CHUONG 3 KHONG GIAN VECTO (LOI GIAI)

Chứng minh rằng tập hợp W ={ka k∈ } là một không gian vectơ con của V... Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính... Hệ phương trình luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ra 3.. Hệ phương trình

Bài tập

1 Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của hay không ?

a) W1 ={ (a,0,0 a) ∈ }

b) W2 ={ (a,1,1 a) ∈ }

ĐS: a) W1 là một không gian con của 3 vì với u =(a,0,0 , v) = (b,0,0)∈W1

(a, b ∈ ) và với k ∈ bất kỳ, ta có u v+ = (a b,0,0 , ku+ ) =(ka,0,0)∈W1

b) W2 không là một không gian con của 3 vì với u =(a,1,1 , v) = (b,1,1)∈W2

(a, b ∈ ) và với k ∈ , k 1≠ , bất kỳ, ta có u v+ =(a b,2,2 , ku+ ) =(ka, k, k)∉W2

2 Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố định thuộc V Chứng minh rằng tập hợp W ={ka k∈ } là một không gian vectơ con của V

ĐS: Với u ha, v ka W= = ∈ ( h, k ∈ ) và α ∈ bất kỳ, ta có

u v+ = h k a, u+ α = αh a W∈

3 Trong 3, cho các vectơ u1 =(1, 2,3− ), u2 = (0,1, 3− ) Xét xem vectơ u =(2, 3,3− )

có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2 hay không ?

ĐS: Xét hệ

1

⎪

⎨

⎩

, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 2 2 13 : 3 3 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2

= −

Hệ vô nghiệm : u không là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2

4 Trong 3, xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u ,u1 2 3 không a) u1 =(1,0,1 ,u) 2 =(1,1,0 ,u) 3 =(0,1,1 ,u) =(1,2,1)

b) u1 = −( 2,1,0 ,u) 2 =(3, 1,1 ,u− ) 3 =(2,0, 2 ,u− ) =(0,0,0)

ĐS: a) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

, ta có

( ) ( ) ( )3 : 3 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2

Hệ có nghiệm (0,1,1 : u là tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +u2 +u3)

b) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 : 3 2

1 1 0 0

0 1 2 0

0 0 4 0

= +

= −

∼

Hệ có nghiệm (0,0,0 : u là một tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +0u2 +0u3)

5 Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2( ), cho bốn vectơ

Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u ,u1 2 3 không ?

ĐS: Xét hệ

3

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

, ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

3 : 3 1

4 : 4 3

3 : 3 2

= −

= +

Hệ có nghiệm (0,1,2 : u là tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +u2 +2u3)

6 Trong 3, cho các vectơ u1 =(1, 2,3 ,u− ) 2 =(0,1, 3− ) Tìm m để vectơ u =(1, m, 3− )

là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2

ĐS: Xét hệ

1

⎪

⎨

⎩

, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 : 2 2 1

3 : 3 3 1

3 : 3 3 2

= +

= −

= +

Khi m 0= thì u là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2 Khi m 0≠ thì u không là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2

7 Trong 3, các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

a) u1 = (1,1,0 ,u) 2 =(0,1,1 ,u) 3 =(1,0,1)

b) u1 =(1,1,0 ,u) 2 =(0,1,1 ,u) 3 = (2,3,1)

c) u1 =(1,1,1 ,u) 2 =(1,1,2 ,u) 3 =(1,2,3)

d) u1 =(1,1,2 ,u) 2 = (1,2,5 ,u) 3 =(0,1,3)

ĐS: a) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

: Hệ độc lập tuyến tính

b) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

: Hệ phụ thuộc tuyến tính

c) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

Ta có ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11 ( ) ( )2 3

= −

= −

∼

: Hệ độc lập tuyến tính

d) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

( ) ( ) ( )3 : 3 2 12 : 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 3 2

= −

: Hệ phụ thuộc

tuyến tính

8 Chứng minh rằng hệ vectơ v , v , , v1 2 r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vectơ v , ii ∈{1,2, , r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

ĐS: Chiếu thuận : Khi hệ vectơ v , v , , v1 2 r phụ thuộc tuyến tính, ta có các hệ số

k , k , , k ∈ không đồng thời bằng 0 sao chok v1 1 +k v2 2 + k v+ r r = 0 Bấy giờ, nếu k1 ≠0 thì ( )2 ( )r

v = − v + + − v , nghĩa là v1 là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v , , v2 r

