Cho hình bình hành ABCD có AC > BD.. Kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD E ∈ AB; F ∈ AD a Chứng minh hai tam giác CEF và ABC đồng dạng b Chứng minh AB.
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo
Kim bảng kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2010 – 2011
Đề kiểm tra: Môn Toán - lớp 8
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1 (5,0 điểm)
1 Biết
a(a + 2) + b(b - 2) – 2ab = 80, hãy tính a – b
2 Phân tích x4 + 4 thành nhân tử
áp dụng hãy tính giá trị biểu thức
A =
4 20
4 18
4 8
4 6 4 4
4 2
4
4 4
4 4
4
+
+ +
+ +
+
Bài 2 (3,5điểm)
1 Các số a, b thỏa mãn điều kiện 4a2 + b2 = 5ab
Chứng minh nếu 4a > b thì 2a > b > 0
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =
10 4
3
2 + x+
x
Bài 3 (4,0 điểm) Giải các phơng trình
a) (x2 - 1)2 = 4x + 1
b)
5
2006 4
2007 3
2008 2008
3 2007
4 2006
x
Bài 4 (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác Từ O kẻ các đờng thẳng OE, OF, MN tơng ứng song song với AB, AC, BC sao cho F, M ∈ AB ; E ∈BC ; N ∈AC Chứng minh + + = 1
CA
CN BC
BE AB AF
Bài 2 (5,5điểm)
Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD (E
∈ AB; F ∈ AD)
a) Chứng minh hai tam giác CEF và ABC đồng dạng
b) Chứng minh AB AE + AD AF = AC2
-Hết -Phòng giáo dục đào tạo
Kim Bảng Kiểm tra chất lợng học sinh giỏi Năm học 2010 – 2011
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài 1 (5,0 điểm)
ý 1: 2,0 điểm
a(a + 2) + b(b - 2) - 2ab = 80
Trang 2⇔(a – b + 10)(a – b - 8) = 0 0,25
ý 2: 3,0 điểm: Phân tích thành nhân tử x4 + 4
áp dụng tính A = 244 4 6. 44 4 1844 4
Phân tích x4 + 4 = x4 + 4x2 +4 – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 0,5 = (x2 + 2x + 2)(x2 -2x + 2) 0,5 = [(x - 1)2 + 1] [(x + 1)2 + 1] 0,5
1 1 3 1 5 1 7 1 17 1 19 1
3 1 5 1 7 1 9 1 19 1 21 1
= 122 1 2 1
21 + = 1 442 = 221
Bài 2 (3,5 điểm)
ý 1: 2,0 điểm: Các số a, b thoả mãn điều kiện 4a2 + b2 = 5ab
Chứng minh nếu 4a > b thì 2a > b > 0
Vì 4a > b ⇒ 4a – b > 0 Do đó a – b = 0 hay a = b 0,5
Khi a > 0 thì 2a > a > 0 hay 2a > b > 0 0,5
ý 2: 1,5 điểm: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2 3
4 10
Với mọi x ta có: x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + 6 ≥ 6 0,5 Nên B = 2 3
4 10
3 1
Vởy biểu thức B = 2 3
4 10
x + x+ có giá trị lớn nhất bằng 1
Bài 3 (4 điểm)
ý 2: 2,0 điểm: Giải phơng trình (x2 + 1)2 = 4x + 1
ý 2: 2,0 điểm: Giải phơng trình 5 4 3 2208 2007 2006
x− + x− + x− = x− +x− +x−
Cộng vào mỗi vế với -3 ta có
2006 2007 2008 3 4 5
Bài 4 (2 điểm)
Vì MN // BC nên CN BM=
ΔFMO ΔABC : (g.g) nên OM FM=
Mà BMOE là hình bình hành nên
OM = EB hay EB FM=
CB AB
0,5
Trang 3E
N M
A
O
Vậy AF EB CN AF FM MB AF+FM+MB AB+ + = + + = = =1
Bài 5 (5,5 điểm)
I
F E
D
A
ý a: 2,5 điểm:
Chứng minh hai tam giác CBE và
Suy ra CE BC BC= =
Chứng minh đợc ECF=CBAã ã 1,0 Kết luận ΔCEF ΔBCA : (c.g.c) 0,5
ý b: 3,0 điểm
Kẻ BI ⊥ AC thì I nằm trong đoạn thẳng AC
0,25
Chứng minh ΔABI ΔACE : AB= AI
AC AE
Chứng minh ΔCBI ΔACF : CB= CI
AC AF