tan
2
x
x
Câu 10 Biết
1
2 0
ln( 1
ln 2 .ln
)
x
d x a b
3
a b B 2
3
3
a b D 4
3
a b
Câu 11 Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ylnx, đường thẳng x 2 và trục hoành là S a ln 2b Tính a b
A a b 1 B a b 1 C a b 3 D a b 2
Câu 12 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) : 3
1
C y
x
, đường thẳng ( ) : 1
2
d y x và trục tung Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
A
3
x
0
x
C
0
x
0
1 2
x
Câu 13 Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có diện tích các mặt ABCD, ABB A' ' , ADD A' ' lần lượt là 12 cm2, 27 cm2, 36cm2
A V 36 cm3 B V 54 cm3 C V 75cm3 D V 108cm3
Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có thể tích bằng V Gọi , , ,
M N P Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB SBC SCD SDA Tính thể tích , , , V' của khối chóp O MNPQ
A ' 4
27
V
27
V
9
V
9
V
V
Câu 15 Cho hình trụ có trục OO' và có chiều cao bằng hai lần bán kính đáy Trên hai đường tròn đáy ( )O , ( ') O lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và O B' bằng 60 Biết độ0 dài đoạn thẳng AB bằng a, tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho
9 3
a
3 3
a
15 5
a
V D 2 3
5 5
a
V
Câu 16 Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông Tính
diện tích xung quanh S xq của hình nón.
A S xq 8 B S xq 4 C S xq 4 2 D S xq 2 2
Câu 17 Một cái phễu dạng hình nón có chiều cao bằng 20 cm Người ta đổ nước vào cái phễu sao cho
chiều cao của nước trong phễu bằng 2
3 chiều cao của phễu (mặt nước vuông góc với trục của phễu) Hỏi
nếu bịt kín miệng phễu và úp phễu xuống (xem hình minh họa) thì chiều cao của nước trong phễu bằng bao nhiêu (giá trị gần đúng làm tròn đến hàng phần trăm)?
Trang 3A 2, 21 cm B 3, 22 cm C 5,09 cm D 6,67 cm
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 x y z 3 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ( )
A ( ) :P x2y0 B ( ) :P x 2z0 C ( ) :P x2z0 D ( ) : 2P x z 0
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh (1; 1;0)A , (2;0;1)B ,
( 1; 2; 1)
C Viết phương trình chính tắc của thẳng d chứa đường cao vẽ từ A của tam giác ABC
d
d
d
d
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm ( 1;0; 2), (1;1; 1), (3; 2;4) A B C Trong tất
cả các mặt cầu đi qua 3 điểm , ,A B C , hãy tìm tọa độ tâm I của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
A 2; 1 3;
2 2
I
3 3
I
2 2
I
D I1; 1;3 Hết phần Trắc nghiệm khách quan
Trang 4SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: TOÁN – Phần Trắc nghiệm khách quan
Thời gian: 40 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 25/3/2017
(Phần Trắc nghiệm khách quan gồm có 03 trang)
Họ và tên thí sinh: ………
Số báo danh: ……….………
Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 x2
A miny 2 B min y 2 2 C miny 2 D miny 4
Câu 2 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y x 4 2mx2 6 m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
A 2 ; 6 . B 3 ; 6. C 0 ; 2. D ; 3
Câu 3 Hỏi hàm số
3 2
2
x x x khi x
có bao nhiêu điểm cực trị ?
Câu 4 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số ysinx 3 cosx mx đồng biến
trên khoảng (0;3 )
A 2 ; . B ; 2 C ; 2 D ; 1
2
Câu 5 Tìm tập xác định D của hàm số y 2 log (1 2 x)
A D ; 2 B D 3; C D ; 1 D D 3; 1
Câu 6 Cho hai số thực dương ,a b thỏa mãn: log4a log8b3 2016 và log8a3 log16b22017 Tính tích a b
A 1
4
a b B .a b 4 C 1
2
a b D .a b 2
Câu 7 Biết rằng phương trình 6x 24 2x3 3x1
có hai nghiệm thực x x và1, 2
1 2 log 32 log 23
x x m n Tính m n
A m n 4 B m n 3 C m n 2 D m n 1
Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tập nghiệm của bất phương trình 2
2
log x (m 2) log x m 3 0 chứa khoảng (1 ; 4)
Câu 9 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1
sin
f x
x
sin
x
x
Mã đề thi 002
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 5C f x dx( ) ln sinx C D ( ) ln tan
2
x
Câu 10 Biết
1
2 0
ln( 2
ln 2 .ln
)
x
d x a b
2
2
a b C 3
2
2
a b
Câu 11 Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ylnx, đường thẳng x 3 và trục hoành là S a ln 3b Tính a b
A a b 0 B a b 1 C a b 2 D a b 5
Câu 12 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) : 4
1
C y
x
, đường thẳng ( ) : 1
3
d y x và trục tung Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H xung quanh trục hoành Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
A
0
x
0
1 3
x
C
0
x
0
x
Câu 13 Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có diện tích các mặt ABCD, ABB A' ' , ADD A' ' lần lượt là 12 cm2, 24cm2, 32 cm2
A V 68cm3 B V 48cm3 C V 96cm3 D V 32 cm3
Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có thể tích bằng V Gọi , , ,
M N P Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB SBC SCD SDA Tính thể tích , , , V' của khối chóp O MNPQ
A ' 2
27
V
27
V
9
V
9
V
V
Câu 15 Cho hình trụ có trục OO' và có chiều cao bằng hai lần bán kính đáy Trên hai đường tròn đáy ( )O , ( ') O lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và O B' bằng 60 Biết độ0 dài đoạn thẳng AB bằng a, tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho
15 5
a
5 5
a
9 3
a
3 3
a
V
Câu 16 Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông Tính
diện tích xung quanh S xq của hình nón.
