CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG § 1. Nguyên hàm Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại? a) và ; b) và ; c) và . Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1? Có hai cách : Tính nguyên hàm. Đạo hàm. Giải: a) và là nguyên hàm của nhau. b) là một nguyên hàm của . c) là một nguyên hàm của .
Trang 1CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§ 1 Nguyên hàm
Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là
nguyên hàm của hàm số còn lại?
a) ex và ex
; b) sin 2x và sin x ;2 c)
2 2
x
x
Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?
Có hai cách :
- Tính nguyên hàm
- Đạo hàm
Giải:
a) e x và ex
là nguyên hàm của nhau
b) sin x là một nguyên hàm của sin 2x 2
c) 1 4 e x
x
là một nguyên hàm của
2 2
x
Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f x( ) x 3 x 1
x
; b) ( ) 2 1
x x
f x
e
sin cos
f x
(1 )(1 2 )
f x
g) f x( ) e3 2 x
Giải :
a, Đưa về hàm số chứa các lũy thừa của biến x,
F(x) = x5/3 x7/6 x2/3C
2
3 7
6 5
3
sin cosx x dx sin 2x dx x C
sin cosx x dx sin x cos x dx
d, Biến đổi thành tổng:
1 ( ) sin 5 cos3 sin 8 sin 2 ;
2
F(x) = cos 8x cos 2x) C
4
1 (
4
1
b, Biến đổi thành tổng các tích phân:
(ln 2 1)
x x
x x
C
C e
e, Biến đổi ( ) tan2 12 1
cos
x
( ) tan -
Trang 2GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
g, Biến đổi vi phân, F(x) = e x C
32 2
1
x
x
1
1
ln
3
1
hướng dẫn câu h:
3 / 2
; 3 / 1 0
2
1
) 2 1 )(
1 (
) 2 ( ) ( )
2 1 )(
1 (
) 1 ( ) 2 1 (
2 1 1
) 2 1 )(
1 ( 1
B A
B A
B A
x x
B A B
A x
x
x B x A
x
B x
A x
x
Bài tập 3 ( trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a) I (1 x dx)9 ; b) I x1x2 32 dx;
2
dx I
e e
Giải:
a, Đặt u 1 x I = x C
10
) 1 ( 10
b, Đặt u 1 x2 I = ( 1 x2)5/2C
5
1
c, Đặt t cosx I = 1 4
cos
e
Bài tập 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng
phần, hãy tính:
a) xln 1 x xd ; b) x2 2x 1e x xd ; c) xsin 2 x1 d ; x d) 1 xcos d x x
Giải
a,Áp dụng nguyên hàm từng phần
Đặt u ln(1x)
x x
x
c, Áp dụng nguyên hàm từng phần
C x
x x
Kq
dx x dv
x
u
) 1 2 sin(
4
1 ) 1 2 cos(
2
:
) 1 2 sin(
,
b,Áp dụng nguyên hàm từng phần hai lần
2 2
2 1, : ( 1)
x x
u x x dv e dx
d, Áp dụng tích phân từng phần
C x x
x Kq
xdx dv
x u
cos sin
) 1 ( :
cos ,
Trang 3§ 2 Tích phân
Bài tập 1 (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
1
3
1
2
1 x dx
0
sin
4 x dx
2
1 2
1
1 dx
x x
d) 2 2
0
x x dx
2
2 1
2
1 3
; 1
x dx x
2 sin 3 cos5x xdx
Giải:
2
1 2 5
3 1
2
3 9 1
b) 2
0
sin x dx 4
2 0
cosx- sinx dx
cosxdx sinxdx
0
c) ln 2; d) 34
3 ; e)
4 3ln 2
Bài tập 2 (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau
a)
2
0
1
I x dx; b) 2 2
0
sin
2
ln 2 0
1
x x
e
e
0
sin 2 cos
I x xdx
Giải:
a)
2
0
I1 x dx
1 x dx 1 x dx
1 x dx 1 x dx
1
2
0
1 cos2x
2
dx cos2xdx
4
d) Ta có sin 2 cos2 1sin 2 1 cos 2 1sin 2 1sin 4
Trang 4GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Bài tập 3 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
x
3
(1 )
0
1
x x
xe
1 0
1
a
dx
a x
2
2 2 0
1
Giải:
a) Đặt t = 1 + x, A = 5
c) Đặt t = 1 + xex, C = ln(1 + e) d) Đặt x = asint, D =
6
Bài tập 4 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần,
hãy tính:
0
( 1)sin
e
1
ln
1 0
ln(1 )
1 2 0
( 2 1)
Giải:
a) Đặt u x dv sin1xdx
, B = 1 (2 1)e3
9
c) Đặt u dv dxln(x1)
dv e dx
2 2 1
Trang 5§ 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài tập 1 (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y x y x 2, 2; b) y ln ,x y 1; c) y(x 6) ,2 y6x x 2
Giải:
a) Hoành độ giao điểm: x = –1, x = 2
S 2 x2 x dx
1
9 2
2
.