Chiều đảo Giả sử v1 là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v , , v2 r, nghĩa là tồn tại các hệ số k , , k ∈2 r sao cho v1 = k v2 2 + k v+ r r Do v1 −k v2 2 − k v− r r =0

với các hệ số 1, k , , k2 r không đồng thời bằng 0, ta suy ra hệ vectơ v , v , , v1 2 r phụ thuộc tuyến tính

9 Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M2( ), cho bốn vectơ

Chứng minh rằng hệ {e ,e ,e ,e độc lập tuyến tính 1 2 3 4}

ĐS: Xét hệ

4

⎪

⎪

⎪

⎩

Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính

10 Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra 3 không ?

a) v1 =(1,1,1 , v) 2 = (2,2,0 , v) 3 =(3,0,0)

b) v1 = (2, 1,3 , v− ) 2 =(4,1,2 , v) 3 = (8, 1,8− )

ĐS: a) Xét hệ

1

⎪

⎨

⎩

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11 ( ) ( )2 3

= −

= −

∼

Hệ phương trình luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ra 3

b) Xét hệ

⎪

⎨

⎩

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5

6

3 : 3 3 1

3 : 3 2

= +

= +

= −

∼

Hệ phương trình không luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ không sinh ra 3

11 Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của 3

a) B1 ={ (1,2,3 , 0,2,3) ( ) }

b) B2 ={ (1,2,3 , 0,2,3 , 0,0,5) ( ) ( ) }

c) B3 ={ (1,1,2 , 1,2,5 , 0,1,3) ( ) ( ) }

d) B4 = −{ ( 1,0,1 , 1,1,0 , 1, 1,1 , 2,0,5) (− ) ( − ) ( ) }

ĐS: a) B1 không là một cơ sở của 3 (B1 không sinh ra 3)

b)

1 2 3

0 2 3 10 0

0 0 5

= ≠ B2 là một cơ sở của 3

c)

1 1 2 1 1 2

1 2 5 0 1 3 0

0 1 3 0 1 3

= = B3 không là một cơ sở của 3

d) B4 không là một cơ sở của 3 (B4 không độc lập tuyến tính)

12 Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ 4)

a) u1 = −( 1,2,0,1), u2 =(1,2,3, 1− ), u3 =(0,4,3,0)

b) v1 = −( 1,4,8,12), v2 =(2,1,3,1), v3 = −( 2,8,16,24), v4 =(1,1,2,3)

ĐS: a) Biến đổi

( ) ( ) ( )2 : 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2

Rank = 2

b) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )9

5

2 : 2 2 1

3 : 3 2

1 4 8 12

0 5 10 15

= +

= −

= −

−

∼

∼

Rank = 3

13 Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của 4 sinh bởi các vectơ

1

v = 1,2,0, 1− , v2 =(0,1,3, 2− ), v3 = −( 1,0,2,4), v4 =(3,1, 11,0− )

ĐS: Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 : 4 3

= +

−

dim 3= và một cơ sở là {e1 =(1,2,0, 1 ,e− ) 2 =(0,1,3, 2 ,e− ) 3 = (0,0, 4,7− ) }

14 Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau

a)

⎪

⎨

⎩

b)

⎪

⎨

⎩

c)

⎪

⎪

⎪

⎩

d)

⎪

⎪

⎪

⎩

ĐS: a) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 : 3 3 2

1 2 0

0 1 1

0 0 6

= −

= +

dim 0=

b) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 2 2 13 : 3 3 1

= −

= −

cho nghiệm

1 2 3

⎪

=

⎨

⎩

Không gian nghiệm { (3m n, m,n m,n− ) ∈ } = (3,1,0 , 1,0,1) (− ) dim 2= và một cơ sở là {e1 =(3,1,0 ,e) 2 = −( 1,0,1) }

c) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 : 2 2 1

4 : 4 2 1

3 : 3 4 2

4 : 4 5 2

= −

= −

= +

= +

∼

( ) ( ) ( )4 : 4 3

= −

cho nghiệm

7 1

5

5

4 5

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

=

⎪

⎩

, với m,n ∈

Không gian nghiệm

( )

