Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.. b Cho tam giác ABC có trung tuyến AM... K là trung điểm của AB.. Đường thẳng vuông góc với AB tại K cắt BD tại O1
Trang 1Phòng GD-ĐT Hoài Nhơn
Trường THCS Hoài Châu Bắc
Đề chính thức
Bài 1 ( 2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để n + 19 và n – 27 là số chính phương
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 2x 2 + y 2 + 1 = 2xy + 2x
Bài 2 ( 2,5 điểm)
a) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 4a 9b 16c
b c a a c b a b c b) Giải phương trình : x 2 + 2y 2 – 2xy + 2x + 2 = 0
Bài 3 ( 1 điểm):
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thỏa: a + b + c = 2
Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2
Bài 4 ( 2 điểm):
Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng 1 1 2
AB CD MN
b) Cho S AOB = 2010 2 (đơn vị diện tích); S COD = 2011 2 (đơn vị diện tích) Tính S ABCD
Bài 5 ( 2 điểm):
a) Cho tam giác ABC, lấy M, N lần lượt trên AB, BC sao cho AM = BN và MN //
AC Chứng minh: MN bc
a c
(với AB = c; BC = a; AC = b).
b) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại B / và C / Chứng minh rằng: AB/ AC/ 3
AB AC
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn : TOÁN 8
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài 1 ( 6 điểm):
a) (3 điểm): Giả sử mười số đã cho viết thành một hàng là a1, a2, a3, , a10
Xét mười tổng: a1 + 1, a2 + 2, a3 + 3, , a10 + 10
Giả sử mười tổng trên không có hai tổng nào có chữ số tận cùng giống nhau, tức là
10 tổng có tương ứng 10 chữ số tận cùng khác nhau, suy ra tổng tất cả các chữ số tận cùng của chúng là 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45, suy ra tổng:
S = a1 + 1 + a2 + 2 + a3 + 3 + + a10 + 10 có tận cùng là 5, điều này vô lí
vì tổng S = a1 + 1 + a2 + 2 + a3 + 3 + + a10 + 10 = 110 có tận cùng là 0
Vậy điều giả sử là sai => đpcm
b) ( 3 điểm): x, y nguyên tố => z > 2 => z lẻ => x, y phải khác tính chẵn lẻ
Vai trò x, y như nhau, nên giả sử x lẻ, y chẵn => y = 2
Khi đó xy + yx = z x2 + 2x = z
Nếu x = 3 thì ta có 32 + 23 = 17 thoả mãn
Nếu x 3 thì ta có x = 3n + 1 với n nguyên dương và n > 1
Ta có 2x = ( 3 – 1 )x = 3t – 1 ( vì x lẻ ) với t nguyên dương và t > 1
Do đó z = x2 + 2x = 3n + 1 + 3t – 1 = 3( n + t ) là một hợp số ( vì n + t >1), không thoả mãn Vậy (x; y; z) là ( 3; 2; 17), (2; 3; 17)
Bài 2 ( 7 điểm):
c b c a b a c b a b
a
c c
a
b c
b
a
Đặt x = a + b, y = b + c, z = a + c
z y x z y x
2
1
2
9 6 3 2
1 3
2
1
y
z z
y x
z z
x x
y y x
P
2
3
, Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Vậy Min P = 23 , khi a = b = c
b) ( 4 điểm) : Giải phương trình : 3 2 1 3
x
ĐK x –1 Đặt a = 3 x 2, b = x 1 0 Ta có hệ phương trình:
3 3
2
a b a
Từ (1) => b = 3 – a , thay vào (2) và biến đổi được :
( a – 1)( a2 + 6) = 0 a = 1 , thoả mãn b = 3 – a 0
a = 1 3 x 2 1 x 3 , thoả mãn điều kiện
Trang 3Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.
Bài 3 ( 4 điểm): Gọi H là giao điểm của hai đường chéo.
