PHẦN ôn tập CỦNG cố KIẾN THỨC các bước GIẢI bài TOÁN 12

Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit 1Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít... Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được

PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III)Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ )

I / Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R

2) Sự biến thiên :

+/ Chiều biến thiên :

 y’ = 3ax2 + 2bx + c

 y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ?

+/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến

Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến

+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d

 Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? , Các điểm khác : … +) Đồ thị : y

0 x

II / Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R

2) Sự biến thiên :

+/ Chiều biến thiên :

 y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b )

? 0

x f x f c f x

x

+/ trên các khoảng (….) và (… ) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến

Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến

 Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? Các điểm khác …



lim ? => tiệm cận đứng : x =

c

d



+/ Bảng biến thiên :

x - ∞ ? ? + ∞

3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d b

Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =

 Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ).

Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại :

1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C )

2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p )

3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p

HƯỚNG DẪN :

1/ Đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) € ( C ) :

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x 0 ) + y 0 ( * )

 k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x0 ) + y0 ( * )

k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0

 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng :

y = k(x – x0 ) + y0 ( * )

 Trong đó k.k’ = -1  k = k1'

thế k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm

y0

 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm

4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y 0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*)

3/ y cx ax d b





 ( C )

Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ?

Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương

trình : f( x ) = f ( x ; m ) Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm

Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit

1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít.

a)Phương trình mũ :

Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về

phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = aX , t > 0 )

Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t

Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán Và kếtluận nghiệm

b)Phương trình logarít:

Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = logaX , điều kiện X

> 0 )

Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t

Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán Và kếtluận nghiệm

c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn

số ở luỹ thừa hay dưới dấu lô ga rít

2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ?

Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ]  D ?

Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ?

*/ Giải phương trình y’ = 0 => xi = ? loại các giá trị xi  [ a ; b ]

*/ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi)

Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:

I/ Tìm thể tích hình chóp:

1/ Các loại bài toán :

a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …)

Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)… ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là α

1) Tính thể tích S.ABC

2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Cách giải : gồm 2 bước:

Bước 1 : Vẽ hình :

Mục đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán

Tìm các yếu tố : Góc , đường cao Vẽ từ đáy vẽ lên

Bước 2: Tính toán:

a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h

Trong đó B = SABC ; h =SO ( SH: đường cao )

b)Tìm tâm và bán kính:

+ Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn):

giao điểm 2 đường chéo ) Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm

+ Xác định mặt phẳng trung trực: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao.

Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm

Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính Tìm vị trí I , R

Kết luận

Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa.

Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần

Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài

II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp.

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN

A/Nguyên hàm:

I Định nghĩa và ký hiệu:

1 Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x)

2 Nhóm II: Hàm số lượng giác

2.1 / sinxdx  cosxC 2.3 / tanxdx  lncosx C

2.2 / cosxdx sinxC 2.4 / cotxdx lnsinx C

x x

) (

) ( )

t F dt t f

b u

a u

b u a

f ( ). ; Với f(x) =  (  1 ) 

b x a

x

) 1 (

1 (

1 ).

1 (

.

) (

) (

) ( ) ( ) 1 (



b u

a u

b u a u t a a

3

) 1 2

f ( ). ; Với f(x) = cosx.(a sinxb)  Phương pháp:

Bước 1 : Đặt t = (a sinxb)  dt = a cosx dx  cosx.dx =

a

dt

.f(x)dx = t dt

4 Dạng 4 : Tính : I = 

b

a

dx x

f ( ). ; Với f(x)dx = b2 x2

dx

 Phương pháp:

Bước 1 : Đặt x = b.tant ,  dx = ( 1 tan )

f ( ). ; Với 





dx x

Bước 1 : Đặt x = a.sint  dx = a.cost.dt ; a2  x2  a2 (sin 2t) acost

Bước 2: Đổi cận, tính kết quả

II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

x u u

'.