2m 8n, 2m 8n, m2 8n, m,n m,n 2 2 2, , ,1,0 , , ,8 8 8,0,1 1,1,1,2,0 , 7,5, 5,0,8

dim 2= và một cơ sở là {e1 = −( 1,1,1,2,0 ,e) 2 =(7,5, 5,0,8− ) }

d) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 4

2 : 2 2 1

3 4

3 : 3

= −

=

∼

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

cho nghiệm

2 3 4 5

⎪

=

⎪

⎪

=

⎨

⎪

⎩

, với m,n ∈

Không gian nghiệm

3m 3n, m,0, 3n,n m,n 3,1,0,0,0 , ,0,0, 3,13

2,3,0,0,0 , 4,0,0, 9,3

dim 2= và một cơ sở là {e1 = −( 2,3,0,0,0 ,e) 2 =(4,0,0, 9,3− ) }

15 Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B′ ={f , f , f1 2 3}

với f1 =(1,0,0 , f) 2 = (1,1,0 , f) 3 =(1,1,1)

a) u =(3,1, 4− ) b) u =(1,3,1)

ĐS: a)

3

4

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟

⎣ ⎦

⎜− ⎟

⎝ ⎠

3

⎪

⎨

⎩

cho

1 2 3

⎪

=

⎨

⎪ = −

⎩

và

2

4

′

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟

⎣ ⎦

⎜− ⎟

⎝ ⎠

b)

1

1

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟

⎣ ⎦

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3

⎪

⎨

⎩

cho

1 2 3

⎧ = −

⎪

=

⎨

⎩

và

2

1

′

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟

⎣ ⎦

⎜ ⎟

⎝ ⎠

16 Trong 4, xét tập

W = a ,a ,a ,a : a +a +a +a =0 a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của 4

b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W

1

v = 1,0,0, 1− , v2 =(0,1,0, 1− ), v3 = (0,0,1, 1− ),v4 =(1,1, 1, 1− − )

c) Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho W

ĐS: W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất

x +x + x +x = 0 nên là một không gian vectơ con của 4

b) 1 0 0+ + + − =( )1 0 nên v1∈W; 0 1 0+ + + − =( )1 0 nên v2 ∈W;

( )

0 0 1+ + + − =1 0 nên v3∈W; 1 1+ + − + − =( ) ( )1 1 0 nên v4 ∈W

c) Với x2 =m, x3 = n, x4 = p, m,n,p ∈ bất kỳ, ta được x1 = − − −m n p Suy ra

W = − − −m n p, m,n,p m,n,p∈ Vì

(− − −m n p, m,n,p) =m 1,1,0,0(− ) (+n 1,0,1,0− ) (+p 1,0,0,1− )

ta suy ra W = −( 1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1) (− ) (− ) Do đó, dim W 3= và

{e1 1,1,0,0 ,e2 1,0,1,0 ,e3 1,0,0,1}

B

là một cơ sở cho W

17 Trong 3, cho cơ sở chính tắc

{e1 1,0,0 ,e2 0,1,0 ,e3 0,0,1 }

B

và cơ sở

{f1 2,1,1 ,f2 1,2,1 ,f3 1,1,2}

Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B

ĐS:

2 1 1

1 1 2

′

→

1

4

−

18 Trong, cho hai cơ sở B ={u1 = (1,1,0 ,u) 2 =(0,1,1 ,u) 3 = (1,0,1) } và

{v1 2,1,1 ,v2 1,2,1 ,v3 1,1,2}

Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B

ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 Ta có

1 0 1

0 1 1

→

1

2

−

2 1 1

1 1 2

′

→

1

4

−

Suy ra

1

2

19 Trong 3, cho hai cơ sở

{u1 1,2,0 ,u2 1,3,2 ,u3 0,1,3 }

B

{v1 1,2,1 ,v2 0,1,2 ,v3 1,4,6}

B

và vectơ u =(a, b,c)∈ 3

a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở ′ B

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B

c) Kiểm chứng ⎡ ⎤⎣ ⎦u = PB B→ ′⎡ ⎤⎣ ⎦u ′

B B và ⎡ ⎤⎣ ⎦u ′ = PB′→B⎡ ⎤⎣ ⎦u

ĐS: a) Ta có

⎣ ⎦

⎪

B

Biến đổi

( ) ( ) ( )2 : 2 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2 2

ta được k3 = 4a 2b c− + ; k2 = −6a 3b c+ − ; k1 =7a 3b c− + Vậy

7a 3b c

4a 2b c

⎡ ⎤ = −⎜ + − ⎟

⎣ ⎦

B

Tương tự,

1

k

′

⎧

⎣ ⎦

⎪

B

Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 2 2 13 : 3 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2 2

