Các dạng bài tập cơ kỹ thuật 1

CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỚI HỆ LỰC DẠNG 1: Tìm hợp lực của hệ lực đồng quy hoặc tìm các véc tơ lực thành phần của hệ lực đồng quy khi biết hợp lực của chúng Hệ lực đồng quy đường tác dụng

CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỚI HỆ LỰC

DẠNG 1: Tìm hợp lực của hệ lực đồng quy hoặc tìm các véc tơ lực

thành phần của hệ lực đồng quy khi biết hợp lực của chúng

Hệ lực đồng quy (đường tác dụng của các lực cắt nhau tại một điểm) tương đương với một lực bằng tổng các lực thành phần, gọi là hợp lực của hệ lực đồng quy

1 2 3

    

Các bước giải tìm hợp lực của hệ lực đồng quy

 Biểu diễn mỗi véc tơ của hệ lực theo các thành phần vuông góc

 Áp dụng phép cộng véc tơ sử dụng các thành phần vuông góc, ta tìm được véc

 Giải tìm các thành phần đề bài yêu cầu

DẠNG 2: Tìm momen của lực đối với một điểm

Định nghĩa momen của lực F đối với điểm O

MO   r F

Trong đó, r là véc tơ định vị điểm A bất kỳ trên

đường tác dụng của F so với điểm O: rOA

Ta có thể xác định momen của lực đối với một

điểm theo ba cách sau

Trong đó M x , M y , M z tương ứng là momen của lực đối với các trục Ox, Oy, Oz

DẠNG 3: Momen của lực đối với một trục

Định nghĩa: Momen của lực F đối với trục AB bằng thành phần hình chiếu của M O

trên trục AB, với O là điểm bất kỳ trên trục AB

cos

Suy ra: Lực cắt trục hoặc song song với trục thì momen

của lực đối với trục bằng không

Dưới đây là hai phương pháp xác định momen của lực

- có phương vuông góc với mặt phẳng chứa O và F;

- có chiều sao cho nhìn ngọn của M O xuống gốc O thì thấy F

q.x.q O theo chiều ngược chiều KĐH; (quy tắc bàn tay phải)

- có độ lớn MO = F.d

Trong đó d là khoảng cách hạ vuông góc từ O đến đường tác dụng của F

 Xác định véc tơ r = xi + yj + zk (là véc tơ định vị được vẽ từ điểm O bất kỳ trên

trục AB đến điểm bất kỳ trên đường tác dụng của F)

 Biểu diễn F theo các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk

 Xác định véc tơ đơn vị chỉ phương của trục AB: λ = λxi + λyj + λzk

 Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên

Phương pháp hình học (phương pháp vô hướng)

2.

AB

M   F d

 Phân tích F thành hai thành phần vuông góc:

một thành phần song song với trục AB (F 1) và

 Tìm khoảng cách d từ giao điểm O đến F 2

 M AB  F d2. , lấy dấu “+” nếu nhìn từ chiều dương của trục (nhìn từ B) xuống O

thấy F 2 quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (như hình vẽ trên) và lấy

dấu “ - “ trong trường hợp ngược lại

Dưới đây là các bước thu gọn hệ lực về một tâm của một số hệ lực phẳng, hệ lực không gian và kết quả tổng hợp hệ lực tương ứng

Hệ lực

phẳng

Nếu F0 thì kết quả tổng hợp là một lực, đặt cách O một khoảng d

Nếu F0 thì kết quả tổng hợp là một ngẫu lực

C và R đặt tại O tương đương với một lực R đặt tại A như hình (c)

CÁC TÂM VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ

DẠNG 1: Tìm tâm của diện tích và đường cong phẳng

Tâm của diện tích:

Tâm của đường cong:

Phương pháp tích phân

Các kỹ thuật tích phân xác định tâm của diện tích

Diện tích phẳng A

Đường cong

phẳng L

Các kỹ thuật tích phân xác định tâm của đường cong

Tam giác Phần bù của nửa parabol

Bảng 4.1 Tâm của một số hình phẳng thường gặp

DẠNG 2: Xác định hợp lực của tải trọng phân bố phẳng vuông góc với

Hợp lực của tải trọng phân bố vuông góc

Hình ảnh hệ lực phân bố Hợp lực của hệ lực phân bố

Tổng quát

=

Hợp lực Q cùng phương cùng chiều với các

lực thành phần của hệ lực phân bố,

có độ lớn bằng diện tích của hình phân bố lực và có đường tác dụng đi qua trọng tâm G của hình phân bố lực

0 0

0

( )( ) ;

( )

l l

Bảng 4.2 Hợp lực của một số tải trọng phân bố vuông góc đơn giản

DẠNG 3: Xác định tâm của một mặt cong, thể tích và đường cong

 Đường cong không gian

Một số chú ý trong trường hợp vật thể đối xứng:

- Nếu vật thể có một mặt phẳng đối xứng thì tâm sẽ nằm trên mặt phẳng đó

- Nếu vật thể có hai mặt phẳng đối xứng và hai mặt phẳng đó giao nhau theo một đường thẳng thì tâm sẽ nằm trên đường thẳng đó

- Ghép nối diện tích

- Ghép nối thể tích

- Ghép nối đường cong

 Bảng tổng hợp tâm của một số thể tích và một số mặt cơ bản

Khối tứ diện Khối hình chóp

Chiều dài L

Đường cong

không gian L

Khối parabol tròn xoay Nửa khối ellip tròn xoay

Mặt nón Nửa mặt cầu

Khối nón Nửa khối cầu

DẠNG 4: Áp dụng định lý PAPPUS - GULDINUS

Định lý 1: Diện tích mặt cong được tạo ra bằng cách quay một đường cong phẳng

360 0 xung quanh một trục không cắt và nằm trong mặt phẳng của đường cong bằng

2 lần momen thứ nhất của đường cong xung quanh trục xoay

DẠNG 5: Xác định trọng tâm và khối tâm

 Trọng tâm (tâm trọng lực)

Nếu vật là đồng chất, trọng tâm của vật được xác định bằng công thức:

( Nếu vật là đồng chất thì trọng tâm của vật trùng với tâm thể tích của nó)

 Khối tâm (tâm khối lượng)

 Vật thể ghép nối

DẠNG 6: Xác định hợp lực của hệ lực phân bố (tải trọng mặt và tải

V

V y dV y

V

 

Kết luận:

Hợp lực của hệ lực phân bố có tính chất sau:

 Giá trị của hợp lực bằng với thể tích của miền nằm dưới bề mặt tải trọng (miền V)

 Đường tác dụng của hợp lực đi qua tâm của miền nằm dưới bề mặt tải trọng (miền V)

Miền V Diện tích chịu tải

Bề mặt tải trọng

  ; .

Ax dA x

A

 

Kết luận:

Tải trọng phân bố tuyến tính dọc theo một đường cong phẳng có những tính chất sau:

 Giá trị của hợp lực bằng diện tích của miền nằm dưới sơ đồ tải trọng (miền A)

 Đường tác dụng của hợp lực đi qua tâm của diện tích dưới sơ đồ tải trọng (miền A)

Các bước sau đây để xây dựng một sơ đồ vật thể tự do:

1 Vẽ phác thảo vật với giả thiết rằng tất cả các vật đỡ (các bề mặt tiếp xúc, các dây cáp,…) đã được bỏ đi

2 Tất cả các lực tác dụng được vẽ và ký hiệu trên sơ đồ phác thảo đó Trọng lượng của vật thể được xem là một lực tác dụng tại trọng tâm