) (

v dx v v

dx x u du

f ( ). ; Với f(x)dx = P(x) cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx

f ( ). ; Với f(x)dx = P(x) ex.dx

Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx

Dạng 3 : Tính : I = 

b

a

dx x

1

0 (  )

0 1

0

(x  1)dx

2 2

1

(x  1)dx

1 3

0

3

x x

 +

2 3

1

3

x x

 Vậy S =

1 2

Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y =

0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2( )



 = 17

Vậy thể tích V cần tính là: V = V V1  2 = 2

35 (đvtt) Chú ý: 4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi

nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức

2 ( ( ) ( ))

b

a

V  f x  g x dx dẫn đến kết quả sai KQs : V = 1

105 đvtt.

 Các bài tập tự luyện:

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành

KQ: S = 323 đvdt2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x –

2

KQ: S = 92 đvdt3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục

Ox trên [1; 3]

KQs: S = 200 đvdt4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi cácđường sau đây khi quay quanh trục Ox:

D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước cĩ liên quan đến tích phân:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x

Bài 3: Cho hàm số y = 31x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình

phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox

(TNTHPT năm 2003 – 2004 )

Bài 4: Tính tích phân: I =  

2 / 0

2 ) cos sin

(



dx x x

2005 )

Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :

y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1

b Tính tích phaân: I = /2 

0

2

cos 4

2 sin



dx x

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IVCÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.

Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R:

(S): x 2 + y 2 + z 2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 (1).

Thường được cho dưới dạng :

a) Cho 2 điểm A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ):

Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính

Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :

B A

B A

B A

z z

c

y y

b

x x

a

; R = AB2 = 212

2

)

(x B  x A  y B  y A  z B z A

Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm.

b) Cho 3 điểm : A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ) , C(x C ; y C ; z C )

Tìm trọng tâm G của tam giác ABC,

Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A

Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R :

C B

A

C B

A

C B

A

z z

z c

y y

y b

x x

x a

; R = AG =

2 2

n b

m a

2 2

p c

n b

m a

; R =

D c

b

a2 2 2

Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R

1.3/ Cho 4 điểm A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ) , C(x C ; y C ; z C ) D(x D ; y D

; z D ) Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D.

Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng

(S): x 2 + y 2 + z 2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 (1)

Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S)

Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình :

2 c Z

2 b Y

2 aX

Z Y

X

0 D

2 cZ

2 b Y

2 a X

Z Y

X

0 D

2 cZ

2 b Y

2 a X

Z Y

X

0 , D

2 c Z

2 b Y

2 a x

Z Y

X

D D

D D

2 D

2 D

2

C C

C C

2 C

2 C

2

A A

B B

2 B

2 B

2

A A

A A

2 A

2 A

1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1:

“… Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3) Tìm tọa độ tâm mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện O.ABC “

2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản

(A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể

a Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng :

1 1 1

c b a

Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “

b Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(x A ; y A ; z A ) , và vuông góc đường thẳng :

z z

.t a y

y

.t a x

3 2 0

1 0

x

;

Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến n

= a= ( a1 ; a2 ; a3 ) Ta có :(α ) : a1.( x – xA ) + a2 (y – yA ) + a3 (z – zA ) = 0

0 1

0

c

z z b

y y a

đề chưa cho đúng thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu Ta cho cả 3 phân số trên = t, chuyển về dạng tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a 1 ; b 1 ; c 1 )

Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình :

Δ : x2513y z22

; và điểm I( -1 , 3 ; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và (α ) vuông góc Δ.

Giải:

Cho :

2

2 3

1 2

t y

t x

2 2 3 1 2 5

t y

t x

2 2

3 1

2 5

Giải : Gọi M(x ; y ; z )  Δ, ta có : phương trình tham số của đường

thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) :

z

t a y

y

t a x

x

.

3 0

2 0

1 0

z

t B y

y

t A x

x

.

0 0

;

(2)

3.1/b : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm

M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , và song song với đường thẳng d:

z

t a y

y

t a x

x

.

3 0

2 0

1 0

;

Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ chỉ

phương của đường thẳng d : a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 )

3.1/c : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm

M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ; M 1 (x 1 ; y 1 ;z 1 )

Giải : Ta có véc tơ chỉ phương acủa đường thẳng Δ , là véc tơ :

a= M0M1 = (x 1 – x 0 ; y 1 – y 0 ; z 1 – z 0 ) = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) Vậy Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 )

Áp dụng giải bài tập 1 trang 89 SGK HH 12 CB Bài tập 4 trang 92

Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng.

z

t a y

y

t a x

x

.

