Bất Đẳng Thức THCS

Bất đẳng thức dạng cơ bản Trong khi giải các bài tập liên quan tới bất đẳng thức theo tôi thì ta cần quan tâm tới hai việc nh sau: 1.Nhận định dạng của bất đẳng thức 2.Các công cụ ch

Bất đẳng thức dạng cơ bản

Trong khi giải các bài tập liên quan tới bất đẳng thức theo tôi thì ta cần quan tâm tới hai việc nh sau:

1.Nhận định dạng của bất đẳng thức

2.Các công cụ chứng minh bất đẳng thức

Nếu ta làmtốt cả 2 công việc này công việc chứng minh bất đẳng thức sẽ trở nên

dễ dàng hơn.Sau đây là các phần:

1.Nhận định dạng của bất đẳng thức

1.1: Các bài toán tổng phân thức

1.1.1: Có mẫu là tổng

Ph ơng Pháp 1

Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức 2 2 2 2 ( )2

3

n n

+ + + +

+ + + +

Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn: abc=1.Tìm GTNN của:

1 1 1

P

Giải:

P

ab bc ca a b c abc ab bc ca a b c

Bài2:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của:

2 2 2 1

P

Giải:

P

Bài3:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=1.Chứng minh rằng :

1

P

Giải: Ta có :

( ) ( ) ( 1 ) 1

Tơng tự ,cộng từng vế ta đợc:

P 14 ab bc 14 ab ac 14 ac bc 14(a b c) 14

Bài4:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c ≤ 3.Chứng minh rằng :

2 12 2 2009 670

a b c +ab bc ca ≥

Giải: Ta có:

( )2

1

a b c +ab bc ca≥ a b c ≥

Mà

2007

670

ab bc ca

a b c ab bc ca

+ +

 Nhận Xét: Sử dụng bất đẳng thức 1 1 4 &1 1 1 9

a b+ ≥ a b a b c+ + ≥ a b c

Là hay.Nó không chỉ sử dụng cho tử là 1 mà còn sử dụng cho là số hay biến vẫn

đợc.Riêng biến có hai cách đa tử về 1:

1.Chia mẫu cho tử đợc tử là 1

2.Đặt nhân tử ra ngoài: A A1

B = B vậy tử đã là 1 Việc sử dụng thuận hay đảo bất đẳng thức phụ thuộc vào dấu của bài toán.

Ph ơng Pháp 2

Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-Si

Bài1:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng:

2

Giải:

( )

3

4 3

4

4 3

3

3 1

2

a b c ab bc ca abc

+

Bài2:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a2+ + =b2 c2 abc.Tìm GTLN:

A 2a 2 b 2 c

a bc b ca c ab

Giải:

2

A

ab bc ca a b c

 Nhận Xét: Với dạng này chỉ có đặc điểm của bài toán tiến tới bài bằng cửa sau

đối với chứng minh lớn hơn.Còn dạng chúng minh bé hơn thì sẽ đợc nói rõ ở phần 1.1.2

Ph ơng Pháp 3

Dùng Cô-Si thêm bớt (Quen thuộc)

Ph ơng Pháp 4

Dùng Cô-Si ngợc dấu (Quen thuộc)

Ph ơng Pháp 5

Tơng quan đại lợng (Quen thuộc)

Ph ơng Pháp 6

3

n n

+ + + +

+ + + +

1.1.2 Có mẫu là tích hoặc đ a đ ợc về tích sau biến đổi ban đầu

Ph ơng Pháp 1

Sử dụng hai lần Cô- Si

Bài2:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của:

1 2 1 2 1 2

P

Giải:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3

P

 Nhận Xét: Phơng pháp này giống phơng pháp 1 ở phần trớc chỉ khác phơng pháp này là gốc rễ ,cội nguồn của phơng pháp1 Phơng pháp này giúp ta có thể ghép cộng lại ở mẫu mà không phải đổi chiều.

