Phương pháp bậc Tôpô cho bài toán biên3_2

Luận văn thạc sĩ toán học:Phương pháp bậc Tôpô cho bài toán biên

C h u'dng 1

Trong chang minh s1j t6n ti;ti nghi~m cua bai toan bien, phuong phap bi;ic tapa du<;5cS11d1).ngkha rQng raj va la mQt cang C1).rat hiiu hi~u C6 riit nhi~u cang tdnh nghien cau bai toan bien cua phuong

trinh vi phan di;tng x(n)(t) = f(t, x(t), x'(t), x"(t), , x(n-l)(t)), n ? 2

va giai quy@t bfing phuong phap bi;ictapa, xem chitng hi;tn [3], [5], [4], [6], [7], [8], [9], [10] Lui;in van nay dung phuong phap bi;ic tapa cho

mQt bai toan bien, phuong phap bi;ictapa n6i tai a day th~ hi~n trong

mQt k@tqua ma chung tai giOi thi~u qua b6 d~ 1.1

Bai toan tdnh bay trong lui;in van nhu sau

x" (t) = f (t, x ( t ) , F x (t ), x' (t ), H x' (t ) ), t E [0, 1] C IE.

vai cac c~p di~u ki~n ex(x) = A, x'(I) = B; ex(x) = A, x'(O) = B;

bi ch~n va tang, con f thoa di~u ki~n Caratheodory tren [0, 1] X IE.4,

Day la bai toan ma rQng cua x"(t) = f(t, x(t), x'(t)) Phuong tdnh

x"(t) = f(t, x(t), x'(t)) du<;5C V Kelevedjiev P giOi thi~u trong [1]

vai cac c~p di~u ki~n bien x(O) = A, x(l) = B; x'(O) = A, x'(I) =

B; x(O) = A, x'(I) = B; x'(O) = A, x(l) = B Ham f lien t1).Ctren

[0,1] x IE.2,f E 0([0,1] X IE.2).[1] khang S11d1).ng phuong phap bi;ic

tapa cho S1jt6n ti;ti nghi~m cua bai toan Sau d6, Rachunkova I va

Stanek S (xem [3]) dua them vEtOham j hai thanh ph§.n 1l11ad~ co

x"(t) = j(t,x(t), Fx(t),x'(t), Hx'(t)), va giai quy~t van d§ co nghi~m b~ng phuong phap bfj.ctapa

Cac di§u ki~n cho j trong [3] xuat hi~n tv danh gia tIeD thanh ph§.n tha tu cua j Bai toaD ban d§.u duQc bi~n d6i thanh Dx = )"N(x, )"),),, E [0,1] MOt b6 d§ v§ bfj.ctopa duQc s11d\mg khi co danh

gia cho nghi~m x cua Dx = )"N(x, ),,) Va Dx = N(x,l) chfnh la phuong trlnh ban d§.u

K~t qua trong [3] cling da duQc Rachunkova I md rOng va s11d\mg cho bai toaD tu§.n hoan va bai toaD Neumann, xem [4] Trong [4], nghi~m va d<,toham cua nghi~m duQc chi;in bdi cac h~ng s5 Va cac

h~ng s5 nay xuat hi~n trong di§u ki~n cua ham j.

[3] baa g6m nhfi'ng k~t qua v§ t6n t<,tinghi~m cua ca ba bai tOaD bien duQc gidi thi~u, ca trudng hQp thu§.n nhat va khang thu§.n nhat Lufj.n van md rOng nhfi'ng k~t qua chu y~u trong [3] Cac h~ng s5

£1, £2, £3, L4 trong di§u ki~n cua j d [3] duQc chung tai md rQng thanh nhfi'ng ham theo bi~n t Vi~c md rQng nay ti~n hanh cho ca ba

bai tOaD bien d trudng hQp thu§.n nhat

Ph§.n md d§.u cua lufj.nvan trlnh bay so luQc v§ tlnh hlnh nghien cuu bai tOaD, v§ bai tOaD, gidi thi~u nhfi'ng cang C1,lduQc s11d1,lng trong nhfi'ng ph§.n Bali Ph§.n nOi dung chfnh duQc chia thanh ba chuang Chuang 2 la cac k~t qua chu y~u cua [3] duQc chang minh C1,lth~ Chuang 3 la ph§.n md rQng Dng d1,lngcua nhfi'ng k~t qua trong chuang

2 va chuang 3 duQc th~ hi~n trong chuang 4 Cu5i cling la k~t lufj.nva tai li~u tham khao

1.2 Bai toan, ky hi~u, cae kh6ng gian ham

1.2.1 Cae kh6ng gian ham

J = [0,1] c ffi

X = C( J) la khang gian cac ham lien tl,lCtIeD J.

