2 Điểm E thuộc đường cố định cú giới hạn nào khi M di động trờn cạnh BC?. Từ một điểm A di động trờn đường thẳng d vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trũn O B,C là cỏc tiếp điểm.. R Do
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC
Bài 1 Cho hỡnh vuụng ABCD, M là điểm di động trờn cạnh BC Trờn tia đối của tia CD, lấy điểm
N sao cho CM = CN BN cắt DM tại E
1) Chứng minh MN // AC
2) Điểm E thuộc đường cố định cú giới hạn nào khi M di động trờn cạnh BC?
Gợi ý:
1)Chứng minh MN // AC.
Ta có : CMN vuông cân CNM DCA 45 Vậy MN AC
2)Điểm E thuộc đường cố định cú giới hạn nào khi M di động trờn cạnh BC?
0
0
Do MN AC (câu a) Mà AC BD MN BD
M là trực tâm của BDN DEB 90
Do BD cố định E thuộc đ.tròn đ.kính BD Mặt khác : DCB 90 C thuộc đ.tròn đ.kính BD Khi M C thì E C, Khi M B thì E B
Vậy M di chuyển trên BC thì E di chuyển trên cung nhỏ BC
Bài 2: Cho đường trũn ( O ; R ) và một đường thẳng d cố định khụng giao nhau với đường trũn
(O) Từ một điểm A di động trờn đường thẳng d vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trũn (O) (B,C là cỏc tiếp điểm) Gọi H là hỡnh chiếu của O trờn đường thẳng d BC cắt OA tại M và cắt OH tại N Chứng minh:
a) ON.OH = OM.OA luụn khụng đổi
b) BC luụn đi qua một điểm cố định
Gợi ý:
a)CMR: ON.OH = OM.OA luụn khụng đổi.
2
Dễ thấy AO là đư ờng trung trực của BC
Ta có vuông MON vuông HOA (AOH chung)
Mà OM.OA OB R (HTL trong vuông BOA)
b)CMR: BC luụn đi qua một điểm cố định
2 2
Ta có O và d cố định H cố định AH không đổi
R
Do ON.OH R (câu a ) ON không đổi
OH Vậy BC luôn đi qua điểm cố định N khi A di chuyển trên d
Bài 3: Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB CD là dõy cung tựy ý của nửa đường trũn(O)
núi trờn sao cho số đo cung CD bằng 900 , điểm C thuộc cung nhỏ AD Nối AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F
a) Chứng minh FE AB
b) Chứng minh AE.AD + BE.BC = AB2
H
M
d
N
C
B
O
A
A
B
N
Trang 2c) Khi cung CD di chuyển trờn nửa đường trũn (O) thỡ điểm F thuộc đường cố định nào?
Gợi ý:
a)Chứng minh FE AB.
Ta có ACB ADB 90 (góc nt chắn đ.tròn)
2
E là trực tâm FAB FE AB
b)Chứng minh AE.AD + BE.BC = AB 2
2
Gọi H là giao điểm của FE và AB
Dễ thấy vuông HEA vuông DBA (DAB chung)
AE AH
AE.AD AH.AB (1)
AB AD
Dễ thấy vuông HEB vuông CAB (ABC chung)
BH BE
BE.BC BH.BA (2)
BC BA
Từ (1)& (2) AE.AD BE.BC AH.AB BH.BA
(AH BH).AB AB.AB AB
c)Khi cung CD di chuyển trờn nửa đường trũn (O) thỡ điểm F thuộc đường cố định nào?
0 0
Ta có CAD sđCD 90 45 (góc nội tiếp )
ADF vuông cân tại D AFD 45
Mà AB cố định F thuộc cung chứa góc 45 dựng trên đoạn AB cùng thuộc nửa mp chứa nửa đư ờng tròn (O) bờ AB
Bài 4: Cho tam giỏc nhọn ABC Cỏc đường trũn đường kớnh AB và đường trũn đường kớnh AC cắt
nhau tại điểm thứ hai D Một cỏt tuyến d di động qua A cắt hai đường trũn (O) và (O/) lần lượt tại
E và F sao cho A nằm giữa E và F
a Gọi M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh tam giỏc MEF cõn
b Xỏc định vị trớ của cỏt tuyến d để cho tam giỏc DEF đạt giỏ trị lớn nhất
Gợi ý:
a)Gọi M là trung điểm của cạnh BC
Chứng minh tam giỏc MEF cõn.