Ph ơng Pháp 2

Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si ở mẫu và cả phân thức

Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn: a+b+c ≤ 3.Chứng minh rằng:

2 2 2 3

2

Giải: Ta có : ( )3 2 ( )2

a b c

ab bc ca

+ +

( ) ( )

1

a c a b

a ≤ a ab bc ca =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a c a b b c b a c a c b

Bài 2:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :

+ +

Giải: Ta có :

1

a b

+

Tơng tự rồi cộng lại ta có:

2

a b c

Bài3:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=6.Chứng minh rằng :

3 3 3 2

Giải: Ta có:

3 ( ) ( 2 ) 2

2 3

b b

+

+ +

Tơng tự rồi cộng lại ta có:

VT

+ + + Sau đó dùng Cô-Si ngợc dấu.

 Nhận Xét: Đây là cách làm tuy đơn giản nhng hiệu quả, hiện nó có mặt trong nhiều bài toán khó, chỉ sử dụng bất đẳng thức Cô-Si mà ta tạo ra rất nhiều sự thần kì.Sau đây là một số đoán định về việc khi nào sử dụng phơng pháp này cho cả mẫu cả tử hay riêng mẫu của phân thức:

 Nếu chứng minh ≤ :

-Với mẫu:Mẫu là vế trái của bất đẳng thức:

2

a b

ab

+ ≥

-Với cả phân thức : áp dụng

2

a b

ab

+ ≥ bình thờng.

 Nếu chứng minh≥:

-Với mẫu:Mẫu là vế phải của bất đẳng thức:

2

a b

ab

+ ≥

-Với cả phân thức : áp dụng

2

a b

ab

+ ≥ bình thờng.

1.2: Các bài toán tích phân thức

Ph ơng Pháp 1

Dùng bất đẳng thức Cô-Si cho tử để khử mẫu

Bài 1:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :

8

Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 4 ( ) (2 ) ( )

3b+ +3c 2a= + + + +b a c a 2 b c+ ≥4 b c+ c a b a+ +

Tơng tự ta suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 4

3

4

8 4

8 8

b c c a b a c a a b b c a b c a b c

a b b c c a

a b b c c a

a b b c c a

=

=

1.3: Các bài toán cực trị của biểu thức không chứa phân thức có điều kiện

Ph ơng pháp chung

Cần xác định và giải 1 bất phơng trình có ẩn là biểu thức cần tìm cực trị

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của xy biết x,y là nghiệm của phơng trình:

x4+y4 = +3 xy(1 2− xy)

Giải:

2

3

4

Bài 2: Cho x,y,z dơng thoả mãn xyz x y z≥ + + +2.Tìm GTNN của x+y+z

Giải: Vì theo bất đẳng thức( )3

27

a b c

abc

+ +

≥ nên ta có

3

2 3

x y z

xyz x y z

+ +

( ) ( )

3

2 3

3

t

 ữ

 

2.Các công cụ chứng minh bất đẳng thức

Đôi lúc khi ta đã đi đúng hớng nhng đến một lúc không giải tiếp đợc nữa bằng các phơng pháp đã nêu, không chỉ nh vậy đôi lúc ngời ra đề còn để nguyên bài toán làm một bài toán riêng.Cách giải ở đây là nắm đợc một số công cụ giải sau đây:

2.1:Đ a về đồng bậc

Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn: a+b+c ≤ 3.Chứng minh rằng:

2 2 2 3

2

Giải: Ta có : ( )3 2 ( )2

a b c

ab bc ca

+ +

( ) ( )

1

a c a b

a ≤ a ab bc ca =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a c a b b c b a c a c b

 Nhận Xét: Phơng pháp này giúp ta sau khi giải đến(1) thì tiếp tục giải đợc bằng cách suy luận khác so với trên

2.2:Đánh giá mẫu

Bài 1:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :

+ +

Giải: Ta có :

1

a b

+

Tơng tự rồi cộng lại ta có:

2

a b c

 Nhận Xét: Phơng pháp này giúpta sau khi phân tích xong ta hoàn toàn giải

đ-ợc mà không càn phải suy luận nh trên.

