DE THI HK 2 (MAU+DAPAN)

Viết phương trình mặt cầu S có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng P.. Tìm tọa ñộ ñiểm E nằm trên ñường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E trên ñường thẳng AB.. Tìm tọa ñộ ñi

HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN

ðỀ THI THỬ HỌC KỲ II Môn thi: TOÁN 12

I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 ñiểm)

Câu 1 (3,0 ñiểm)

1) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2

x (1 - x ) biết rằng F(1) = 0

2) Tính các tích phân sau

a) A =

1

0

x 1−xdx

0

x

1

(2x 1)e dx−

− +

Câu 2 (1,0 ñiểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i)

Câu 3 (3,0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho bốn ñiểm A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1),

C(-1; 1; 0) và D(2; -1; -2)

1 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) ñi qua ba ñiểm B, C và D

2 Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

3 Tìm tọa ñộ ñiểm E nằm trên ñường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E trên ñường thẳng AB

II - PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Học sinh chỉ ñược chọn một trong hai phần (phần cho chương

trình chuẩn 4a, 5a, 6a; phần cho chương trình nâng cao 4b, 5b, 6b)

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu 4.a (1.0 ñiểm)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị ( C ) của hàm số y = cos3

x sin2x, các ñường thẳng

x = 0, x =

2

π

và y = 0

Câu 5.a (1.0 ñiểm) Giải phương trình 4z2

- 2z + 1 = 0 trên tập số phức

Câu 6.a (1.0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm P(1; 2; -3), Q(3; 3; 0),

R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4) Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng PQ và ñiểm N trên ñường thẳng RS, sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị nhỏ nhất

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu 4.b (1.0 ñiểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các ñường y = 2x

2x 1 + , x = 0, x = 1 và

y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành

Câu 5.b (1.0 ñiểm) Tìm mô ñun của số phức z, biết z2

= 1- 4 3i

Câu 6.b (1.0 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 0; -1), B(0; 1; -1) và

mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1 Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng AB và ñiểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị nhỏ nhất

-Hết -

II đáp án và thang ựiểm

I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 ựiểm)

Câu 1 1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2

x (1 - x ) biết rằng F(1) = 0

1.0ự

Ớ Phân tắch f(x) = - x4

+ x2

Ớ Nguyên hàm F(x) = - 4

4

x

+

3

3

x

+ C

Ớ F(1) = 1

3-1

4+C = 0 suy ra C = - 1

12

Ớ Vậy F(x) = - 4

4

x

+

3

3

x

- 1

12

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 1 2

a) Tắnh tắch phân a) A =

1

0

x 1ưxdx

* đặt u = 1ưx ⇔u2

= 1- x hay x = 1 - u2 ⇔dx=-2udu

* đổi cận x 0 1

u 1 0

* đổi biến A =

0

2

1 (1ưu )u( 2udu)ư

1

2 4

0 (u ưu )du

* Vậy A = 2(

3

3

u

-5

5

u

)]1

0= 4

15

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 1 2

b) Tắnh tắch phân B =

0

x

1

(2x 1)e dxư

ư +

1.0ự

Ớ đặt u = 2x+1 ⇒du = 2dx

dv= eưx

⇒ v= -eưx

Ớ Tắch phân từng phần B=-(2x+1)eưx

]0 1

ư +2

0 x

1

e dxư

ư

Ớ Vậy B= -1-e-2 eưx

]0 1

ư = e-3

0.25

0.25 0.25 0.25

Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 Ờ i )( 1 + 2i ) Ờ 3( 1 - i) 1.0ự

Ớ Biến ựổi z = 2+4i-i-2i2

-3+3i

Ớ Số phức z = 1+6i

Ớ Phần thực bằng 1

Ớ Phần ảo bằng 6

0.25 0.25 0.25 0.25

HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho bốn ñiểm A(-1; 1; 2),

Câu 3 1 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) ñi qua ba ñiểm B, C và D 1.0ñ

• Cặp véc tơ BC



=(-2 ;1 ; -1) BD



=(1; -1; -3)

• Véc tơ pháp tuyến n



=[BC



; BD



]= (-4; -7; 1)=-(4 ;7 ;-1)

• Phương trình mặt phẳng (P): 4(x-1)+7(y-0)-1(z-1) = 0

• Vậy phương trình mặt phẳng (P) : 4x+7y-z-3= 0

0.25

0.25 0.25 0.25

Câu 3 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) 1.0ñ

• Phương trình mặt cầu (S) tâm A : (x+1)2

+(y-1)2

+(z-2)2

= 2

R

• Bán kính R = d(A;(P))= 4( 1) 7(1) 1(2) 32 2 2

4 7 ( 1)

+ + −

= 2

66

• Phương trình mặt cầu (S) : (x+1)2

+(y-1)2

+(z-2)2

= 2

33

0.25 0.5 0.25

Câu 3 3 Tìm tọa ñộ ñiểm E nằm trên ñường thẳng CD sao cho B là hình

• Gọi E(x;y;z)∈CD: CD



= (3 ;-2 ;-2)⇒E(-1+3t ;1-2t ;-2t)