3 Các phản lực đỡ được vẽ và ký hiệu trên sơ đồ phác thảo Nếu chiều của một

phản lực chưa biết, nó có thể được giả thiết Nghiệm sẽ xác định chiều

Sơ đồ tải trọng Miền A

4 Tất cả các góc liên quan và các kích thước cần được thể hiện trên sơ đồ phác thảo

Dưới đây là bảng các liên kết phẳng thường gặp và các phản lực liên kết tương ứng

Các liên kết phẳng và các phản lực liên kết tương ứng

Liên kết Phản lực liên kết Số thành phần chưa biết Mô tả

phản lực liên kết

- Tên gọi riêng: sức căng

- hướng dọc theo dây, hướng ra khỏi vật khảo sát

(tiếp xúc tại 1 điểm)

Hai thành phần chưa biết

N phương vuông góc với đường

tựa, chiều hướng về phía vật khảo sát

F nằm trên đường tựa

- phương vuông góc với phương

di chuyển của con lăn, gối di động

- chiều hướng về phía vật khảo sát

Bản lề, gối cố định Hai thành phần chưa biết

- phản lực R nằm trong mặt

phẳng vuông góc với chốt bản lề

- R được tách ra thành hai thành

phần theo 2 phương vuông góc

theo tiên đề HBH: R x , R y Chiều

của R x , R y là chưa biết, chiều của

với vòng đai (con chạy)

trên thanh trơn

- Lực F vuông góc với thanh dẫn

của vòng đai, chiều chưa biết và

- Chiều chưa biết: hướng ra khỏi thanh (thanh bị kéo) hoặc hướng vào trong thanh (thanh bị nén), chiều của nó sẽ được giả sử

Bảng 5.1

DẠNG 2: Phân tích cân bằng của hệ lực phẳng

Các dạng phương trình cân bằng ứng với từng hệ lực

Ba dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng tổng quát

Dạng 1

'

'

0 0 0

x y O

F F M

x A B

F M M

A B C

M M M

Dạng 2 0

0

A B

M M

F M

 AO và trục x’ không vuông góc với AO (O là điểm đồng quy)

Hai dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng, song song

Dạng 1

0

y A

F M

M M

 AB không song song với các lực

Ba bước trong phân tích cân bằng của vật thể là:

Bước 1: Vẽ sơ đồ vật thể tự do (FBD) của vật mà thể hiện tất cả các lực và

ngẫu lực tác dụng lên vật

Bước 2: Viết các phương trình cân bằng cho các lực và ngẫu lực xuất hiện trên

sơ đồ vật thể tự do

Bước 3: Giải các phương trình cân bằng đối với các đại lượng chưa biết

DẠNG 3: Phân tích cân bằng của các vật thể phức hợp

Đến bây giờ, chúng ta đã xét các bài toán một vật Bởi vì trước tiên chúng ta đã quan tâm đến việc tính toán các phản lực ngoài, mỗi bài toán đòi hỏi việc sử dụng chỉ một sơ đồ vật thể tự do (FBD) và lời giải của một tập hợp các phương trình cân bằng Bây giờ chúng ta bắt đầu một nghiên cứu về các lực tác dụng tại vị trí liên kết mà ở bên trong vật thể, gọi là các phản lực trong Việc tính toán các phản lực trong thường đòi hỏi việc sử dụng nhiều hơn một FBD

Trong quyển sách này, sự quan tâm tập trung vào việc vẽ các FBD của các phần khác nhau mà cùng tạo thành một vật thể phức hợp Các khung và các máy là các ví dụ

về các vật thể được liên kết mà thường được sử dụng trong các ứng dụng kỹ thuật Các khung là các cấu trúc rắn tuyệt đối mà được thiết kế để mang tải trọng tại một vị trí cố định Các máy chứa các phần chuyển động và thường được thiết kế để chuyển một lực nhập vào thành một lực xuất ra

Cấu trúc của các FBD liên quan đến các lực trong tuân theo định luật 3

trục y’ không vuông góc với các lực

Hai bước phân tích cân bằng của vật thể phức hợp

1 Vẽ các FBD thích hợp, đồng thời xét các phương trình cân bằng cần viết

(không nhất thiết phải viết tất cả các phương trình cân bằng độc lập)