2
xq
S B S xq 18 2 C S xq 9 D S xq 9 2
Câu 17 Một cái phễu dạng hình nón có chiều cao bằng 25 cm Người ta đổ nước vào cái phễu sao cho
chiều cao của nước trong phễu bằng 2
3 chiều cao của phễu (mặt nước vuông góc với trục của phễu) Hỏi
nếu bịt kín miệng phễu và úp phễu xuống (xem hình minh họa) thì chiều cao của nước trong phễu bằng bao nhiêu (giá trị gần đúng làm tròn đến hàng phần trăm)?
Trang 6A 6,37 cm B 2,76 cm C 8,33 cm D 4,03 cm
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 x y z 3 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng ( )
A ( ) :P x2y0 B ( ) :P x 2y0 C ( ) :P x2z0 D ( ) :P y z 0
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh (1;1;3)A , (0;1; 2)B , (3; 2;1)
C Viết phương trình tham số của thẳng d chứa đường cao vẽ từ A của tam giác ABC
A
1 2
3 3
B
1
3
C
1
3 3
D
1 2
3
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm ( 1;0;1), (2; 1; 2), (1; 4; 1) A B C Trong tất
cả các mặt cầu đi qua 3 điểm , ,A B C , hãy tìm tọa độ tâm I của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
A 2; 1 ;2
I
I
I
2 2 2
I
Hết phần Trắc nghiệm khách quan
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017
Môn thi: TOÁN – Phần Trắc nghiệm tự luận
Thời gian: 80 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 25/3/2017
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hàm số 2 3
1
x y x
có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C , biết tiếp tuyến
này cắt hai trục Ox Oy lần lượt tại hai điểm ,, A B khác O và 5OA4OB
Câu 2 (2,0 điểm)
Tính tích phân
ln8 ln3
1 1
x
x
x e
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình log2xlog (3 x1) log ( 4 x2) log ( 5 x3) trên tập số thực
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC2MB, N là trung điểm cạnh AC Hai mặt phẳng (SAM và () SBN cùng vuông góc với mặt) phẳng (ABC , góc giữa hai mặt phẳng () SAB và () ABC bằng ) 60 0
a) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a
Câu 5 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : P x2y z 0 và đường thẳng
:
d
a) Mặt cầu ( )S có tâm thuộc đường thẳng d, bán kính R 6 và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P Viết
phương trình mặt cầu ( )S
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( )P một góc có số
đo nhỏ nhất
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương , ,a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
-ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 8SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT
(Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang)
I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (10,0 điểm).
Mã đề thi 001
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
Mã đề thi 002
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0
II PHẦN TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN (10,0 điểm).
1
(2,0) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C 2,0
Tập xác định D R \ 1 ; ' 5 2 0, 1
( 1)
x
Suy ra mọi tiếp tuyến của (C) có hệ số góc âm 0,25 Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm của (C) và tiếp tuyến thỏa đề
Hệ số góc tiếp tuyến là: 0 2
0
5 '( )
( 1)
k y x
x
Từ giả thiết suy ra có hệ số góc tan 5
4
OB
OA
0 0
1
'( )
3
x
y x
x x
+ Với x thì 0 1 0 1
2
y PTTT là: 5( 1) 1
y x hay 5 7
y x 0,25 + Với x thì 0 3 0 9
2
y PTTT là: 5( 3) 9
y x hay 5 33
y x 0,25
Cách khác:
+ Gọi là tiếp tuyến thỏa đề
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M x y( ; )0 0 có dạng:
'( )( )
0 0
5
1 ( 1)
x
x x
+
2
5
+
2
2 0
x
+
2
4 0
x
+ vì A và B không trùng với O nên 2x026x0 3 0 0,25
Trang 90
1
3
x x
x
+ Với x thì 0 1 0 1
2
y PTTT () là: 5( 1) 1
y x hay 5 7
y x 0,25
+ Với x thì 0 3 0 9
2
y PTTT () là: 5( 3) 9
y x hay 5 33
y x
* Nếu học sinh giải ra 4 tiếp tuyến thì trừ 0,5 điểm.