Gọi N là trung điểm của EF Ta cú
MN là đư ờng trung bình của h.thang BEFC MN EF Vây MEF cân tại M (MN là đư ờng cao và là trung tuyến)
E
H
F
D
O C
D
d
N
F
E
M
C B
A
Trang 3b)Xỏc định vị trớ của cỏt tuyến d để cho tam giỏc DEF đạt giỏ trị lớn nhất.
0 0
2
2
ABC ABC
DEF 2
DE
BDA ADC 90 (góc nt chắn nửa đ.tròn ) BDA ADC 180 B, D, C thẳng hàng
Dễ thấy DEF ABC(g.g)
S
Do không đổi nên S lớn nhất AB
DE lớn nhất DE là đ.kính của (O)
d BC Vậy d BC thì S
Bài 5: Cho đường trũn (O) đường kớnh AB, CD là dõy cung vuụng gúc với bỏn kớnh OB Gọi E, F
lần lượt là trung điểm của AC và OB, DE cắt AB tại H Chứng minh:
a Tam giỏc ECF cõn
b HA.HF = HD.HE
Gợi ý:
a)CMR:Tam giỏc ECF cõn.
Gọi I là trung điểm của EC
Ta có :OE BC (cùng vuông góc với AC) EOBC là hình thang
FI là đư ờng trung bình của h.thang EOBC
FI BC Vậy ECF cân tại F (FI là đư ờng cao và là trung tuyến)
b)CMR: HA.HF = HD.HE.
Do AB là đư ờng trung trực của CD , theo tính chất
đối xứng ADF ACF
Mà ACF CEF ( ECF cân) ADF CEF AEDF nội tiếp
Vậy HEA HFD(EHA FHD, EAH FDH)
HA.HF HE.HD
Bài 6: Cho đường trũn tõm (O;R) và dõy cung AB khỏc đường kớnh của đường trũn(O) S là điểm
di động trờn tia Ax là tia đối của tia AB( S khỏc A) Vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường trũn (O) (C, D thuộc đường trũn (O))
a Chứng minh OCDOSD
b Chứng minh SC.SD = SA.AB
c.Gọi I là tõm của đường trũn nội tiếp tam giỏc SCD Chứng minh rằng I di động trờn một đường cố định khi S di động trờn tia Ax
I
H
E
F
D
A
C
Trang 4Gợi ý:
a)Chứng minh OCDOSD .
Dễ thấy OCSD nội tiếp
OCD OSD ( cùng chắn OD)
b)Chứng minh SC.SD = SA.AB
2
Do SCA SBC(g.g)
SC SA.SB
SB SC
Mà SC SD (t.chất hai t.tuyến cắt nhau) SC.SD SA.SB
c)Gọi I là tõm của đường trũn nội tiếp
SCD
Chứng minh rằng I di động trờn một đường cố định khi S di động trờn tia Ax.
Ta có OID ISD IDS(góc ngoài ISD)
Do ISD CDO( OCD)
và IDS CDI (I là tâm đ.tròn nội tiếp SCD) OID IDO IDO cân tại O
OI OD R I (O;R) Vậy I di động trên đ.tròn cố định (O;R) khi S di động trên tia Ax
Bài 7: Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R Vẽ bỏn kớnh OC vuụng gúc với AB S là
điểm di động trờn cung nhỏ AC Trờn tia BS lấy điểm E sao cho BE = Á
a Tam giỏc CSE là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?
b Xỏc định vị trớ của S trờn cung nhỏ AC để cho tam giỏc CSE đạt giỏ trị lớn nhất Tớnh giỏ trị lớn nhất đú theo R
c Tỡm quỹ tớch cỏc điểm E khi S di động trờn cung nhỏ AC
Gợi ý:
a)Tam giỏc CSE là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?
Ta có SAC EBC(cgc)
SC EC CSE cân tại C
1
Mà CSE sđCB 45
2
Vậy CSE vuông cân tại C
b)Xỏc định vị trớ của S trờn cung nhỏ AC để cho tam giỏc CSE đạt giỏ trị lớn nhất Tớnh giỏ trị lớn nhất đú theo R.