 Hoặc vẽ FBD của toàn hệ, sau đó vẽ thêm FBD của một số phần tử

của hệ (nếu cần thiết)

 Hoặc vẽ FBD của các phần tử của hệ

2 Viết các phương trình cân bằng cần thiết, giải tìm các đại lượng được yêu

cầu

DẠNG 4: Phân tích giàn phẳng

Một giàn là một cấu trúc mà được tạo bởi các thanh thẳng, mảnh mà được nối cùng với nhau nhờ hình thành các khuôn hình tam giác Các giàn thường được thiết kế để truyền các lực lên các nhịp tương đối dài; các ví dụ thông thường là các giàn cầu và các giàn mái Một giàn cầu tiêu biểu được thể hiện như hình dưới đây

Phân tích các giàn được dựa trên ba giả thiết sau đây:

1 Trọng lượng của các phần tử được bỏ qua Một giàn có thể được phân

loại như một cấu trúc nhẹ cân, nghĩa là trọng lượng của các phần tử của nó thường là nhỏ hơn so với tải trọng mà nó được thiết kết để chịu tải

2 Tất cả các nút là bản lề Thực tế, các phần tử tại mỗi nút thường được tán

hoặc hàn thành một tấm, gọi là tấm đệm Tuy nhiên, nếu các phần tử tại một nút được liên kết sao cho trục trung tâm của chúng (trục đi qua tâm của diện tích mặt cắt ngang của các phần tử) cắt nhau tại một điểm chung, phương pháp phân tích tiên tiến chỉ ra rằng giả thiết liên kết bản lề là khả thi

3 Các lực tác dụng tại các nút Bởi vì các phần tử của một giàn là mảnh,

chúng có thể bị uốn khi chịu tải trọng tác dụng tại các vị trí khác các nút Do

đó, các giàn được thiết kế để mà các tải trọng tác dụng chủ yếu tại các nút

Từ các giả thiết này suy ra mỗi phần tử giàn là một vật thể hai lực, các lực tác dụng lên mỗi phần tử nằm dọc theo chiều dài của phần tử, chúng thường được gọi là các lực dọc trục (ứng lực trong thanh) Mỗi phần tử giàn sẽ chịu kéo hoặc chịu nén

Có hai phương pháp phân tích cân bằng của một giàn phẳng:

1 Phương pháp các điểm nút

 Tính các phản lực ngoài dựa vào FBD của toàn giàn

 Phân tích cân bằng của các nút (hay các bản lề) từ FBD của chúng Các

lực tác dụng lên mỗi nút là đồng quy, phẳng nên với mỗi nút ta có 2 PTCB độc lập

(Một phương pháp phân tích khác là phân tích cân bằng của các nút mà không cần phân tích cân bằng từ FBD của toàn giàn.)

2 Phương pháp các mặt cắt

 Tính các phản lực ngoài dựa vào FBD của toàn giàn

 Lựa chọn các mặt cắt mà cắt qua ba phần tử, sau đó phân tích cân bằng của

phần dầm bên trái (hoặc bên phải mặt cắt)

(Một phương pháp phân tích khác là phân tích cân bằng của các phần giàn bên trái (hoặc bên phải) một số mặt cắt đã được lựa chọn mà không cần phân tích cân bằng từ FBD của toàn giàn.)

