Tìm các giá trị của m để đồ thị C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1.. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2010 – 2011 Môn Toán, Lớp 12 THPT
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y x= −3 (m+1)x2− −(4 m x2) − −1 2m (C m)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= −1
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị ( C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau m)
Câu II (6,0 điểm)
1 Giải phương trình : cos 2x+cos3x−sinx−cos 4x=sin 6x
2 Giải bất phương trình: 6(x2− + +3x 1) x4+ + ≤x2 1 0
3 Tìm số thực a để phương trình 9 x+ =9 a3 cos(x πx) có nghiệm thực duy nhất
Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân: 2
3 0
sin (sin 3 cos )
x
dx
π
+
Câu IV (6,0 điểm)
1 Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB,
AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM =x, AN =y Tìm ,x y để
diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất
2 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng :∆ − + =x y 5 0 và hai elíp
25 16
thuộc đường thẳng ∆ Tìm toạ độ điểm M sao cho ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất.2
3 Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1
¡ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song
song với trục Ox, sao cho (P) cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2 tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1
Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực , ,a b c thoả mãn
2 2 2
6 3
ab bc ca
+ + =
+ + = −
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a= 6+ +b6 c6
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIOI TỈNH THANH HÓA 2011 Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y x= −3 (m+1)x2− −(4 m x2) − −1 2m (C m)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= −1
Với m = - 1, hàm số lày x= − +3 3x 1
(Bạn đọc tự khảo sát)
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị ( C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau m)
Giả sử đồ thị có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau, không mất tính tổng quát ta gọi hệ số goác của hai tiếp tuyến đó là k và 1
k
− với k >0
Khi đó hai pt (ẩn x) 2 2
3x −2(m+1)x− −(4 m )=k và 2 2 1
3x 2(m 1)x (4 m )
k
− + − − = − phải đồng thời có
nghiệm, tương đương với
2 1
2 2
3
k
2
2
3
3
k
k
− ≥
2
3
k
k
> − ∀ >
2
3
k
Suy ra: Đồ thị (C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau khi và chỉ khi bất pt (1) có nghiệm k > 0 m)
Tương đương với
2
0 3
m − m−
Vậy: 1 27 1 27
Câu II (6,0 điểm)
1 Giải phương trình :cos 2x+cos 3x−sinx−cos 4x=sin 6x (1)
(1)⇔ (cos2x - cos4x) - sinx = sin6x - cos3x
2sin 3 sinx x sinx 2sin 3 cos3x x cos3x
sin (2sin 3x x 1) cos3 (2sin 3x x 1)
2
(2sin 3 1) sinx os3 0
¢
2 Giải bất phương trình: 6(x2− + +3x 1) x4+ + ≤x2 1 0 (2)
D = R
Cách 1:
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (2)
- Với x > 0, ta có:
2
Đặt t x 1 2, x 0
x
t
≤ ≤
11 2
5
t
Suy ra: 1 11( 0)
5
x
5 11 5 0 ( 0)
Trang 3(2) 2
2
Đặt t x 1 2, x 0
x
= + ≤ − ∀ < , (1) trở thành t2− ≤1 6(t−3), vô nghiệm vì t≤ −2
Vậy bất pt có nghiệm 11 21 11 21
Cách 2.
6(x 3x 1) (x 1) x 0
6[2(x x 1) (x x 1)] (x x 1)(x x 1) 0
+ + + + (chia hai vế cho
2
1 0,
x + + > ∀x x)
1
t
− +
+ + ta được bpt
6[2t 1] t 0 2 6t t 6 0
4
6 t
Dẫn đến 22 1 6 22 1 3
Vậy bất pt có nghiệm 11 21 11 21
II 3 Tìm số thực a để phương trình 9 x+ =9 a3 cos(x πx) có nghiệm thực duy nhất
2
9x+ =9 a3 cos(x πx)⇔ +3x 3 −x =acos(πx)(1)
+ Điều kiện cần:
Giả sử x0 là nghiệm duy nhất của (1) Khi đó 2 x− 0cúng là nghiệm của (1) nên x0 = − ⇔2 x0 x0 =1
. Thay x = 1 vào pt trình ta được a = - 6