K là trung điểm của AB Đường thẳng vuông góc
với AB tại K cắt BD tại O1, AC tại O2 Ta có :
O1B = R1, O2A = R2
1
4 2 1
.
a HB HB
a a
R HB
KB AB
B O
2
4 2 2
.
a HA HA
a a
R HA
KA AB
A O
Từ (1) và (2) suy ra 4( HA2 + HB2) =
2
2
2 1
4 1 1
R R
2
2
2 1
4 1 1
R R a
2
2
2 1
4 1 1
R R
2
2 1 2
1 1 4
R R
Bài 4 ( 3 điểm):
Đặt ACB = và dt CMN = S
Thì S = 12 (CM + CN).r CM CN r (1)
( theo bđt Côsi )
Mặt khác S = 21 CM.CN.Sin
CM.CN = Sin2S (2)
Từ (1) và (2) => S
Sin
S
S Sin r
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CM = CN MN OC
Cách giải khác:
Giả sử đường thẳng qua O vuông góc với OC cắt CA, CB lần lượt tại M’, N’ Không mất tính tổng quát, giả sử CM CN
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M, N trên M’N’ thì ta có
1 '
'
CN
CM ON
OM MK
MI
S
S
N
ON
M
OM
SOM’M SON’N SCMN SCM’N’
Do đó S = SCMN đạt GTNN khi
CM = CN ( M M’, N N’) MN OC
Trang 4
-Phòng GD Hoài Nhơn
Họ và tên :………
Học sinh lớp : 9
Trường THCS ……….
THI HSG CẤP HUYỆN Năm học 06 – 07 Môn thi : Toán 9
(Thời gian làm 150phút )
GT2
"
Bằng số Bằng chữ Giám khảo 1 Giám khảo 2
* Ghi chú : Học sinh làm bài ngay vào tờ giấy thi này
A TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 6 điểm )
Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng đầu câu mà em cho là đúng nhất :
Câu 1 : Rút gọn biểu thức :
A = x 2 x 1 : ( x 1 1) với điều kiện x 1 và x 2 ta có :
1 ( nếu x 1 > 1 ) 1 ( nếu x > 2 )
-1 ( nếu x 1 < 1 ) -1 ( nếu 1 x < 2
c Cả a và b đúng d Cả a và b đều sai e A có giá trị khác
Câu 2 : Số dư của phép chia 20052005 cho 11 là :
a 1 b 4 c 5 d 7 e Tất cả đều sai
Câu 3 : Cho A = 22
1
x x x
Giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của A là :
a –1 và 2 b 1 và 2 c 1 và 3 d 2 và 3 e Giá trị khác
Câu 4 : Tập nghiệm của phương trình : 2
6 x x 2 x 6x 13 là :
a 2; 3 b 2;3 c 2; 3 d 2 nghiệm số thực khác
e Phương trình vô nghiệm
Câu 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c , AC = b và đường phân giác trong góc
A là AD = d Ta có đẳng thức đúng là :
Trang 5a 1 1 1
b c d b 1 1 2
b c d c 1 1
2
d
b c d
e Tất cả đều sai
Câu 6 : Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c nội tiếp đường tròn bán kính R
Nếu R (b c ) = a bc thì tam giác ABC là :
a Tam giác vuông b Tam giác cân c Tam giác vuông cân
d Tam giác nhọn e Tam giác đều
B TỰ LUẬN ( 14 điểm ) Bài 1 : ( 7 điểm)
a) Cho các số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = b a c a b c a c b
b) Giải phương trình : 3 2 1 3
x
Học sinh không được làm bài vào ô cắt phách
Bài 2 : ( 3 điểm):
Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a Gọi R 1 , R 2 lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ABD Chứng minh rằng 2
2
2 1 2
1 1 4
R R
Bài 3 : ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6 cm , AC = 8 cm > Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong , M là trung điểm của BC Tính số đo góc BIM ?
BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Trang 6………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài 1 ( 6 điểm):
a) (3 điểm): Giả sử mười số đã cho viết thành một hàng là a1, a2, a3, , a10
Trang 7Xét mười tổng: a1 + 1, a2 + 2, a3 + 3, , a10 + 10.
Giả sử mười tổng trên không có hai tổng nào có chữ số tận cùng giống nhau, tức là
10 tổng có tương ứng 10 chữ số tận cùng khác nhau, suy ra tổng tất cả các chữ số tận cùng của chúng là 0 + 1 + 2 + 3 + + 9 = 45, suy ra tổng:
S = a1 + 1 + a2 + 2 + a3 + 3 + + a10 + 10 có tận cùng là 5, điều này vô lí
vì tổng S = a1 + 1 + a2 + 2 + a3 + 3 + + a10 + 10 = 110 có tận cùng là 0
Vậy điều giả sử là sai => đpcm
b) ( 3 điểm): x, y nguyên tố => z > 2 => z lẻ => x, y phải khác tính chẵn lẻ
Vai trò x, y như nhau, nên giả sử x lẻ, y chẵn => y = 2
Khi đó xy + yx = z x2 + 2x = z
Nếu x = 3 thì ta có 32 + 23 = 17 thoả mãn
Nếu x 3 thì ta có x = 3n + 1 với n nguyên dương và n > 1
Ta có 2x = ( 3 – 1 )x = 3t – 1 ( vì x lẻ ) với t nguyên dương và t > 1
Do đó z = x2 + 2x = 3n + 1 + 3t – 1 = 3( n + t ) là một hợp số ( vì n + t >1), không thoả mãn Vậy (x; y; z) là ( 3; 2; 17), (2; 3; 17)
Bài 2 ( 7 điểm):
c b c a b a c b a b
a
c c
a
b c
b
a
Đặt x = a + b, y = b + c, z = a + c
z y x z y x
2
1
2
9 6 3 2
1 3
2
1
y
z z
y x
z z
x x
y y x
P
2
3
, Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Vậy Min P = 23 , khi a = b = c
b) ( 4 điểm) : Giải phương trình : 3 2 1 3
x
ĐK x –1 Đặt a = 3 x 2, b = x 1 0 Ta có hệ phương trình:
3 3
2
a b a
Từ (1) => b = 3 – a , thay vào (2) và biến đổi được :
( a – 1)( a2 + 6) = 0 a = 1 , thoả mãn b = 3 – a 0
a = 1 3 x 2 1 x 3 , thoả mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3
Bài 3 ( 4 điểm): Gọi H là giao điểm của hai đường chéo.
K là trung điểm của AB Đường thẳng vuông góc
với AB tại K cắt BD tại O1, AC tại O2 Ta có :
O1B = R1, O2A = R2
1
4 2 1
.
a HB HB
a a
R HB
KB AB
B O
2
4 2 2
.
a HA HA
a a
R HA
KA AB
A O
Từ (1) và (2) suy ra 4( HA2 + HB2) =
2
2
2 1
4 1 1
R R
2
2
2 1
4 1 1
R R a
2
2
2 1
4 1 1
R R
2
2 1 2
1 1 4
R R
Trang 8Bài 4 ( 3 điểm):
Đặt ACB = và dt CMN = S
Thì S = 12 (CM + CN).r CM CN r (1)
( theo bđt Côsi )
Mặt khác S = 21 CM.CN.Sin
CM.CN =
Sin
S
2
(2) Từ (1) và (2) => S
Sin
S
Sin
r S
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CM = CN MN OC
Cách giải khác:
Giả sử đường thẳng qua O vuông góc với OC cắt CA, CB lần lượt tại M’, N’ Không mất tính tổng quát, giả sử CM CN
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M, N trên M’N’ thì ta có
1 '
'
CN
CM ON
OM MK
MI
S
S
N
ON
M
OM
SOM’M SON’N SCMN SCM’N’
Do đó S = SCMN đạt GTNN khi
CM = CN ( M M’, N N’) MN OC