3 0

2 0

1 0

3 1

2 1

1 1

t b z

z

t b y

y

t b x

'

'

3 1

3 0

2 1

2 0

1 1

1 0

t b z

t a z

t b y

t a y

t b x

t a x

z

t a y

y

t a x

x

.

3 0

2 0

1 0

; (1) ; (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( 2 )

Cách giải :

Gỉa sử Δ cắt (α ) tại M( x ; y ; z ) , thế tọa độ M (1 ) vào ( 2 ).

A (x0a1.t ) + B ( y 0 a2.t ) + C( z0a3.t ) = 0 ( 3 )

Nếu : + Phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm t , thì Δ cắt (α ).

+ Phương trình ( 3 ) có vô số nghiệm t , thì Δ  (α ).

+ Phương trình ( 3 ) vô số nghiệm t , thì Δ // (α ).

.

C B A

D c C b B a A

Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S)

Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S)

Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn ( C ), Tâm H, bán kính r = IH Trong đó H là hình chiếu I trên (α )

Áp dụng : Bài tập 5, trang 92

Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009.

Đề thi CĐ Khối B năm 2010

Đường thẳng MH đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc (α) , nên nhận

véc tơ pháp tuyến của (α) làm véc tơ chỉ phương a= n

z

t B y

y

t A x

x

.

0 0

( 2 ) ; Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta tìm được t , thay vào ( 2 ) ta tìm được tọa độ H

Áp dụng Bài tập 8 trang 91 sgk ; Bài 9 trang 93 sgk

Đề thi CĐ Khối B năm 2010

Bài : 3.2 : cho điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng Δ có phương trình :

z

t a y

y

t a x

x

.

3 0

2 0

1 0

( 1 ) ;

Cách giải :

Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ: H 

Δ H  (α )qua M 0 , và (α ) vuông góc đường thẳng Δ

Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc

tơ véc tơ chỉ phương a= (a 1 ; a 2 ; a 3 ) của Δ làm véc tơ pháp tuyến của (α) :

Cho 4 điểm : A(x A ; y A ; z A ) , B(x B ; y B ; z B ) , C(x C ; y C ; z C ) D(x D ; y D ;z D )

1) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC )

2) Tính góc A, B của tam giác ABC

3) Tính diện tích tam giác ABC

4) Chứng minh D.ABC là tứ diện Tính thể tích hình chóp D.ABC

Cách giải :

1) Bài toán 2.1/ Chú ý a) (

2) Ta có cosA =

AC AB

AC AB

1 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

b b b a a a

b a b a b a

Kết luận D.ABC là tứ diện.

Gọi : V D.ABC là thể tích tứ diện D.ABC Ta có : V D.ABC = 31S đ h.

( Với S đ = S ABC =

2 1

AB AC sinA ,

h = d(D,(ABC))= . . . . 3.

3 2 2 1 1 2 3 2 2 2

5

 ; x2 = i

4

7 4

TN THPT Năm : 2009 ( Cơ bản ) ; Đáp số : z1 = i

4

1 4

1

 ; z2 = i

4

1 4

8 Bài 8: Giải phương trình :2z2 + 6z + 5 = 0 ; trên tập số phức

TN THPT Năm : 2010 (GDTX) ; Đáp số : z1 =- i

2

1 2

3

 ; z2 = - i

2

1 2

3



9 Bài 9 : Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i , z2 = 2 – 3i Xác định phần thực và phần

ảo của số phức z1 -2z2

TN THPT Năm : 2010 ( Cơ bản ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 8

10 Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i , z2 = 3 – 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2

TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7

SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC

Bài 11 : Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0

Tính giá trị của biểu thức A = 2

2 2

Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện : z ( 3  4i)  2

ĐH Khối D – 2009 Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; 4 ), bán kính R =2

Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z

Xác định phần thực , phần ảo của Z

CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB) Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5

Bài 15 : Giải phương trình : z

i iz

i z







 2

7 3 4

trên tập số phức

CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC) Đáp số : z1 = 1 +2i ; ; z2 = 3 + i