X duQc trang bi chu§,n sup nhu thong thudng:

-D = {K : X ~ X lien t\lC / K(rl) bi chi;mVrl c X bi chi;1n}.

A = {, : X ~ ~ tuy@ntinh bi chi;1nva tang} Ham, : X ~ ~ gQi

la tang n@uvdi mQi x, y E X, x(t) < y(t) tren J keG theo ,(x) < ,(y).

nhung di;1ctlnh sau:

+ Vdi mQi X,U,V,W E~, j(.,x,u,v,w) do duQc tren J

+ Vdi h§,u h@tt E J, j(t,.,.,.,.) lien t\lC tren ~4

+ Vdi mQi ti;ip compact K C ~4, ham sup Ij(t, x, u, v, w)1

(x,u,v,W)EK

kha tfch tren J.

Sau day la cac vi d\l v@ham trong ti;ip A va D.

Vi d1,11 Gia sa 0 :( a < b :( 1, ak, k = 1, n la cac h~ng s6 duong,

va 0 :( tl < t2 < < tn :( 1 Cac ham 0:, (3 sau day thuQc ti;ip A (x EX):

n

k=l

(3(x) = lb x(s)ds.

Vi d1,12 cp: J ~ J lien t\lC, 9 lien t\lC tren ~ Cac toan ta thuQc D

co th~ co cac di;1ngsau (x E X)

x(cp(t)),

f'P(t)

Jo g(x(s))ds,

mill {x( s), 0 :( s :( cp(t)},

f'P(t) fs

Chli Y 1.1. Vdi 0: E A va o:(x) = 0 vdi x E X thi t8n tf,Li~E J saD

cho x(~) = O.

N@ux(~) > 0, v ~E J thl do 0:(0) = 0 (0: tuy@ntinh) ta co o:(x) > O.

N@u x(~) < 0, \j~ E J thl o:(x) < O.

N@ux thay d6i d§,u tIeD J, do x E X, luan tlm dU'C;Jc tI, t2 E J sao cho x(td < 0 < X(t2)' Tli do co mQt t3 trong khming md hai dl1u tI, t2

d~ X(t3) = 0, man thuan vdi gia sv ban dl1u. D

Va tli chu y1.1, n@u0: E A ta SHYra ngay 0:(1) i- O.

Khi ap d\mg b6 d@1.1, chung t6i thi@t li;lptoaD tv D co mi@nxac d!nh n~m trong ACI (J), khang gian cac ham co d<;toham lien t\lC tuy~t d6i tIeD J d@nc§,p 1 Ham x E ACI (J) co chu§,n d!nh nghia bdi

IlxIIAC1(J)= Ilxllx +Ilx'llx + Ilx"II£l(J)'

'Thong bai toaD tha ba, lui;ln van co sv d\lng d<;toham SHYrQng vdi

khang gian cac ham thv C~(J) = COO(J)nCc(J), COO(J) = nk Ck(J),

Ck (J) chi khang gian cac ham kha vi lien t\lC k 111ntIeD J, Cc(J) la

khang gian cac ham lien t\lC tIeD J co gia compact.

Chuang 4, phl1n ang d\lng, co dung AC3(J), khang gian cac ham

lien t\lC tuy~t d6i d@nc§,p 3 tIeD J.

1.2.2 B~li toan va cae ky hi~u

Xet phuong trlnh san vdi t E J, f E Car(J x ~4), F, H E V,

x"(t) = f(t, x(t), (Fx)(t), x'(t), (Hx')(t)). (1.1)

Lui;ln van trlnh bay di@uki~n cua ham f cho S1)'t6n t<;tinghi~m cua

(1.1) thoa cac rang buQc bien

o:(x) = A, x'(O) = B, x(O) = A, x(l) = B,

(1.3) (1.4)

vdi 0: E A, con A, B la cac h~ng s6 cho trudc.

Ta 111nlu<;JtgQi(1.1)(1.2), (1.1)(1.3), (1.1)(1.4) la bai tOaDbien tha nh§,t, bai tOaDbien tha hai va bai tOaDbien tha ba.