0,25
2
(2,0)
Ta có:
Tính
ln8
ln 3
x
M xe dx Đặt u x x du dx x
dv e v e
0,25 Khi đó:
ln8 ln8 ln3 ln3
ln8 ln8
ln3 ln 3 (xe x) e x 24ln 2 3ln 3 5
Tính
x
Đặt t e x 1 t2 e x 1 2tdt e dx x ; xln 3 t 2, xln 8 t3 0,25 Khi đó:
2
1
t t t
lnt132 ln t132 ln 3 ln 2 Vậy I M N23ln 2 2 ln 3 5 0,25
3
(1,0) Giải phương trình + Điều kiện x 0 log2xlog (3 x1) log ( 4 x2) log ( 5 x3) (1) 1,0
+ Xét x 2:
0,25
log log ( 2)
log log ( 1) log ( 2) log ( 3) log ( 1) log ( 3)
+ Xét 0x2:
0,25
Trang 10Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2
Ghi chú: Nếu học sinh xét trường hợp 0x2 trước đúng thì được 0,5 điểm;
trường hợp còn lại 0,25 điểm.
Cách khác:
+ Điều kiện x 0
log xlog (x1) log ( x2) log ( x3)
log x log (x 2) log (x 1) log (x 3) 0
-Xét f x( ) log 2x log (4 x2) log ( 3 x1) log ( 5 x3)
'( )
.ln 2 ( 2).ln 4 ( 1).ln 3 ( 3) ln 5
f x
0
0
ln 2 ln 4
0
0
ln 3 ln 5
Suy ra '( ) 0,f x x 0 Do đó f(x) đồng biến trên khoảng (0;)
Mà x=2 là nghiệm của phương trình (*) Vậy pt đã cho có một nghiệm duy nhất x=2.
4
(2,0)
a) Tính thể tích khối chóp S ABC theo a 1,0
Q
P
I
D
F M
H
N A
C
B
S
E K
+ Gọi H là giao điểm của AMvà BN Lập luận được SH (ABC)
+ Dựng HEAB E AB( ) Chỉ ra được ((SAB), (ABC))SEH 600 0,25 + Gọi F là trung điểm của MC thì M là trung điểm BF
NF/ /AM (t/c đường trung bình) hay NF/ /HM H là trung điểm của BN 0,25
+ Trong tam giác HBE vuông tại E có: 3 0 3
+ Trong tam giác SHE vuông tại H có: 3 0 3
0,25
+ Diện tích tam giác ABC: 2 3
4
ABC a
+ Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 . 1. 2 3 3. 3 3
0,25
Q
E
M H
N A
Trang 11b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . 1,0
+ Dựng hình thoi ABCD
+ Vì BC/ /(SAD nên: ) d BC SA , d BC SAD , d M SAD , 0,25
3
AM NF HM MA HA Do đó ( ,( )) 4 ( ,( ))
3
d M SAD d H SAD 0,25 + Qua H, dựng đường thẳng vuông góc với AD tại P và cắt BC tại Q
HP PQ
0,25
+ Dựng HKSP K SP( ) Chứng minh HK(SAD) ( ,(d H SAD))HK
+ Trong tam giác SHP vuông tại H có:
2
a HK
3
,
4
a H
0,25
5
Goi I là tâm của (S) Vì I d nên ( 1 2 ; 1 ;3I t t t) 0,25
Vì ( )S có bán kính R 6 và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P nên:
0
| 1 2 2( 1 ) (3 ) | | 3 6 |
4
t
d I P R
t
0,25
t = 0 I(–1;–1;3) Phương trình mặt cầu (S) là (x1)2(y1)2(z 3)2 6 0,25
t = 4 I(7;3;7) Phương trình mặt cầu (S) là (x 7)2(y 3)2(z 7)26 0,25
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q 1,0
P
Q d
a
A
B
H K
+ Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q) Khi
đó a đi qua giao điểm A của d và (P), A cố định Lấy điểm B cố định trên d (B khác A) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P), H cố định Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên a Góc giữa (P) và
Ta có tanBKH BH
KH
Mà BH không đổi và KH AH nên:
BKH nhỏ nhất tan BKH nhỏ nhất KH lớn nhất K trùng A hay d a tại A, tức
là a nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d
0,25 + Một VTPT của (P) là n P (1;2; 1)
, một VTCP của d là u d (2;1;1) + Một VTCP của a là u 1 n ,u (1; 1; 1)