c) Hoành độ giao điểm: x = 3, x = 6
3
= 9
b) Hoành độ giao điểm: x x e
e
1 ,
e
e
1
ln 1
=
e
e
1
(1 ln ) (1 ln )
e
Bài tập 2: (Trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x 2 1 , tiếp tuyến với đường này tại M2;5 và trục Oy.
Giải :
Viết phương trình tiếp tuyến với đường này tại M2;5:
Phương trình tiếp tuyến:y 4x 3
Hoành độ giao điểm: x = 0, x = 2
2
2
0
S =ò x + - x- dx
2 2 0
3
Bài tập 4: (Trang 121 SGK) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quay quanh trục Ox:
a) y 1 x y2, 0;
4
Giải :
a) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 1 x2 với trục Ox ?
1
x x
Suy ra parabol y 1 x2 cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1; 1
Lập công thức tính thể tích ?
Trang 6GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Khi đó:
1
2 2 1
0
cos
2
0
4
Bài tập 5: (Trang 121 SGK) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.
Đặt OM = R, POM 0 ,R 0
3
a) Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox.
b) Tìm sao cho thể tích đó là lớn nhất
Viết phương trình OM, toạ độ điểm P?
(OM): y = tan.x
Tọa độ của P: P = (Rcos; 0)
0Rc atan x dx
3
3
( os -cos ) 3
R c
b Max V(a)=
3
2 3 27
R
p .
2
t t vì 0;
3
, ta có V R3(t t 3)
3
Có V' R3( 3 )t t2
3
t V
1 3 ' 0
1 ( ).
3
3 1
1 2 3
27 3
trong ño cos hay =arccos
Trang 7
Ôn tập chương III
Bài tập 3: (Trang 126 SGK) Tìm nguyên hàm của hàm số:
a) f x x 1 1 2 x 1 3 ; x b) f x( ) sin4 cos 2 ; x 2 x
c) 1 ;2
1
f x
x
Giải:
a) Khai triển thành tổng ta có 3 4 11 3 3 2 ;
F x x x x x C
( ) sin 4
2
x
.sin 4 sin 8
f x
2 1
x
x
d) Khai triển f x e x 13 e3x 3e2x 3e x 1
F x e e e x C
Bài tập 4: (Trang 126 SGK).Tính:
d
x
x x
3
1d ; 1
x x
e
d/
Giải:
a) Áp dụng nguyên hàm từng phần, ta được: F(x) =x 2 cos x sinx C ;
2 3
x
4
3 3
2 2
Trang 8GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
g)
x
Bài tập 5: Tính:
a)
3
0 1 x dx
x
b)
64 3 1
x
2 0
3
2e dx
x x
; d)
0
2 sin
1 x dx
Giải:
a) Đặt : t = 1 x t2 1 x
Ta có: dx= 2tdt.