2.3:Đ a về đồng biến

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dơng thay đổi thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

2 2 2

ab bc ca

a b b c c a

+ +

( Đề thi vào Chuyên Phan Bội Châu)

Giải: Ta có:

Mà theo bất đẳng thức Cô-Si:

( ) ( )

2

2

2

9 2

a ab a b

b bc b c

c ca c a

ab bc ca

+ +

+ +

+ +

Đặt:

3

−

Bài 2:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :

8

Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) 4 ( ) (2 ) ( )

3b+ +3c 2a= + + + +b a c a 2 b c+ ≥4 b c+ c a b a+ +

Tơng tự ta suy ra:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 4

4

8

b c c a b a c a a b b c a b c a b c

a b b c c a

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

4

8 8

a b b c c a

a b b c c a

 Nhận Xét: Bài 1 này chỉ có thể giải bằng cách này nên ta phải đặc biệt lu tâm bởi dạng này khác với tất cả các dạng trên.ý tởng giải là dùng các bất đẳng thức cơ bản biến đổi bài toán về cùng biến rồi sau đó đặt ẩn phụ và giải quyết dễ dàng.Đòi hỏi ngời giải toán phải có hiểu về các bất đẳng thức cơ bản.Việc chọn nhân tử chung nào là vô cùng quan trọng, ta có thể giữ nguyên 1 trong các hạng

tử làm nhân tử chung Rồi dùng giả thiết và nhân tử chung để biễu diễn các nhân

tử còn lại theo nhân tử chung dựa vào quan hệ bất đẳng thức.Lu ý quan tâm tới chiều của bất đẳng thức.Còn với bài 2 với cách này ta đã làm giàu thêm các

ph-ơng pháp suy luận với bất đẳng thức.Đây là phph-ơng pháp khử mẫu hiệu quả.

2.4 Ph ơng pháp giao nhiệm vụ

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dơng thay đổi thoả mãn ab+bc+ca =1.Chứng minh

rằng :

3

P

Giải: Ta sẽ thay trực tiếp và đa bất đẳng thức tơng đơng với:

3

2 2

2

3

1

a b

ab

c + ≥

+ công việc chứng minh này đơn giản.

 Nhận Xét: Qua bài toán naỳ cho ta thấy đợc sức mạnh của nó.Nó chỉ có thể dùng khi các biến đối xứng với nhau.Qua phơng pháp này ta có thể xem nh đây

là chiêu cuối cùng trong hệ thống các phơng,bởi nó không cần nhiều kĩ năng bất

đẳng thức

3.Một số bất đẳng thức và đẳng thức quan trọng

3.1:Đẳng thức

3.1.1:

( ) ( ) ( ) ( )

2

a b a c a ab bc ca a a b c bc

a b c n na bc a b a c

3.1.2:

( ) ( 2 2 2) 3 3 3 2 2 2 2 2

a b c a+ + + +b c =a + + +b c a b b c c a ab+ + + +bc +ca

3.1.3:

Đôi khi một bài toán mà không cho điêù kiện ta cũng có thể tìm mối liên hệ giữa các biến và xem đó nh điều kiện của bài toán(xem thêm Tơng quan đại lợng)

Ngoài ra còn phải nhớ:8 hằng đẳng thức đáng nhớ,hằng đẳng thức tổng quát

và kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.

