Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m.. Chứng minh rằng: B Câu II.. 2,0 điểm: Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán
Câu I (5,0 điểm):
1) Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tìm giá trị lớn nhất của 1 2
2 2
x x P
+
= + + + khi m thay đổi. 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thõa mãn 1 1 1
a+ =b c Chứng minh rằng: A= a2 +b2 +c2
là số hữu tỉ
(b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt Chứng minh rằng:
B
Câu II (5,0 điểm):
1) Giải phương trình:
10
+ =
− ÷ + ÷
2) Giải hệ phương trình:
2
2 3
1 4
x
y
+ + + =
+ + + =
Câu III (2,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC,
AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính BPE·
Câu IV (4,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O ∉ AB) P là điểm
di động trên đoạn thẳng AB (P ≠A, B và khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N ≠P)
1) C/m rằng: ·ANP= BNP· và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn 2) C/m rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di động
Câu V (4,0 điểm):
1) Cho a1, a2, a3, a45 là 45 số tự nhiên thỏa mãn a1< a2< a3< <a45 ≤130 Đặt dj = aj+1 – aj, (j = 1,2, 44) Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu dj xuất hiện ít nhất 10 lần
2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a2 +b2 + b2 +c2 + c2 +a2 = 2011
Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2011
b c+c a +a b ≥
_Hết _
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN
Trang 32,5đ Ta có
2
' (m 1) 0, m
∆ = − ≥ ∀ nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
Theo định lí viet, ta có x1 +x2 = 2 ,m x x1 2 = 2m− 1, suy ra 4 2 1
4 2
m P
m
+
=
+ 2
2
(2 1)
4 2
m
Max P m
−
1 2
m=
2a)
1,5đ
Từ giả thiết suy ra 2ab− 2bc− 2ca= 0
Suy ra A= (a b c+ − ) 2 = + −a b c là số hữu tỉ
2b)
1,0đ Đặt
x y y z x z
1 1 1
.
a b+ = c
Áp dụng câu 2a) suy ra 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
1)
2,5đ Đk: x≠ ± 1. Phương trình tương đương với
2
Đặt
2 2
2 , 1
x t x
=
− ta được phương trình
0
t − −t = ⇔ =t hoặc 2
3
t = −
Với 5,
3
t = ta được
2 2
1 3
x
x =
− (vô nghiệm)
Với 2,
3
t = − ta được
2 2
1 3
x
x = −
− suy ra
1 2
x= ±
2)
2,5đ
Đk: y≠ 0. Hệ tương đương với
2 2
3 3
4
4.
x
+ + + =
Đặt
1 ,
y x v y
= +
=
ta được hệ
1.
v
+ − = − + = =
− = + − = =
Với 2
1,
u v
=
=
ta được
1 2
1 1.
1
x
x y
y
+ =
=
(thoả mãn điều kiện)
Kẻ EF ⊥ AC tại F, DG⊥BC tại G
Theo giả thiết S(ADPE) =S(BPC)
⇒S(ACE) =S(BCD)
Mà AC =BC⇒EF =DG và µA C= µ
Suy ra ∆AEF = ∆CDG⇒ AE CG=
Do đó ∆AEC= ∆CDB c g c( − − ⇒ ) DBC· =ECA·
60
BPE PBC PCB PCD PCB
1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
A
O N
B P
Q E H