Chương 2 : Phương trình vi phân và ứng dụng

Phương pháp giải PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng... Phương pháp giải Phương trình Euler- Cauchy..[r]

Chương 2:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được

 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính

 Phương trình Euler- Cauchy (tham khảo)

• Ứng dụng phân giải mạch điện

Phương trình vi phân cấp 1

• Dạng tổng quát:

Các dạng đặt biệt

Phương pháp giải PTVP cấp 1 có biến phân ly

Ví dụ

Tìm nghiệm của phương trình

y’= 1+x2+y2+x2y2; với y(0)=1

Ví dụ

Phương pháp giải PTVP đẳng cấp cấp 1

Ví dụ

y x

y

x hay

y x

y

x dx

2

5 2

z z

z

z

) ln(

) 2 ln(

4 ) 1

ln(

3

2

1

x y

C x

y x

y

x y

x y

C x

x

x y x

x y

x y

x y

C x

x

y x

y

x z y

2

) ln(

3 ) 2 ln(

4 2

) ln(

) ln(

3 )

2 ln(

4

2

1

) ln(

) 2 ln(

4 ) 1 ln(

3

Phương pháp giải PTVP tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Phương pháp giải PTVP tuyến tính cấp 1 không thuần nhất

Ví dụ

• Giải phương trình y'+ tan(x).y = cos2(x) cho y(0)=2.

Ví dụ

Phương pháp giải

PT Bernoulli

Phương trình vi phân cấp 2

• Dạng tổng quát:

PTVP cấp 2 giảm cấp được

Phương pháp giải PTVP cấp 2 không chứa y

Ví dụ

• Giải phương trình y’’=(y’)2

Ví dụ

Phương Pháp giải PTVP cấp 2 không chứa x

Ví dụ

• Giải phương trình : y''+(y')3 y=0

Ví dụ

PTVP tuyến tính cấp 2

Phương pháp giải PTVP tuyến tính hệ số hằng

Ví dụ

Tìm nghiệm với các điều kiện đầu

y’’ + 2y’ + 2y = 0 Với y(π/4) = 2, y’(π/4) = -2

Ví dụ

Nghiệm PTVP tuyến tính cấp 2

không thuần nhất

PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng

Phương pháp giải PTVP tuyến tính cấp 2

không thuần nhất hệ số hằng

Ví dụ

Tìm nghiệm riêng của phương trình:

y’’- 3y’- 4y = 3e2x + 2sin(x)

Ví dụ

PT Euler - Cauchy

Phương pháp giải Phương trình Euler- Cauchy

Ứng dụng phương trình vi phân

phân giải mạch điện

Ứng dụng phương trình vi phân

phân giải mạch điện

• Dạng phương trình sau khi phân giải mạch điện:

Ứng dụng phương trình vi phân

phân giải mạch điện

của PTVPTT thuần nhất hệ số hằng

Ứng dụng phương trình vi phân

phân giải mạch điện

toán tìm nghiệm riêng của PTVPTT hệ số hằng

• Cách 1:

 Áp dụng phương pháp tìm nghiệm riêng nêu trên

• Cách 2:

 Xét các mạch tương đương

Ví dụ

• Tìm dòng điện i1 trong mạch khi t>0, biết

i1(0)=1(A), i1’(0)=1(A)

(1)

( ' )

(

0 10 )) ( ) ( ( )

( '

1 2 1

2 1

3

1 2

1

t i t i R t

i L t i R

t i t i R t

i L

Ví dụ

• Từ (2), suy ra:

• Thay vào (1), ta được:

 Đây là phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất

(3) '

3 4

' 4

12

1 1 1

i i

i

i i

i i

1

1 1

1 1

1

5 4

' 5 ''

0 10

4 ) ' 3

( 4 ) '' '

3 ( 2

 Theo đề i1(0)=1A, i 1’(0)=1(A) nên:

• Giải hệ trên, suy ra:

• Do đó:

04

'5

1  i  i 

i

0 4 5

2  p 

p

4 ,

1 2

p

t t

h

t t

h

e k e

k t

i

e k e

k t

i

4 2 1

4 2 1

4 )

( '

0 (

2 1

0 2

0 1

e k e

k

i h

1 4

1 4

) 0 ( '

2 1

0 2

0 1

e k e

k

i h

3

2 ,

3

2 3

5 )

ip(t) = t s ( Tn(t)e αt cos(βt)+ Rn(t)e αt sin(βt))

= t 0 (Ae 0t cos(0t)+Be 0t sin(0t)) = A

4 ,

1

0 4 5

2 1

r r

0 5

4 ' 5 '' 1 1

1  i  i      

i

4

5 5

4 0 5 0

5 4

' 5 '' 1 11

i i i

4

5 ) (t 

i p

Ví dụ

Cách 2: Do nguồn tác động là DC nên cuộn dây xem như ngắn mạch

 Khi đó: ta có mạch tương đương

Do đó

(A) R

U

4

5 8

2 3

Hết chương 2