Với cả hai phương pháp các điểm nút và phương pháp các mặt cắt, sẽ rất thuận tiện nếu giả sử các phần tử đều chịu kéo, tức là lực dọc mỗi phần tử hướng ra ngoài điểm nút (hướng ra ngoài mặt cắt) Do đó, các giá trị dương của các lực chỉ ra rằng các phần

Phần tử chịu kéo (lực tác dụng hướng ra khỏi mặt cắt của phần tử)

Phần tử chịu nén (lực tác dụng hướng vào mặt cắt của phần tử)

CÂN BẰNG TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU

2 Tất cả các lực tác dụng được thể hiện trên phác thảo

3 Các phản lực được thể hiện đối với mỗi vật đỡ được bỏ đi

Khi phân tích các vật thể phức hợp, một lần nữa rất quan trọng rằng bạn cần

nắm vững định luật ba Newton: với mọi lực tác dụng, có một phản lực bằng và ngược

chiều

Các liên kết không gian và các phản lực liên kết tương ứng

Liên kết Phản lực liên kết Số thành phần chưa biết Mô tả

phản lực liên kết

(a)

Dây mềm và thẳng

Một thành phần chưa biết

- Tên gọi riêng: sức căng

- hướng dọc theo dây, hướng ra khỏi vật khảo sát

- phương vuông góc với mặt tựa

- chiều hướng về phía vật khảo sát (c)

Con lăn hình trụ trên bề

- Chiều của chúng chưa biết, và sẽ được giả sử

- Chiều của cả 6 thành phần đều chưa biết và sẽ được giả sử

Bảng 6.1

DẠNG 2: Phân tích cân bằng trong không gian ba chiều

Để một vật thể ở trạng thái cân bằng, hai phương trình véctơ sau đây phải được thỏa mãn:

2 Viết các phương trình cân bằng

3 Giải các phương trình để tìm các đại lượng chưa biết

Dưới đây là các phương trình cân bằng độc lập tương ứng với các loại hệ lực trong không gian ba chiều

Loại hệ lực Hình ảnh minh họa Số PT cân bằng Các PT cân bằng

độc lập

Không gian

0 0 0 0 0 0

Đồng quy 3

000

x

y

z

F F F

z

x

y

F M M

Thông thường hệ trục tọa độ

trọng tâm được đưa ra như trong Hình 7.1 Các thành phần của R và C R

tương ứng với

hệ trục tọa độ này được định nghĩa bởi các ký hiệu trong Hình 7.1 và có tên đầy đủ ý nghĩa vật lý như sau

P: Thành phần lực vuông góc với mặt cắt ngang, làm thanh dài ra hoặc ngắn lại, được

gọi là lực pháp tuyến

Vy và Vz: Thành phần lực nằm trong mặt phẳng của mặt cắt ngang, gây ra sự trượt (cắt) tương đối giữa các phần của thanh nằm ở hai bên mặt cắt ngang, được gọi là các lực cắt

T: Thành phần ngẫu lực tổng dẫn tới xoắn thanh, được gọi là mô men xoắn, hay

My và Mz: Thành phần ngẫu lực tổng dẫn tới uốn cong thanh, được gọi là các mô men uốn

Trong nhiều ứng dụng các ngoại lực tác dụng lên dầm là đồng phẳng và nằm trong mặt phẳng chứa trục trung tâm (dầm chịu tải trọng ngang) Hệ nội lực được gây ra bởi các ngoại lực đồng phẳng gồm một lực pháp tuyến, một lực cắt và một momen uốn tác dụng lên mặt cắt ngang nằm trong mặt phẳng chứa các ngoại lực

DẠNG 1: Áp dụng việc phân tích cân bằng để xác định hệ nội lực tại

một mặt cắt cho trước của dầm

Các bước thực hiện

 Tính các ngoại phản lực tác dụng lên dầm

 Tách riêng các đoạn thanh bên trái và bên phải mặt cắt cho trước Phân tích cân

bằng cho đoạn thanh bên trái mặt cắt (hoặc đoạn thanh bên phải mặt cắt)

DẠNG 2: Vẽ các sơ đồ V và M bằng cách áp dụng phương pháp mặt cắt

Quy ước dấu cho các lực cắt và các momen uốn

Chúng ta sẽ dùng các quy ước được thể hiện trong Hình dưới đây mà giả sử như sau là