3.2:Bất đẳng thức

3.2.1

&

a b+ ≥ a b a b c+ + ≥a b c

+ + + và bất đẳng thức tổng quát

3

n n

+ + + +

+ + + +

3.2.2

( )2

3

a b c

ab bc ca

+ +

và hệ quả 2 2 2

2

3

n

a b c n+ + = ⇒ ≥ab bc ca+ +

( )2

3

ab bc ca n+ + = ⇒ a b c+ + ≥ n

3.2.3

( )3

27

a b c

abc

+ +

≥

3.2.4

(a b) 1 1 4 &(a b c) 1 1 1 9

3.2.5

Ta cũng có thể tạo ra bất đẳng thức tuỳ vào điều kiện bài toán chẳng hạn nh: cho a+b+c=4 và a,b,c dơng suy ra 0≤ + ≤a b 4 từ đây ta lại có thể suy ra :

( )

Ví dụ trên cho ta thấy sự kì diệu của nó ,nó chủ yếu dựa trên nhận xét đôn giản

A n≤ ⇒ A n− ≤ A n≥ ⇒ A n− ≥ sự đơn giản đó sẽ phát huy sức mạnh khi

nó nhân thêm với 1 bất đẳng thức khác cùng biến ta sẽ tạo ra 1 bất đẳng thức mới giữa hai biến đồng biến không đồng bậc nh ví dụ đã nêu.Đây còn là hớng đi của các bài bất đẳng thức có biến số xác định (tập đóng)Thật là tuyệt vời!

4.Những suy nghĩ về các ph ơng pháp

4.1 Nhận xét chung

Sau khi đọc các bài trên thì các bạn đã có kiến thức khá chắc về cácphơng pháp

mà tôi đã nêu Tại sao vậy? Bởi vì tôi đã sắp xếp đợc hai phần tách biệt tạo cho ta hai hớng suy luận dẫn tới kết quả mà chính PGS.TS Trần Văn Hạo đã gới thiệu trong tác phẩm “Rèn luyện t duy qua việc giải toán” là: 1.Nhìn thấy kết luận bạn sẽ phải biết mình sẽ phải làm gì?

2.Nhìn giả thiết biết đợc hệ quả tất yếu gì sẽ xẩy ra?

Qua đó kiến thức ta sẽ chắc chắn hơn bằng hai con đờng suy luận trên cùng một bài toán

4.2 Trình tự giải bất đẳng thức

Trình tự đẻ giải một bài bất đẳng thức gồm 3 bớc cơ bản chính sau:

1 Phân tích đề bài biến đổi nếu có thể hoặc nếu cần.Đổi biến nếu cần.(Lu ý tới chơng 3)

2 Giải các bất đẳng thức đã giới thiệu ở trên(Lu ý tới chơng 1)

3.Tiến hành giải

4.3 Đối mặt với các điều kiện bất bình thuờng (lạ) không mang tính cơ bản

Nh ta đẫ biết các điều kiện cơ bản mà các bài toán bất đẳng thức hay cho nh là : a+b+c=1;abc=1;ab+bc+ca=1.Còn nếu cho các điều kiện lạ ta phải làm tuần tự các bớc nh sau

1.Phân tích nó ra dạng tổng các phân tử,thêm bớt các điều kiện để cho ra dạng

mà có các đơn vị cấu tạo là các đơn vị cấu tạo có ở biểu thức cần chứng minh 2.Nếu không ổn ở 1 ta phải nghĩ ngay tới đó là một bài tập mà ta cần đặt ẩn phụ

đ giả thiết về dạng cơ bản

Sau đây là một ví dụ :

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dơng thay đổi thoả mãn: x(x+y+z)=3yz.

Chứng minh rằng :

( ) (3 )3 ( ) ( ) ( ) ( )3

x y+ + +x z + x y y z z x+ + + ≤ y z+

Giải:Đặt a=x+y,b=x+zsuy ra a,b dơng và a-b=y-z Khi đó x(x+y+z)=3yz tơng

đ-ơng (x+y)(x+z)=4yz hay ab= 4yz

Ta có:

4

(x+y)(x+z)=ab=4yz≤ y z+ ⇒3 x y y z z x+ + + ≤3 y z+

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

 Nhận Xét: Bài trên ta có thể thấy nó thừa kế nhiếu phơng pháp đó là

Phân công nhiệm vụ, biến đổi giả thiết,sử dụng bất đẳng thức quen thuộc.

-