Đổi cận: x = 0 thì t = 1
x = 3 thì t = 2
2 0 3
2 0 2
2 0
2 3
0
| ) 2 3
2 ( ) 1 ( 2
2 ) 1 ( 1
t t dt t
t
tdt t
dx x x
ĐS: 8/3;
b) 1839
14
c)
2
0
3
2e dx
x x
Đặt u = x2 và dv = e 3x
ta được du = 2xdx và v = 31e3x
2
0
3
2e dx
=
=31 x2e3x 2
0
3
3
2 xe x dx
Đặt u = x và dv = e 3x
ta được du = dx và v = 31 e3x
2 0
3
2e dx
x x
=
3
1
x2e3x 2
0
-9
2
xe3x 2
2 0
3 ( 3 ) 27
2
x d
e x
=
3
4e6
-
9
4e6
+
27
2e 3x 2
0 =
9
8e6
+
27
2e6
- 272
=272 (13e6 – 1);
d) ĐS:2 2
Bài tập 6: Tính:
0
cos2 sinx xdx;
1 1
2x 2 d ;x x
2 1
x
d)
2
2
0
x x
2
2 0
sin x cosx d ;x
0
2
) sin (x x dx
Giải:
g)
0
2
) sin
(x x dx
Ta có: I =
0
2
) sin
0
sin xdx x
Đặt u = x và dv = sinxdx
Trang 9
0
2
2 2 sin sin )
(x x x x dx
=
0
2dx
0
sin
2 x xdx+
0
2
sin xdx
=
3
3
0 + 2I1 + 21
0
) 2 cos 1
=
3
3
+2I1 + 12 x
0 - 41
0
) 2
(
2
cos xd x
=
3
3
+2I1 + 2 - 41 sin2x 0
ta có du = dx và v = -cosx
I1 =
0
sin xdx
0
cos xdx
= + sinx
0 =
I =
0
2
) sin (x x dx =
3
3
+ 52
Đáp số
Bài 3 / ( Trang 126 , SGK )
a) 3 4 11 3 2
3
2x 3 x x x C
b) 1cos 1 cos8
8 x 32 x C
c)1ln 1
2 1
x
C x
d) 1 3 3 2
3
3 2
x x x
Bài 4 / ( Trang 126 , SGK )
a) ( x – 2 ) cosx – sinx + C b) 2 52 4 32 12
2
5x 3x x C
c)1 2
2
x x
d ) 1tan( )
2 x 4 C
e )
( 1)
3 x 3x C
Bài 5 / ( Trang 127 , SGK )
a) 8
3
b) 1839
14
(13 1)
27 e
d) 2 2
Bài 6 / ( Trang 127 , SGK )
a)
8
b) 1
ln 2
c) 21 11ln 2
2
d) 1ln 3 2
e) 1 2
Bài 7 / ( Trang 127 , SGK )
2
b) 4
3
CHƯƠNG IV SỐ PHỨC
§ 1 Số phức
Trang 10GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
Bài 1(trang 133) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
) 1 ; ) 2 ; ) 2 2; ) 7
Giải:
Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: a 1;-π b 2;-1 c 2 2;0 d 0;-7
Bài 2(trang 133) Tìm các số thực x và y, biết:
a) 3x 2 2y1i x 1 y 5 ;i
b) 1 2 x i 3 5 1 3 ; y i
c) 2x y 2y x i x 2y3 y2x 1 i
Giải:
Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.