= −

ta được k3 = 3a 2b c− + ; k2 = −8a 5b 2c+ − ; k1 = −2a 2b c+ − Vậy

2a 2b c

3a 2b c

′

⎛ − + − ⎞

⎡ ⎤ = −⎜ + − ⎟

⎣ ⎦

B

b) Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 Ta có

1 1 0

0 2 3

→

−

1 0 1

1 2 6

′

→

−

Suy ra

c) Kiểm chứng

⎜− + − ⎟ ⎜= − ⎟ ⎜− + − ⎟

; và

⎜− + − ⎟ ⎜= − ⎟ ⎜− + − ⎟

20 Trong 3, cho các hệ vectơ

1 = u1 = 1,1,1 ,u2 = 1,1,2 ,u3 = 1,2,3

B

và

2 = v1 = 2,1, 1 ,v− 2 = 3,2,5 ,v3 = 1, 1, m−

B

a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của 3

b) Tìm tọa độ của vectơ u =(a, b,c) trong cơ sở B1

c) Tìm m để B2 là một cơ sở của 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

5

3 : 3 2 1

3 : 3 2

= −

= −

= −

∼

d) Với m 0= , tìm các ma trận đổi cơ sở

1 2

PB→B và

2 1

PB→B

ĐS: a)

1 1 1

1 2 3

= − ≠

b) Ta có

1

1

k

⎧

⎣ ⎦

⎪

B

Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11 ( ) ( )3 2

= −

= −

∼

ta được k3 = −b a; k2 = −c 2b a+ ; k1 = − + +c b a Vậy

a b c

b a

⎛ + − ⎞

⎡ ⎤ =⎜ + − ⎟

⎣ ⎦

c) Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 Ta có

1

1 1 1

1 2 3

→

−

2

2 3 1

1 5 0

→

1

20

7 13 1

−

Suy ra

21 Cho hai hệ vectơ trong không gian 4

:

B a1 =(0,1,0,2), a2 = (1,1,0,1), a3 =(1,2,0,1), a4 = −( 1,0,2,1),

′

B b1 = (1,0,2, 1− ), b2 =(0,3,0,2), b3 =(0,1,3,1), b4 =(0, 1,0,1− )

a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của 4

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B

c) Tìm tọa độ của v= (2,0,4,0) đối với cơ sở ′B

ĐS: a)

0 1 0 2

1 2 0 1

1 0 2 1

= −

−

;

0 1 3 1

−

=

−

b) Gọi C là cơ sở chính tắc của 4 Ta có

1 1 2 0

P

0 0 0 2

2 1 1 1

→

1

−

1 0 0 0

P

2 0 3 0

1 2 1 1

′

→

=

1

−

Suy ra

c)

2

0

v

4

0

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎡ ⎤ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

′→

′

B C

d) Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B

→

B C

22 Xác định số chiều và tìm một cơ sở của không gian con W sinh bởi hệ vectơ sau

a) u1 =(1,0,0, 1− ), u2 =(2,1,1,0), u3 =(1,1,1,1), u4 =(1,2,3,4), u5 =(0,1,2,3) trong

4

b) u1 = (1,1,1,1,0), u2 = (1,1, 1, 1, 1− − − ), u3 =(2,2,0,0, 1− ), u4 =(1,1,5,5,2),

5

u = 1, 1, 1,0,0− − trong 5

ĐS: a) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 5

1 0 0 1

0 1 1 2

0 0 1 1

0 0 1 1

0 0 0 0

⎜

⎜

⎜

⎯⎯⎯⎯→

⎜

⎜

⎜

⎝

∼ ( ) ( ) ( )4 : 4 3

1 0 0 1

0 1 1 2

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

= −

dim 3= và một cơ sở là B ={e1 =(1,0,0, 1 ;e− ) 2 =(0,1,1,2 ;e) 3 =(0,0,1,1) }

b) Biến đổi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 : 2 1

4 : 4 1

5 : 5 1

4 : 4 2 3

5 : 5 3

= −

= −

= −

= +

= −

∼

dim 3= và một cơ sở là B ={e1 =(1,1,1,1,0 ;e) 2 =(0, 2, 2, 1,0 ;e− − − ) 3 =(0,0, 2, 2, 1− − − ) }