Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H.. b Chứng minh BEFC là hình thang.. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật đư
Trang 1Bài 6: a) Xét ∆ ABC và ∆ HBA, có:
Góc A = góc H = 900; có góc B chung
⇒∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc)
b) áp dụng pitago trong ∆ vuông ABC
ta có : BC = AB2 +AC2 = 152 +202 = 625= 25 (cm)
vì ∆ ABC ~ ∆ HBA nên
15
25 20 15
=
=
=
=
HA HB
hay BA
BC HA
AC HB AB
25
05
20 = (cm)
25
15
15
= (cm)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
2
25
SAHM =
2
1 AH HM =
2
1 12 3,5 = 21 (cm2)
- Vẽ đúng hình: A
B H M C
1 đ
1 đ
1 đ
1 đ
1đ
1 đ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2010-2011 Mụn thi: Toỏn lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phỳt
Trang 2Bài 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng biểu thức sau đây luôn dương với mọi x trong tập xác định:
P = ( 2)2
2
1- x 1- x 1+ x
1+ x 1- x 1+ x
b) Cho đa thức bậc hai: P(x) = ax2 + bx + c
Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000
Bài 2: (5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) x-11 x-12 x-33 x-67 x-88 x-89+ + = + +
b) x8 - 2x4 + x2 - 2x + 2 = 0
Bài 3: (5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 b) Tìm giá trị nguyên của x để A chia hết cho B
Biết A = 10x2 - 7x - 5 và B = 2x - 3
Bài 4: (5 điểm)
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H.
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang Có thể tìm được vị trí của H
để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không?
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.
Trang 3Đáp án
Bài 1: (5 điểm)
a) Chứng tỏ rằng biểu thức sau đây luôn dương với mọi x trong tập xác định
( 2.5 điểm )
* Ta có M ≠ 0 <=> 1 0 1
Vậy tập xác định của biểu thức B là x ≠ ±1 (0,5 điểm)
* Đặt M =
1- x 1+ x + x - x 1- x 1+ x
Phân tích tử số và rút gọn đúng mỗi ngoặc
đơn trong ngoặc vuông Ngoặc đơn thứ nhất = (1 + x)2; ngoặc đơn thứ hai = (1
- x)2 (0,5 điểm)
Ta có P = ( ) ( ) ( ) ( )
2
: 1+x 1-x = = >0 (x ±1)
điểm)
Vì 1 + x2 > 0 với mọi giá trị của x
b) (2,5 điểm)
Vì P(0) = 26 suy ra c = 26 khi đó P(x) = ax2 + bx + 26
(0,5 điểm)
P(1) = 3 do đó ta có a + b + 26 = 3 hay a + b = -23 (1)
(0,5 điểm)
P(2) = 2000 nên ta có 4a + 2b + 26 = 2000 suy ra 2a + b = 987 (2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra a = 1010 và b = - 1033
(0,5 điểm)
Kết luận các giá trị phải tìm của a;b;c là: a = 1010; b = - 1033; c = 26
(0,5 điểm)
Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình sau: ( mỗi phần cho 2.5 điểm )
a) Phương trình tương đương với
(0,5 điểm)
Quy đồng suy ra: 100 100 100 100 100 100
(0,5 điểm)
Chuyển vế đưa về dạng: (x-100)( 1 1 1 1 1 1
89 88 67 33 12 11+ + − − − ) = 0 (0,5 điểm)
Lập luận trong ngoặc khác 0 suy ra x-100 = 0
(0,5 điểm)
Tìm được x = 100 và trả lời
(0,5 điểm)
b) Biến đổi phương trình về dạng
Trang 4(x8 – 2x4 + 1) + ( x2 - 2x +1) = 0
(0,5 điểm)
Hay (x4 – 1)2 + ( x – 1)2 = 0
(0,5 điểm)
Lập luận từng ngoặc không âm chỉ ra dấu bằng khi x = 1 (1 điểm)
kết luận nghiệm x = 1
(0,5 điểm)
Bài 3: (5 điểm) ( mỗi phần cho 2.5 điểm )
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Biến đổi biểu thức:
Q = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x4 + 2x3 +x2) + 2( x2 + x) + 1
(0,5 điểm)
= (x2 + x)2 + 2 (x2 + x) + 1 = (x2 + x + 1 )2
(0,5 điểm)
Lập luận vì Q > 0 với mọi x vì vậy Q nhỏ nhất khi x2 + x + 1 nhỏ nhất
(0,5 điểm)
Chỉ ra x2 + x + 1 nhỏ nhất bằng 3
4 đạt khi x = 1
2
− (0,5 điểm)
Vậy Q min = 9
16 đạt khi x = 1
2
− (0,5 điểm)
Biến đổi A = 5x( 2x – 3) +4( 2x – 3) +7
(0,5 điểm)
Lập luận với x nguyên suy ra 5x(2x-3) + 4(2x-3) là số nguyên và chia hết cho 2x-3 Suy ra để A chia hết cho B thì 7 chia hết cho B
(0,5 điểm) Hay 2x-3 là ước của 7
Ư(7) = -7; -1; 1 ;7
(0,5 điểm)
Cho 2x-3 bằng Ư(7) suy ra x = -2; 1; 2; 5 và trả lời (1 điểm)
Bài 4: (5 điểm)
- Không cho điểm vẽ hình và ghi GT, KL nhưng nếu vẽ hình sai không chấm bài.
a) ( 1 điểm)
Trang 5
F E
D I
C H
B
A
- Chỉ ra vì E đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của EH
do đó ta có: ·EAI =IAH· tương tự ta có FAD DAH· =· mỗi góc cho 0,25 điểm)
=> (0,5 điểm)
Cộng vế với vế suy ra · 0
180
EAF = suy ra ba điểm E;A;F thẳng hàng (0,5 điểm)
b) (2,5 điểm)
* Chứng minh được · · · · 0
EBC FCB+ = ABC ACB+ = (0,5 điểm)
Suy ra EB // FC suy ra tứ giác BEFC là hình thang
(0,5 điểm)
*Giả sử tứ giác BEFC là hình thang vuông suy ra BEF· =900suy ra ·AHB=900
hay AH là đường cao
Kết luận vị trí H
(0,5 điểm)
* Giả sử tứ giác BEFC là hình bình hành suy ra BE=BH=FC=CH suy ra H là trung điểm BC kết luận
(0,5 điểm)
* Giả sử tứ giác BEFC là hình chữ nhật suy ra · 0
90
EBC= suy ra
45
EBA ABC= = suy ra tam giác ABC vuông cân điều này không xảy ra
(0,5 điểm) c) (1,5 điểm)
Lấy H bất kì thuộc cạnh BC gần B hơn Ta có SEFH = 2SAIHD (vì tứ giác AIHD là hcn)
(0,25 điểm)
Dựng hình chữ nhật HPQD bằng hình chữ nhật AIHD
Suy ra SEFH = SAIPQ Dễ dàng chứng minh được SHIB = SHMP suy ra SEHF=
SABMQ<SABC
Tương tự với H gần C hơn
(0,5 điểm)
Khi H là điểm chính giữa BC thì SEHF=SABC
(0,5 điểm)
Vậy SEHF≤ SABC dấu bằng xảy ra khi HB=HC
(0,25 điểm)
Trang 6D
C Q
M P
H
B
A
E