Đề-ĐA HSG Hà Tĩnh(chính thức)

Chứng minh phương trỡnh ax2 bx c 0 cú nghiệm.. Tam giỏc ABC cú cỏc gúc thỏa món hệ thức: cotA cotC  cotB.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

đề chính thức

Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2010 – 2011

MễN TOÁN

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 5 /4/2011

Cõu 1. 1 Giải phương trỡnh: 2x 6  3 x 5  x 3

2 Cỏc số a, b, c thỏa món điều kiện: a 2b 5c 0 Chứng minh phương trỡnh ax2 bx c 0 cú nghiệm

Cõu 2. Giải hệ phương trỡnh:

2



Cõu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cỏc điểm A1;3 ,  B   5; 3 Xỏc

định tọa độ điểm M trờn đường thẳng d x:  2y  1 0 sao cho 2MA MB                            

đạt giỏ trị nhỏ nhất

Cõu 4. Tam giỏc ABC cú cỏc gúc thỏa món hệ thức: cotA cotC  cotB

1.Xỏc định gúc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1của tam giỏc ABC khi 1

2

  2.Tỡm giỏ trị lớn nhất của gúc B khi   2

Cõu 5. Ba số dương a b c, , thỏa món: 12 12 12 1

a b c  .

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 2 2 1 2 2 1 2

P

− Hết −

(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)

Họ tờn thớ sinh……… Số bỏo danh………

Câu Điểm

Câu

I

1

Giải phương trình 2x 6  3 x 5  x 3 (1) Điều kiện x 5

Khi đó (1)  2 6  x  x  3 3 x 5  2 6  x  x  3 3 x 5  48 8  x

3 3 5 4 (2)

x

 



 



 1  x 6 thỏa mãn điều kiện

(2)  3 x 3 x 5  29 5  x

2

29

2

x x

x

x







 

 Kết luận: Nghiệm của phương trình 6, 17 3 5

2

x x 

2

2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c 0 Chứng minh

phương trình ax2 bx c 0 (1) có nghiệm

- Trường hợp 1: a 0 suy ra 2b 5c 0

PT (1) trở thành bx c  0(2)

+ Nếu b  0 c 0: PT (2) có nghiệm (vô định)

+ Nếu b 0 PT (2) có nghiệm (duy nhất)

- Trường hợp 2: a 0

2

a c

b 

            

a 3c2 4c2 0

Vậy Pt (1) luôn có nghiệm

Câu II

Giải hệ phương trình

2

4 2 0 (1)

8 3 4 0 (2)

x xy x y





TH1 x  0 y 0 suy ra 0

0

x y









 là nghiệm của hệ TH2 x 0 Chia hai vế của (1) cho x, (2) cho x2



2

2

2

0, 8 2

4 1 2

12 3

y

x y

x y

x









     





    

  



Suy ra 4 12 12 3 1 1

4

y  y  y  y (loại) Với y 1 ta có x 2 3 x 1 x 2

x

     

Kết luận: Hệ có 3 nghiệm 0;0 ; 1;1 ; 2;1    

Câu

III.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm

1;3 ,   5; 3

A B   Xác định tọa độ điểm M trên

đường thẳng d x:  2y  1 0 sao cho 2MA MB                            

nhỏ nhất

Gọi I x y 0 ; 0 là điểm thỏa mãn 2IA IB  0

  

2

IA BI





 

VậyI  1;1Ta có

2         MA MB                                   2              MI IA                             MI IB                                            3MI               2IA IB  3MI  3MI

Như vậy2MA MB

 

nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất Suy ra M là hình chiếu của I trên d

Phương trình tham số của d xy t2 1t



 Gọi tọa độ M2t0  1;t0

Suy ra IM 2 ;t t0 0  1

1

5

d

IM u   t t    t 

 

Vậy 3 1;

5 5

M 

1 Ta có

cot

4

b c a A

s

 

4

a c b B

s

 



cot

4

b a c C

s

 



2

cot cot cot

5b a c

Ta có:

d A

B

I

M

2 2 2 2 2 2

; C

AG  AA      G  CC     

Suy ra

a c

AG CG    b b

  Suy ra AA1 CC1 Vậy góc giữa AA1

và CC bằng 1 90 0

2.

Ta có cos 2 2 2 2 2 2 1

B

    Suy ra B 60 0

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều

Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 2 2 2

1 1 1

1

a b c 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Ta có 2 2  2  2  2

5a  2ab 2b  2a b  a b  2a b

Suy ra 2 1 2 2 1 1 2 19

5a 2ab 2b a b a b

Tương tự 2 1 2 1 2 19

5b 2bc 2c b c

   

2 1 2 2 1 1 2 19

5c 2ca 2a c a c a

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) suy ra 1 1 1 1

3

P

a b c

    

Mặt khác

2

1 1 1 1 1 1 1

3

      

2

         

G

A1

C1

Suy ra 3

3

P 

Dấu = xảy ra khi a b c   3