Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy.. Trong nhiều mô hình, hệ thức [r]

PH ƯƠNG TRÌNH VI

KHÁI NIỆM CHUNG

Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối

tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy

Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới

dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình

vi phân

ĐỊNH NGHĨA

Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi

chung là phương trình vi phân

Ví dụ.

dx

( )

( , , ', , , n ) 0

F x y y y ¢¢ y =

CẤP CỦA PTVP

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:

Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:

F x y y = hay y = f x y

VÍ DỤ

Nêu cấp của các PTVP sau:

2 2 2

) '' 4 2 '

a y y x x y

b x dx x y dy

c y xy xy

-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP

Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước

Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra

khỏi bể với cùng tốc độ Sau 30 phút thì trong bể còn lại bao nhiêu muối?

VÍ DỤ

Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t.

Ta có y(0)=20

Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200

Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)

Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200

Hay y’=0,75-0,005y

MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số

Mô hình toán học của giả định trên?

MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số

+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm

về K khi dân số tăng quá K)

Hãy đưa ra mô hình toán học?

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Định nghĩa Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có

dạng:

Trong đó:

- F xác định trong miền G thuộc R3

- x là biến độc lập, y là hàm cần tìm

( , , ' ) 0 , , dy 0

F x y y hay F x y

dx

æ ö ÷

NGHIỆM CỦA PTVP CẤP 1

Nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn (tích phân tổng quát)

Nghiệm riêng

Nghiệm kỳ dị

NGHIỆM TỔNG QUÁT

Dạng:

Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C

Với mọi điểm ( 0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho

( , )

y = j x C

0 0 , 0

y = j x C

NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN

Tên khác: tích phân tổng quát

Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của phương trình trong D

NGHIỆM RIÊNG

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số C0 xác định được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm riêng:

Tích phân riêng:

NGHIỆM KỲ DỊ

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của C

PTVP CẤP 1 THƯỜNG GẶP

PT biến số phân ly

PT biến số phân ly được

PT đẳng cấp cấp 1

PT tuyến tính cấp 1

PT Bernoulli

PT vi phân toàn phần

PT BIẾN SỐ PHÂN LY

Dạng: g(y)dy=f(x)dx

Lấy tích phân bất định hai vế theo biến x

Ta có:

Ví dụ

g y dy = f x dx Û G y = F x + C

2

2 1

x

x

=

+

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

Dạng 1.

Cách giải:

Chia hai vế cho f1(x)g2(y) để đưa về dạng biến số phân ly Xét riêng tại những giá trị f1(x)g2(y)=0

( ) ( ) ( ) ( )

f x g y dy = g y f x dx

VÍ DỤ

Giải phương trình:

Đáp án:

Nghiệm tổng quát:

Nghiệm: y=-1

Nghiệm: x=1

3

1

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

Dạng 2.

Cách giải:

Đặt z=ax+by

Đưa về phương trình biến số phân ly dx, dz

y ¢= f ax + by