Chuyên đềSử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức newtơn 1.. Nhận dạng: * Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1... Hãy khai tri
Trang 1Chuyên đề
Sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức newtơn
1 Nhận dạng:
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1 (đạo hàm 1 lần)
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2; hoặc mất 0
n
C và 1
n
C hoặc n
n
C và n - 1
n
C
2 Các bớc giải
* Bớc 1: Chon khai triển (b + x)n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k k
n
C ak-1bn-k
* Bớc 2: Chọn đạo hàm cấp 1, cấp 2
* Bớc 3: Chọn x = a ⇒ kết quả
3 Bài tập.
Bài 1 Tính tổng: S = 1.20 1
n
C + 2.21 2
n
C + 3.22 3
n
C + … + n.2n - 1 n
n
C
HD: (1 + x) n = C0
n + xC1
n + x 2 C2
n + x 3 C3
n + … + x n Cn
n
⇔ n(1 + x) n 1– = C1
n + 2x 1 C2
n + 3x 2 C3
n + … + nx n - 1 Cn
n
Thay x = 2 ta đợc S = n.3 n 1–
Bài 2 Tính tổng: S = n.30 n
n
C + (n - 1)31 n - 1
n
C + (n - 2).32 n - 2
n
C + … + 1.3n - 1 1
n
C
HD Khai triển (1 + x) n , lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 3 ta đợc S = n4 n 1–
Bài 3 Chứng minh rằng: 1 1
n
C + 2 2
n
C + 3 3
n
C + … + n n
n
C = n2n – 1
HD: Khai triển (1 + x)n , lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 1
Bài 4 Chứng minh rằng:
1 n n
n 1 n
3 n 2
2 n 1
1 n
3 n C 2
n
C 2
3 C 2
2 C 2
= +
+ +
+
HD: Khai triển (1 + x)n , lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x =
2 1
Bài 5 Tìm n ∈ Z+ thoả mãn:
1 2n
C + - 2.21 2
1 2n
C + + 3.22 3
1 2n
C + - … + (2n + 1).22n 2n 1
1 2n
C + + = 2005
(Đề ĐH + CĐ - A - 2005) HD: Khai triển (-1 + x) 2n + 1 , lấy đạo hàm bậc nhất hai vế, thay x = 2 ta đợc 2005 = 2n + 1 Bài 6 Tìm số nguyên dơng n thoả mãn:
2006 + 1.20 1
2n
C - 2.21 2
2n
C + 3.22 3
2n
C - … + 2n.22n - 1 2n
2n
C = 0 HD: Sử dụng khai triển (1 + x)2n
Bài 7 Tính tổng: S = 1.2 2
n
C + 2.3 3
n
C + 3.4 4
n
C + … + (n-1)n n
n
C HD: Khai triển (1 + x)n , lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 1, ta đợc S = n(n-1)2 n - 2
Bài 8 S = 2.1.30 2
200
C - 3.2.31 3
200
C + 4.3.32 4
200
C - … + 200.199.3198 200
200
C HD: Khai triển (1 - x)200 , lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 3, ta đợc S = 200.199.2 198
Bài 9 Tính tổng S = 12C1
n + 22C2
n + 32C3
n + 42C4
n + … + n2Cn
n
HD: Ta có: S = 1(1+0)C1
n + 2(1+1)C2
n + 3(2+1)C3
n + 4(3+1)C4
n + … + n(n-1+1)Cn
n = = [2.1C2
n + 3.2C3
n + 4.3C4
n + … + n(n-1)Cn
n] + [1C1
n + 2C2
n + 3C3
n + 4C4
n + … + nCn
n] Bài 10 Tính tổng S = 2C1
100 + 3C2
100 + 4C3
100 + … + 101C100
100
HD: Khai triển x(1 + x)100 , tính đạo hàm và thay x = 1.
Bài 11 Tính tổng: S = 31.2.C1
n + 32.3.C2
n + 33.4.C3
n + … + 3n(n + 1)Cn
n
Trang 2HD: Khai triển x(1 + x)n , tính đạo hàm 2 vế và thay x = 3
Bài 12 Tính tổng; S = 1.21C1
n + 2.22C2
n + 3.23C3
n + … + n.2nCn
n
HD: S = 1.21 C1
n + 2.2 2 C2
n + 3.2 3 C3
n + … + n.2 n Cn
n
= (2 - 1).2 1 C1
n+ (3 - 1).2 2 C2
n+ (4 - 1).2 3 C3
n+ … + (n + 1- 1).2 n Cn
n = (2.2 1 C1
n + 3.2 2 C2
n+ 4.2 3 C3
n+ … + (n+1).2 n Cn
n) - (2 1 C1
n+ 2 2 C2
n+ 2 3 C3
n+ … + 2 n Cn
n) Bài 13 Chứng minh rằng:
2.21C2
100 + 4.23C4
100 + 6.25C6
100 + … + 100.299C100
100 = 50(399 + 1) HD: Khai triển: (1 + x)100 và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x) 100 và lấy đạo hàm
Cộng vế với vế và thay x = 2
Bài 14 Tính tổng: S = 1.C1
2n + 3.C3
2n + 5.C5
2n + … + (2n - 1)C2n 1
2n − HD: Khai triển: (1 + x)2n và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x) 2n và lấy đạo hàm
Trừ vế với vế và thay x = 1
Bài 15 Chứng minh rằng: 2C2
1 2n + + 4C4
1 2n + + 6C6
1 2n + + … + 2nC2n
1 2n + = (2n + 1).22n – 1
HD: Khai triển: (1 + x)2n+1 và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x) 2n+1 và lấy đạo hàm
Cộng vế với vế và thay x = 1
4 Giải đề thi:
Bài 15 Chứng minh rằng: C1
n.3n – 1 + 2.C2
n.3n – 2 + 3.C3
n.3n – 3 + … + nCn
n = n.4n – 1, trong đó n là một số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1
(ĐH Luật HCM A - 2001)– HD: Khai triển (3 + x)n , lấy đạo hàm và thay x = 1
Bài 16 Tìm số nguyên dơng n biết:
2 + − 3.2.2 + + + − ( 1) (k − 1)2k− k + + − 2 (2 + 1)2 n− n++ = − 40200
(Tài liệu ôn thi đại học)
HD: Khai triển (1 - x)2n + 1 , lấy đạo hàm và thay x = 2
Bài 17 Tính tổng: S C= 20090 +2C12009+3C22009+ + 2010C20092009
S 1.2.= C +2.3.C + + 24.25.C
Bài 19 Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x)2n, với n là số nguyên dơng Từ đó chứng minh rằng: 1
n n
n
n n n
n C n C C C nC
C12 + 3 32 + + 2 − 1 22 −1 = 2 22 + 4 42 + + 2 22