a 3 4;
2 3
2 3
; c.0;1
Bài 4(134) Tính z với:
a) z2i 3; b) z 2 3 ; i c) z 5; d) z i 3
Đáp số:
a 7 b 11 c 5 d 3
§ 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép tính
a) (3 - 5i) +(2+4i) = 5 - i
b) ( -2-3i) +(-1-7i) = -3-10i
c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i
d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i
Bài 2.Tính +, - với
a) = 3, = 2i b) = 1-2i, = 6i
c) = 5i, =- 7i d) = 15, =4-2i
giải
a)+ = 3+2i - = 3-2i;
b)+ = 1+4i - = 1-8i;
c)+ =-2i - = 12i;
d)+ = 19-2i - = 11+2i
Bài 3 Thực hiện các phép tính
a) (3-2i) (2-3i) = -13i;
b) ( -1+i)(3+7i) = -10-4i ;
c) 5(4+3i) = 20+15i;
d) ( -2-5i).4i = -8i + 20
Trang 11Bài 4.Tính i3, i4 i5
Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tuỳ ý
giải
i3=i2.i =-i
i4=i2.i 2=-1
i5=i4.i =i
Nếu n = 4q +r, 0 r < 4 thì in = ir
Bài 5.Tính
a) (2+3i)2=-5+12i;
b) (2+3i)3=-46+9i;
§ 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC
Bài 1 Thực hiện các phép chia sau:
a/ 2
3 2
i
i
= 4 7
13 13 i; b/ 1 2
2 3
i i
=2 6 2 2 3
7 7 i
c/ 5
2 3
i
i
= 15 10
13 13i
Bài 2 Tìm nghịch đảo 1
z của số phức z biết:
a) z 1 2 ;i b) z 2 3 ; i c) z i; d) z 5 i 3
Giải:
a/ 1
1 2i =1 2
2 9
2 3
i i
= 2 3
11 11 i; c/ 1
1
i
i i
25 3
5 3
i i
= 5 3
28 28i
Bài 3 Thực hiện các phép tính sau:
a/ 2 (3 )(2 4 )i i i ; b/ (1 ) (2 )2 3
2
i ; c/3 2 (6 )(5 ) i i i ; d/ 4-3i+5 4
3 6
i i
Giải:
a) 2 (3i i)(2 4 ) 2 (2 14 ) - 28 4 i i i i;
b) (1 ) (2 )2 3 2 ( 8 )
= 16( 2 ) 32 16
5 5 5
i
i
; c) 3 2 i(6 )(5 ) 3 2 29 11 32 13i i i i i;
d) 4-3i+5 4
3 6
i i
= 4-3i +(5 4 )(3 6 )
45
= 4-3i +39 18 219 153
45 45 i 45 45 i
Bài 4 Giải các phưong trình sau:
a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i
(3-2i)z=3 – 2i
z = 3 2
3 2
i
i
=1
b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z
Trang 12GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12
(-1+2i)z=(2+5i)
1 2 5 5
i
i i
c/
(2 3 ) 5 2
4 3
3
4 3
(3 )(4 3 )
15 5
z
i
z
i i
§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Bài 1(140) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.
a) i 7 ; b) 2 2i ; c) 2 3i ; d) 2 5i ; e) 11i
Bài 2(140) Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 3z2 2 1 0;z b) 7z2 3z 2 0; c) 5z2 7 11 0.z
Đáp số:
3
i
14
i
10
i
Bài 3(140) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) z4 z2 6 0; b) z4 7z2 10 0.
Đáp số:
a) z1,2 2,z3,4 i 5; b) z1,2 i 2,z3,4 i 5
Bài 4(140) Cho a b c, , ,a0, ,z z1 2 là hai nghiệm của phương trình az2 bz c Hãy0 tính z z1 2 và z z theo các hệ số 1 2 a b c, ,
Giải:
Ta có: z1 z2 b; z z1 2 c
Bài 5(140) Cho z a bi là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghiệm.
Giải:
Theo công thức nghiệm của ptb2:
x z x z 0 x2 z z x z z 0
Nếu z a bi , thì phương trình bậc hai là : x2 2ax a 2 b2 0
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài tập 5 (trang 143 SGK) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức
z thỏa mãn điều kiện :
a) Phần thực của z bằng 1 ;
Trang 13b) Phần ảo của z bằng -2 ;
c) Phần thực của z thuộc đoạn 1;2 , phần ảo của z thuộc đoạn 0;1 ;
d) z 2
Giải :
1/ Số phức z có phần thực a = 1: Là đường thẳng qua hoành độ 1 và song song với Oy.
2/ Số phức z có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 và song song với Ox.
3/ Số phức z có phần thực a 1 , 2,phần ảo b 0 , 1 : Là miền hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = -1; x = 2; y = 0; y = 1
3/ z : Là hình tròn tâm tại gốc tọa độ O, có R = 2.2
Bài tập 6 Tìm các số thực x, y sao cho :
b) 2x + y – 1 = (x+2y – 5)i
3 1 0
5
2
0
1
2
y x y
x
y
x
Bài tập 8 Tính :
b) (4-3i)+ i i
2
1
= 4- 3i +((21i i)()(22 i i)) = 4 – 3i + i i
5
14 5
23 5
3
Bài tập 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
b) z 4 8 0
2
2
8 8
z
4 1,2
4 3,4
8 8
z