+ Điều kiện đủ:
Với a = -6 (1) là: 3x+32 −x= −6cos(πx) (2)
Ta có 3x+32 −x ≥2 3 3x 2 −x =6, cos(πx)≥ − ⇔ −1 6cos(πx) 6≤
Do đó (2)
2
3 3
1 cos( ) 1
x x
π
−
=
= −
Vậy a = -6
Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân: 2
3 0
sin (sin 3 cos )
x
dx
π
+
Cách 1
Đặt 2
3 0
sin (sin 3 cos )
x
π
=
+
∫
Xét: 2
3 0
s (sin 3 cos )
co x
π
=
+
3
(sin 3 cos ) (sin 3 cos )
x
+
2
tan
6
x
π
∫
Trang 42 2
3 sinx cos (sin 3 cos ) 3
(sin 3 cos ) (sin 3 cos )
0
2(sinx 3 cos )x 3
π
+
Ta có:
3 3
3 3
6 1
3
3
I
I J
Vậy 3
6
I =
Cách 2
sin 1 (sin 3 cos ) 3(cos 3 sinx)
4
4 (sin 3 cos ) 4 (sin 3 cos )
dx
+
Vậy 3
6
I =
Câu IV (6,0 điểm)
1 Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB,
AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM =x, AN =y Tìm ,x y để
diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất
Gọi O là tâm của tam giác ABC Ta có DO vuông góc với (ABC)
Do đó (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) khi và chỉ khi (DMN) chứa DO Suy ra M, N, O thẳng hàng
ADM
ADN
·
.sin
AMN
S = AM AN MAN= xy (1);
2 2
DMN
S = DO MN = x +y −xy
Vì
2
1
·
MN = AM +AN − AM AN c MAN = x +y −xy
Do đó diện tích toàn phần của tứ diện DAMN là S = 3( ) 6 2 2
4 x y xy+ + + 6 x +y −xy
Mặt khác, S =S +S =1 AM OI +1AN OK = 3(x y+ ) (2)
D
A
B
C O
M
N
Trang 5Từ (1) và (2) ta có 3 3( ) 3
4 x y xy+ + + 6 = xy+ x +y −xy ≥ xy+ 6 xy xy−
6
3
6
xy x y= + ≥ xy⇒ xy≥ xy⇒ xy ≥ ⇒xy≥ nên
9 3 6
4
3
x y xy
x y
+ =
=
Vậy diện tích toàn phần S của tứ diện DAMN nhỏ nhất khi và chỉ khi 2
3
x= =y
IV 2 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng :∆ − + =x y 5 0 và hai elíp
25 16
đường thẳng Tìm toạ độ điểm M sao cho ( )E có độ dài trục lớn nhỏ nhất.2
Từ giải thiết ta có a2 - b2 = 25 – 16 = 9 hay b2 = a2 – 9
Vì b2 > 0 nên a2 – 9 > 0 hay a > 3
M thuộc∆ nên M(t; t + 5)
M thuộc ( )E khi và chỉ khi 2 2 ( )2 2 ( )2
9
−
( 2 ) 2 2 2( 2 ) ( )
2a 9 t 10a t a a 34 0 1
Điểm M tồn tại khi và chỉ khi (1) có nghiệm theo ẩn t
Vì a > 3 nên 2
2a − >9 0, do đó:
(1) có nghiệm khi và chỉ khi
2 2
17 ' 0
9
a a
≥
Vì a > 3 nên ta có a≥ 17
Do đó a nhỏ nhất bằng 17 , khi đó (1) có nghiệm kép 5.17 17
2.17 9 5
Suy ra 17 8;
5 8
IV 3 Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
1
¡ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với
trục Ox , sao cho (P) cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2 tại lần lượt A, B thoả mãn AB = 1
Vì (P) đi qua M và song song Ox nên (P) có phương trình dạng: b(y - 2) + cz = 0 hay by + cz – 2b = 0
Ta thấy b≠0vì nếu b = 0 thì (P) có pt z = 0 nên (P) là mp(Oxy), chứa trục Ox
Do đó pt của (P) có thể viết dưới dạng y + mz - 2 = 0 Khi đó:
(P) giao với hai đường thẳng ∆ ∆1, 2 lần lượt tại
Trang 62
2
5
( 2)
m
AB
m
+
=
−
2 2
2
m
m
+
Vậy (P) có pt là 4y - z - 8 = 0
Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực , ,a b c thoả mãn
2 2 2
6 3
ab bc ca
+ + =
+ + = −
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a= 6+ +b6 c6
Ta có:
2 2 2
2 2 2
6 (1)
3 (2)
ab bc ca
+ + = −
( )2
Thế (3) vào (1) và vào biểu thức P ta có
2
2 2 3 2 2 2 2 6
2
2
Đặt t = ab, từ (5) ta có P = (3−t)3−3 (3t2 − + +t) (t 3)3= 3(t3+3t2+18)
Mặt khác vì ta luôn có(a b+ )2≥4ab nên từ (4) suy ra ab+ ≥3 4ab⇔ab≤1 hay t ≤ 1
Xét hàm số f(t)= 3(t3+3t2+18) trên (−∞;1]
2
f '(t)= 3(3t +6 )t ; f '(t)= 0 0
2
t t
=
⇔ = − Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy maxf(t) = 66 khi t = - 2 hoặc t = 1
Suy ra giá trị lớn nhất của P bẳng 66 (đạt được chẳng hạn khi a = b = 1 và c = -2).
Hết
(Đáp án này do tôi tự giải và biên soạn, có gì sai sót mong người đọc thông cảm và góp ý!)
f’(t)
f(t)
66
54
66