• ðiều kiện BE



⊥ BA



hay BE



.BA



= 0, với BA



=( -2 ;1 ;1) và

BE



=(-2+3t ;1-2t ;-1-2t)

• Suy ra phương trình -2(-2+3t)+1(1-2t)+1(-1-2t)= 0 hay t= 2

5

• Vậy E(1

5;1

5; 4

5

−

)

0.25

0.25 0.25 0.25

II - PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm)

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu 4a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị ( C ) của

hàm số y = cos3x sin2x, các ñường thẳng x = 0, x =

2

π

và y = 0

1.0ñ

• Diện tích S = 2 3

0 cos x sin 2x dx

π

2 3

0 cos x sin 2x

π

• Biến ñổi S= 2

2 4

0 cos x sin xdx

π

0.25

0.25

• ðặt u= cosx⇒-du= sinxdx ðổi cận x 0

2 π

u 1 0

S = - 2

0 4

1

u du

• Vậy S= 2 5

5

u

]1

0= 2

5

0.25

0.25

Câu 5a Giải phương trình 4z2- 2z + 1 = 0 trên tập số phức 1.0ñ

• ∆’= (-1)2

-4(1)= -3

• Căn bậc hai của ∆’ là ±i 3

• Phương trình hai nghiệm là z1,2= 1 3

4

i

±

0.25 0.25 0.5

Câu 6a Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm P(1; 2; -3),

Q(3; 3; 0), R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4) Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng PQ và ñiểm N trên ñường thẳng RS, sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị nhỏ nhất

1.0ñ

• Gọi M(x;y;z)∈PQ: PQ



=(2;1;3) ⇒M(1+2t; 2+t;-3+3t) N(x;y;z)∈RS: RS



=(1;2;3) ⇒N(2+t’; -3+2t’;1+3t’)

⇒ MN



=(1+t’-2t; -5+2t’-t;4+3t’-3t)

• ðiều kiện MN PQ

MN RS





⊥











 hay . 0

MN PQ

MN RS





=













• Suy ra hệ phương trình 13 ' 14 9

14 ' 13 3

t t

t t

− = −





− = −

25 ' 9 29 9

t

t



=





 =



• Vậy M(67

9 ;47

9 ;20

3 ) và N(43

9 ;23

9 ;84

9 )

0.25

0.25

0.25 0.25

1 Theo chương trình Nâng cao

Câu 4b Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các ñường y = 2x

2x 1 + , x = 0, x = 1

và y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành

1.0ñ

• Thể tích V =π

1

2

0

2x

2x+1

• Biến ñổi V =π

1

2

0

1

2x 1

− +

1

2 0

2x 1 (2x 1)

∫

0.25 0.25

HOÀNG KHẮC NGÂN, THPT TRẦN QUỐC TOẢN

• Nguyên hàm V=π [x-ln2x +1-1

2

1

2x +1]1

0

• Vậy V=π (4

3-2ln3) ( ñvtt)

0.25

Câu 5b Tìm mô ñun của số phức z, biết z2= 1- 4 3i 1.0ñ

• Gọi z= x+yi, x,y∈ ℝ : 1- 4 3i= (x+yi)2= x2

-y2

+2xyi

• Hệ phương trình

2 2

1

x y xy

 − =





= −

2 3

x y

=





= −

 hoặc

2 3

x y

= −





=



• Do ñó z = 2- 3i hay z = -2+ 3i

• Vậy z = 7

0.25 0.25

0.25 0.25

Câu 6b Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(1; 0; -1),

B(0; 1; -1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1 Tìm tọa

ñộ ñiểm M nằm trên ñường thẳng AB và ñiểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai ñiểm M và N ñạt giá trị lớn nhất

1.0ñ

• Gọi M(x;y;z)∈AB: AB



=(-1;1;0) ⇒M(1-t; t;-1)

⇒ IM


=(-t; t-2; 0) ðiều kiện IM



⊥ AB



⇒ IM


 AB



=0

⇒-1(-t)+1(t-2)=0⇒t= 1⇒M(0; 1; -1)

• N(x;y;z)∈IM∩(S) Ta có N∈IM: IM



=(-1;-1; 0) ⇒N(1-t;2-t;-1)

N(1-t;2-t;-1) ∈(S): (x-1)2

+(y-2)2

+(z+1)2

= 1 ⇒(-t)2

+(-t)2

=1 ⇒t=± 2

2 ⇒N(1- 2

2 ;2- 2

2 ;-1) hoặc N(1+ 2

2 ;2+ 2

2 ;-1)

• Với N(1- 2

2 ;2- 2

2 ;-1) ⇒MN= 2-1

Với N(1+ 2

2 ;2+ 2

2 ;-1) ⇒MN= 2+1

• Vậy M(0; 1; -1) và N(1- 2

2 ;2- 2

2 ;-1) thì MN= 2-1 nhỏ nhất

0.25

0.25

0.25 0.25