2 CSE
CSE
CSE
Ta có S CS.CE CS (v ì CS CE)
CSE lớn nhất S lớn nhất
CS lớn nhất S A
c)Tỡm quỹ tớch cỏc điểm E khi S di động trờn cung nhỏ AC.
0
0
0
Ta có CES CSE 45 CES 180 45 135
Mà BC cố định E nằm trên cung chứa góc
135 dựng trên đoạn BC Khi S A thì E B,S C thì E C Vậy quỹ tích điểm E là cung chứa góc135 ( cung BC nằm cùng phía với S bờ BC )dựng trên
A x
I
C
O
B S
D
C
O S
E
Trang 5Bài 8: Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) ( C khác A và
C khác B) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở D Gọi H là hình chiếu C trên AB
a Chứng minh O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
b Đặt CDO (00 90 )0 Tính CH theo R và
c Gọi E là trung điểm của CH Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng
Gợi ý:
a)Chứng minh O thuộc đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD.
DÔ thÊy tø gi¸c OCDB néi tiÕp
O thuéc ®.trßn ngo¹i tiÕp BCD
b)Đặt CDO (00 90 )0 Tính CH theo R và
.
Gäi K lµ giao ®iÓm cña DO vµ BC
Ta cã CBO CDO (cïng ch¾n OC )
1
vµ DO BC, KB BC
2 ( DO lµ ® êng trung trùc cña BC ) XÐt vu«ng CHB, cã CH BC.sin CBH BC.sin (1) XÐt vu«ng KOB, cã KB=OB.cosCBH R.cos BC=2.KB=2Rcos (2)
Tõ (1)& (2) CH 2R sin co
c)Gọi E là trung điểm của CH Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng.
KÎ t.tuyÕn t¹i A c¾t t.tuyÕn t¹i C ë M Gäi I lµ giao ®iÓm cña MB vµ AD
Ta cã :
CI DB, mµ CH DB I CH
MÆt kh¸c :
IH IC I lµ trung ®iÓm CH
Mµ E lµ trung ®iÓm CH I E VËy A, E, D th¼ng hµng
Bài 9: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I Vẽ
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến tại I của đường tròn này cắt AD và BC tại M, N Chứng minh:
a MN // DC
b Tứ giác ABNM nội tiếp được đường tròn
c AN.BM = AM.BN + AB.MN
Gợi ý:
a)CMR: MN // DC.
Ta cã BDCBADBIN MN DC
b)Tứ giác ABNM nội tiếp được đường tròn.
l
H
D
O
C
Trang 6
0 0
Mµ DAB DCB 180
VËy ABNM néi tiÕp
c)CMR: AN.BM = AM.BN + AB.MN.
VÏ tia AK sao cho MAK NAB (K MB)
Ta cã KAM BAN (gg)
AM.BN AN.KM (1)
BAK NAM (gg)
BA.NM BK.NA (2)
Tõ (1)& (2) AM.BN BA.NM AN(KM BK)
AN.BM(®pcm)
Bài 10: Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến MA, MB và các tuyến
MCD không qua tâm O ( MC < MD) Gọi E là trung điểm của CD
a Chứng minh các điểm M, A, O, E, B cùng thuộc một đường tròn
b.Tia phân giác của góc CAD cắt CD tại F Chứng minh MA = MF
c Chứng minh EM là phân giác của góc AEB
Gợi ý:
a)Chứng minh các điểm M, A, O, E, B cùng
thuộc một đường tròn.
Ta cã OE DC (EC ED)
MEOB néi tiÕp ®.trßn ® êng kÝnh OM (1)
Vµ MAOB néi tiÕp ®.trßn ® êng kÝnh OM (2)
Tõ (1)& (2) M, A, E, O, B cïng thuéc ®.trßn
® êng kÝnh OM
b)phân giác của góc CAD cắt CD tại F
Chứng minh MA = MF.
Ta cã AFM FAD ADF(gãc ngoµi ADF)
Mµ FAD FAC , ADF CAM AFM MAF VËy MAF c©n t¹i M
Tia
c)Chứng minh EM là phân giác của góc AEB.
Ta cã AEM AOM (cïng ch¾n AM) MEB MOB (cïng ch¾n BM)
Mµ AOM MOB (T.chÊt 2 t.tuyÕn c¾t nhau )
VËy EM lµ tia ph©n gi¸c cña AEB
N
M
I O
A
B K
F E
C
B
A
O
M
D