Đề thi HSG Toán 9

UBND HUYỆN LONG ĐIỀN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN – VÒNG 2 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Năm học 2010-2011

Môn: Toán – Lớp 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1(4,0 đ): a) Chứng minh rằng: Nếu ab cd eg  99 thì abcdeg 99

b) Chứng minh rằng: (n1)(n2)(n3)(n4) 1 là một số chính phương với  n N

Bài 2(4,0 đ): a) Với k 0, chứng minh rằng: 1 1 1

(k1) k k k 1 k  k1 b) Áp dụng: Hãy rút gọn tổng sau:

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4      2025 2024 2024 2025

Bài 3 ( 3,0đ): Cho hệ phương trình:

2 1

x ay

ax y





 a) Giải hệ phương trình với a  3

b) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm x0;y0?

Bài 4(4.5đ): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Đường nối tâm OO’ cắt

đường tròn (O) tại B, cắt đường tròn (O’) tại C DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D(O); E(O’)) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE Chứng minh:

90

EMD  ?

b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)?

c) MB MD = ME MC ?

Bài 5 (2.5đ): Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Kẻ cát tuyến MAN (M (O), N(O’)) Gọi E, G lần lượt là trung điểm của AM, AN

a) Tứ giác OEGO’ là hình gì ? Tại sao?

b) Tìm vị trí của MN để sao cho độ dài MN lớn nhất?

Bài 6: (2.0đ): Cho ( ; )x y là một nghiệm của hệ phương trình:0 0

ax by c

bx cy a

cx ay b







 Chứng tỏ rằng a3b3c3 3abc

D

E M

I

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài 1: a)Ta có: abcdeg 10000. ab100.cd eg (9999.ab99.cd eg ) ( ab cd eg  ) (1 đ) Vì (9999.ab99.cd eg ) 99; ( ab cd eg  ) 99 (0,5 đ)

Vậy: Nếu ab cd eg  99 thì abcdeg 99 (0,5 đ)

b) Ta có:

(n1)(n2)(n3)(n4) 1 (n1)(n4) (n2)(n3) 1 (  n 5n4)(n 5n6) 1 (0,5d) Đặt n25n  ta có:4 t t t( 2) 1  t2 2t  1 (t 1)2(0,5d)

Thay t n 25n ta được 4 (n25n5)2là số chính phương với  n N

Vậy (n1)(n2)(n3)(n4) 1 là số chính phương  n N.(0,5 đ)

Bài 2:

a) Với k >0, ta có:

(2 )

d

 

 

b) Áp dụng:

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2025 2024 2024 2025

45 45

Bài 3:

a) Với a 3 ta có : 3 2

x y

x y





Giải hệ phương trình tìm được ( ; ) (0,5;0,5)x y  (0,5 đ).

b) Giải hpt: 2

1

x ay

ax y





2

2 1

1

a x a a y a











 



(1 đ)

Do a2  2 0 anên

2

2 0

2

a a

 



 

a Z  a  (1 đ)

Bài 4: Vẽ hình đúng (0,5đ)

a)Chứng minh được DOA2B(Góc ngoài của

OBD

 );

 ' 2

CO A C(Góc ngoài của O CE' )(0,5 đ)

2

DOA EO A

B C  

O O '

A

B

M

N

E

G

0

360 180 180 (0,5 )

d

Nên:   1800 0

90 2

B C  

Vậy BMC 900 (0,5 đ)

b) Gọi I là giao điểm của AM và DE Chứng minh được tứ giác MDAE là h.c.n,

nên: IDA IAD (0,5 đ)

Chứng minh được ODA OAD (0,5 đ)

Suy ra IAO ODI 900 Nên MA OO ' Vậy MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (0,5đ) c) Chứng minh được MA2 MB MD MA ; 2 MC ME  MB MD MC ME  (1 đ)

Bài 5: Vẽ hình đúng (0,25 đ)

a) Chứng minh được OEMA O G; ' NA OE O G// ' (0,5 đ)

Vậy tứ giác OEGO’ là hình thang vuông (0,25đ)

Mà EG OO '( Quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)

(0,5 đ)

2 '

Khi MN// OO’ thì hình thang vuông OEGO’ là

hình chữ nhật và EG = OO’ MN = 2 EG = 2 OO’

có độ dài lớn nhất (0,5 đ)

Bài 6:

Vì ( ; )x y là nghiệm của hệ phương trình, ta có:0 0

ac x bc y c

ax by c

bx cy a a bx a cy a

cx ay b b cx ab y b

ac x bc y a bx a cy b cx ab y a b c d







Mặt khác:

a bx ab y abc

ax by c

bx cy a b cx bc y abc

cx ay b ac x a cy abc

ac x bc y a bx a cy b cx ab y abc d







Từ (*) và (**) suy ra: a3b3c3 3abc