• Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính... • Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách
Trang 1QUAN HỆ VUÔNG GÓC
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :
a b ⊥ ⇔ ( · a b ; ) = 900.
b c / /
a b
a c
⊥
a b ⊥ ⇔ × = uur uur a b 0 Nếu uur uur a b ,
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
và
a b
Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc
( )
a
a b b
α α
⊥ ⇒ ⊥
a / /
b a b
α α
⇒ ⊥
⊥
( )
'
'
a hch a
b a
α α
⊂ ⇒ ⊥
⊥
;
( )
'
'
a hch a
b a
α α
⊂ ⇒ ⊥
⊥
• ABC a ; AB
a BC
a AC
⇒ ⊥
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí ,
hệ quả sau :
a⊥α ⇔ ⊥ ∀ ⊂a b α
a b
b c O
α
⊥ ⊂
⊥ ⊂ ⇒ ⊥
∩ =
a b / / ⊥ ⇒ ⊥ α a α
α β / / ⊥ ⇒ ⊥ a a α
AB ⊥ ( ) { α = M MA MB | = } ( α là mặt phẳng trung trực của AB).
( )
( )
ABC
MA MB MC MO
OA OB OC
α
α
.
( ) ( ) ( )
P Q
a c P Q
⊂ ⇒ ⊥
⊥ = ∩
( ) ( )
( ) ( )
⊥
⊥ ⇒ ⊥
∩ =
Trang 2• Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :
( ) ( ) P ⊥ Q ⇔ ( ( ) ( ) · P , Q ) = 900
( )
P a
a Q
⊃ ⇒ ⊥
⊥
⊥ ⇒ ⊥
• Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: (theo phương pháp hình học)
• Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường
thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho
• Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O
• Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính
Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)
• Tìm uur uur u1 , u2
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ( ) ( ) ∆1 à ∆2
1 2
u u
×
×
uur uur uur uur
uur uur
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :
a ⊥ ( ) α ⇒ ( ) a · , α = 900 ;
/ / ( · ) 0
a
a a
α
α α
⊂
( ) ( ) · , ( · , ' )
'
a
a a a
a hch aα
α
α
⊥ ⇒ =
=
o Để tìm a ' = hch aα ta lấy tùy ý điểm M a ∈ , dựng MH ⊥ ( ) α tại H , suy ra
( )
hch a aα = = AH A a = ∩ α ⇒ ( ) a · , α = MAH ·
• Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp :
Cách 1 : Dùng định nghĩa :
( ( ) ( ) · P , Q ) = ( ) a b ¶ , trong đó : ( )
( )
a P
b Q
⊥
⊥
Cách 2 : Dùng nhận xét :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
· ( , ) ( ) · ,
⊥ ∆ = ∩
∩ =
Trang 3
Cách 3 : Dùng hệ quả :
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ·
( , ) ·
P
M Q
HN m P Q
⊥ = ∩
• Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc
vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
Cách 1 :
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)
Xác định m = ( ) ( ) P ∩ Q
Dựng MH ⊥ = m ( ) ( ) P ∩ Q ,
⇒ MH ⊥ ( ) P
suy ra MH là đoạn cần tìm
Cách 2: Dựng MH / / ( ) ( ) d ⊥ α
o Chú ý :
Nếu MA / / ( ) α ⇒ d M ( , ( ) α ) = d A ( , ( ) α )
Nếu MA ∩ ( ) α = I ( ( ) )
( )
( , , )
α α
• Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
Khi ( )
a P
d a P
a P
∩
⊂
Khi a / / ( ) P
⇒ d a P ( , ( ) ) = d A P ( , ( ) ) với A ∈ ( ) P
• Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
( ) ( ) P Q d P ( ( ) ( ) , Q ) 0
P Q
∩
≡
Khi ( ) ( ) P / / Q
( ) ( )
d P Q d M Q
với A ∈ ( ) P
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
( ) ( ) ' ( ( ) ( ) , ' ) 0
∆ ∩ ∆
⇒ ∆ ∆ =
∆ ≡ ∆
Khi ( ) ( ) ∆ / / ∆ ⇒ ' d ( ( ) ( ) ∆ ∆ = , ' ) d M ( , ( ) ∆ = ' ) d N ( , ( ) ∆ ) với M ∈ ∆ ( ) , N ∈ ∆ ( ) '
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Trang 4• Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
( ) ∆ và ( ) ∆ ' là đường thẳng ( ) a cắt ( ) ∆ ở M và cắt
( ) ∆ ' ở N đồng thời vuông góc với cả ( ) ∆ và ( ) ∆ '
• Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau ( ) ∆ và ( ) ∆ '
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó
Phương pháp :
Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b Tính khoảng cách từ b
đến mp(P)
Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng Khoảng cách giữa
hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm
Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
Cách 1: Khi a b ⊥
• Dựng một mp P ( ) ⊃ b P , ( ) ⊥ a tại H
• Trong (P) dựng HK ⊥ b tại K
• Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b
Cách 2:
• Dựng ( ) P ⊃ b P , ( ) / / a
• Dựng a ' = hch a( )P , bằng cách lấy M ∈ a
dựng đoạn MN ⊥ ( ) α , lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a
• Gọi H = ∩ a ' b , dựng HK / / MN
HK
⇒ là đoạn vuông góc chung cần tìm
Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,AB BC a AD = = , = 2 a,
( SCD )
d) Tính các khoảng cách : d A SCD ( , ( ) ) ; d CD SAB ( , ( ) ) ; d SD AC ( , )
Bài 2 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a.
a) Tính đường cao của hình chóp
b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy
c) Tính d(O, (SCD))
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC
ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện
Trang 5Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCDcó AD = 6, AB = 3 3 Lấy điểm M trên cạnh ABsao cho MB = 2 MB
d) Xác định vị trí điểm P SM ∈ sao cho ( ( · PNC ) ( , SMC ) ) = 600
(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM)
Bài 4 (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC đều cạnh a I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC)
a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC)
vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC)
(α) khi SA = 2a
e) Gọi K là giao điểm của SA và OH Chứng minh AK.AS không đổi Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ∆SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD)
b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC
Bài 6 Cho ∆OAB cân tại O OA = OB = a , · AOB = 1200 Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với
(OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho AM = x BN , = y
2
3a Tính x, y ( x < y )
Bài 7 (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt
, 0
AI = x < < x a
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích
ấy nhỏ nhất
Bài 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a SA a = , = 2 Gọi M N P , , lần lượt là trung điểm của
Bài 9 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a AA = , ' 2 , = a
Bài 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng
(KHỐI B NĂM 2009).
Trang 6Bài 11. Cho hình chóp S.ABCDcĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D,AB = AD = 2 , a CD a = , ; góc giữa hai mặt phẳng ( SBC )và ( ABCD )bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt
Bài 12 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuơng gĩc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH = Gọi CM là đường cao của tam
(KHỐI D NĂM 2010)
Bài 13 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' 'cĩ AB a= , gĩc giữa hai mặt phẳng ( A BC ' ) và
( A B C ' ' ' ) Tìm điểm M cách đều bốn điểm G A B C , , , tính khoảng cách từ M đến các điểm đĩ theo a
(KHỐI B NĂM 2010)
Bài 14 Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCDlà hình vuơng cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm
Bài 15 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng , AB BC a AA = = , ' = a 2
(KHỐI D NĂM 2008)
Bài 16 Trong mặt phẳng ( ) P cho nửa đường trịn đường kính AB = 2 R và điểm C thuộc nửa đường trịn đĩ sao cho AC = R Trên đường thẳng vuơng gĩc với ( ) P tại A lấy điểm S sao cho ( (·SAB , SBC) ( ) ) =600
ABC