Chung t6i sa d\lng nhfi'ng ky hi~u sail.

Sl C X bi ch~n, L1 ~ 0 ~ L2 la cac h~ng so Ta d~t

p(F, Sl) = sup{IIFxll, x E Sl},

[L1,L2; F, H]IR= {(x, u, v) E }R3,Ixl ~ max{L2, -L1},

lul ~ p(F, [Ll' L2]x), Ivl ~ p(H, (Ll' L2)x)}

Ivl ~ p(H, (Ll' L2)x)},

va vdi A, B, L, M E }R,L ~ M,o: E A, F, H E V ta d~t

[A,B,L,M,o:;F,H]IR = {(x,u,w) E }R3,Ixl ~ max{IL - BI,

IM-BI} + ~~I) + IBI, 1111:0.:;p(F, [0, max{IL - BI, 1M - BI} + ~111) +

IBI]x), Iwl ~ p(H, (L, M)x)},

(A,B,L,M;F,H)IR = {(x,u,w) E }R3,L + min{2A- B,A} ~ x ~

Vdi chu y 1.1, ta co 0:(1) > 0:(0) = 0 vdi mQi 0: E A, do vi;ty [A,B, L, M, 0:;F, H]IRtren day co nghla.

Trong phftn md rQng, cac ky hi~u sail du<;csa d\lng, vdi L < M la cac ham lien t\lC tren J, ry(L,M), /-1(L,M), ((L, M):

((L, M) = {x EX: -IILII ~ x(t) ~ IIMII,t E J}.

1.3

?

B6 de 1.1

Y, Z la cac kh6ng gian Banach Sl c Y la ti;tp md bi ch~n.

D : domD c Y -+Z tuy@ntfnh, N : Y x [0,1] -+Z lien t\lC saG

cho D-1 N :[2 x [0,1] -+Y la toan ta compact.

B6 d~ 1.1 Cia SV:kerD = {O},0 E Slva Dx - AN(x, A)-I- 0 vdi m9i

Phudng tdnh Dx = N (x, 1) co nghi{im trang domD nO.

A E [0,1]

Vi D-I N :D x [0,1] -+Y la toan tv compact nen v6i ti;ipbi chi;in

compact tuong d6i Suy ra H>.(domD n 0) la ti;ip compact tuong d6i v6i mQi A E [0,1]

Di;ith>.(x)= x - H>.(x),X E domD n 0, A E [0,1] Theo gilLthi§t

h>.(domD n 80) v6i mQi A E (0,1)

D§n day ta khiing dinh deg(domD n 0, h>.,0) ton t~i va khang ph\l

thuQc A E (0, 1)

Ti§p thea, n§u co x E 8(domD n 0) sao cho ho(x) = 0 thl x E 0 va

{O}nen x-D-I(O.N(x, 0)) = 0 trd thanh x = O.Ta co mQt mati thuan:

0 md chlia 0 va 80 cling chlia O Nhu vi;iy,0 ~ ho(8(domD nO).

deg(domD n 0, ho,0) ton t~i V6i ho(x) = x ta co deg(domD n

0, ho, 0) = 1 Va theo tinh chtit lien t\lC cua bi;ic tapa, deg(domD n

0, h>.,0) = deg(domD n 0, ho, 0) v6i mQi A E (0,1) Do do,

deg(domD n 0, h>.,0) = 1 v6i mQi A E (0,1).

Bay giGxet hl(x) = x - D-I N(x, 1).

N§u phuong trlnh hl(x) = 0 co nghi~mx E 8(domD nO), theo cach di;it, phuong trlnh Dx = N(x, 1) co nghi~mtrong 8(domD nO),

tlic la co nghi~m trong domD n 0.

N§u phuong trlnh hl(x) = 0 khang co nghi~m trong 8(domD n 0)

ta vi§t du<!c0 ~ 8(domDnO) Llic do deg(domDnO, hI, 0) ton t~i Do tinh chtit lien t\lC cua bi;ictapa, deg(domD n 0, hI, 0) = deg(domD n

0, h>.,0) vdi mQi A E (0,1) Ma tren day ta di1 chI ra deg(domD n

0, h>.,0) = 1 v6i mQi A E (0,1), nen deg(domD n 0, hI, 0) = 1, suy

ra phuong trlnh hl(x) = 0 co nghi~m trong domD n 0 hay la phuong trlnh Dx = N(x, 1) co nghi~m trong domD n D D