Ôn tập cuối năm Toán 9

Chứng minh rằng: a∆ AMK = ∆ BNK; b∆ MKN là ∆ vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của ãAMN cKhi điểm M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn luôn đi quamột đi

1

3 c

567

3,34

8

63

1:)31

5152

−

−

i,

1027

1528625

+

−++

Bài 5 Chứng minh các đẳng thức sau: a, a b

ba

1:ab

abb

−+ ( a, b > 0 và a ≠ b )

1a

aa1)(

aa

−

a1

a1

−

− )2 =1 (a > 0 và a ≠1)

bab2a

ba

b

b

a

2 2

4 2

++

+ (a+b>0, b ≠0)

Bài 6 Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a, −9a − 9+12a+4a2 với a = -9 ; b, 1 + m 4m 4

2m

1:

21

114

52

1

2

++

−

=

x x

x x

x

x x

B

x y

y y x

y x y

x x

x x

11

1:1

11

1:

x a

2 2

+

++

1

22

khix A

x x

x

A

32

962

12

−

=

a a

4

5:2

32

x x

x

12

12:1

1

11

x x

x x x

x x

20072005

9

961

2

2

−

++

−

=

x

x x

3

3(2 3)

x x

−

=+ & B=-4/5

1- x khi x < -3

x - 3

x khi x

1

a a

231:19

813

11

3

1

x

x x

x x

1:1

1

x x x x

x x

1

1:1

11

1

2

x x

x x

−

1

11:1

1

3

x

x x

x D

x x

53

a a a a

11

−

−++

x x

b)Tìm giá trị nguyên dơng của x để D∈Z ?

−

1

11:1

13

x

x x

b a

b a

b a ab b

a b

b a

ab

1

2

2 3

2 2 3

2 3

−

−+

++

−

−

1

11

11

2:

1

x

x x

x

x x

66

32

32

+++

−

−

−

−+

+

b a

ab b

a ab

b a

x b x

b

x x b b x b

x b D

241

21:141

4

x

x x

x x

x x E

b b

a thì F có giá trị không đổi.

Bài 7 Cho biểu thức: A1 = (

x1

1x1

Bài 8 Cho biểu thức: A2 = 2 2 2

)2x()1x2(

4)1x(

+

−+

1x1x

1x

11x

x1x

2

2 − − − + + )a) Rút gọn A3 b) tìm giá trị của A3 khi x= 3+ 8 c) Tìm x khi A3 = 5

Bài 10 Cho biểu : A4 = (

aa

1aaaa

1aa

2a

−

+ a) Với giá trị nào của a thì A4 không xác định b) Rút gọn A4.c) Với giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị tự nguyên ?

Bài 11 Cho biểu thức: B1 =

xx

xx1x

Bài 12 Cho biểu thức: B2 =

6a2

a36a2

3a

Bài 13 Cho biểu thức: B3= ( 1+

1x

x

+ ):( x x x x 1

x21

x

1

−

−+

11x

1

−

++ ) a) Rút gọn B4 b) Tính giá trị của B4khi x=3+2 2

c) Giải phơng trình B4 = 5

Bài 15 Cho biểu thức: B5 = (

ab

aba

aab

a

a

++

bb

ab

−

++a) Rút gọn C2b) Tính giá trị của C2khi a = 4+2 3 , b = 4−2 3c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C2 có giá trị không đổi

Bài 18 Cho biểu thức: C3 =

6b3a2ab

ab66

b3a2ab

b3a2

+++

−

−

−

−+

+a) Chứng minh rằng ∀b≥0 thì C3 có giá trị không phụ thuộc vào bb) Giải phơng trình C3= -2

c) Tìm a để C3 < 0? C3 > 0?

d) Tìm giá trị nguyên của a để C3có giá trị nguyên

e) Chứng minh rằng nếu C3= b+81/b-81, khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3

Bài 19 Cho biểu thức: C4 = (

1x2x

2x1

x

2x

++

x2 − +a) Xác định x để C4tồn tại b) Rút gọn C4c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C4 > 0

d) Tìm giá trị của C4khi x = 0,16

e) Tìm giá trị lớn nhất của C4.g) Tìm x thuộc Z để C4 thuộc Z

Bài 20 Cho biểu thức: C5 = 33 22 22 33

yxyyxx

yxyyxx

−

−+

11xx

x1

xx

2x

−

+++

b) Chứng minh D1> 0 với ∀x≥0,x≠1

Bài 22 Cho biểu thức: D2 = (

xy

yxyx

y

−

−+

−

yx

xy)

yx

Cho hàm số y=ax+b (a≠0)

- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0

- Nếu toạ độ (x 0 ;y 0 ) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.

- Ngợc lại, nếu điểm A(x 0 ;y 0 ) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x 0 ;y 0 ) của A thoả mãn hàm số y=f(x).

- Cho hai đờng thẳng (d 1 ): y=ax+b & (d 2 ): y= a 1 x+b 1 (a ≠ 0 ; a 1 ≠ 0)

Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m.

Bài 2: Cho đờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m

Bài 3: Cho các đờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và

(d2): y= (2m-3)x +(m2-1) (m≠ 3/2):

a) CMR: (d1) & (d2) không thể trùng nhau với mọi m

b) Tìm m để (d 1 ) // (d 2 ); (d 1 ) cắt (d 2 ); (d 1 ) ┴ (d 2 )

Bài 4: CMR: 3 đờng thẳng sau đây đồng quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4

Bài 5: Tìm m để ba đờng thẳng sau đồng quy:(d1):y=x-4; (d2): y= -2x-1;(d3): y= mx+2

Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đờng thẳng :(d1): y= 1

3x;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4

Bài 7: Cho đờng thẳng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m 2+1)x+m2-4

a) CMR: (d1) luôn đi qua điểm A cố định và (d2) luôn đi qua điểm B cố định

b) Tính khoảng cách AB ; c) Tìm m để (d 1 ) // (d 2 )

Bài 8 Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1

Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đờng trên

1 )

b Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)

c Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )

d Song song với đờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm (

3

4

;3

1 )

Bài 10.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)

a Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1) & (d2)

b Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy

Bài 11 a Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)

b Gọi các giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (3) với các đờng thẳng (1), (2) thứ tự làA,B: tìm toạ độ của các điểm A,B

c.Tính các góc của tam giác OAB

 Chuyên đề 3:Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất

Bất phơng trình

I.Ph ơng trình bậc nhất 1 ẩn số

 Ph ơng pháp: ax+b=0 ⇔ax=-b ⇔ x=-b/a

Nếu phơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đa

523

31

1222

1

+

+++

+

−

x x

* Ph ơng trình dạng f(x) =g(x) (1)

 Sơ đồ giải:

[ ]2

( ) 0(2)( ) ( )

0)(

≥

≥

≥

x h

x g

x f

-Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải

đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện!

Bài 5:Giải phơng trình a) x+ +5 x+ =3 2x+7 b) x+ −1 x− =7 12−x

IV Bất ph ơng trình

*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0

+ Phơng pháp: ax+b>0 ⇔ ax>-b ⇔ x>-b/a nếu a>0

x<-b/a nếu a<0

Bài 6: Cho phơng trình:

32

163

15

A B A B

2

>

++

−

x x x

x 3)(x-1)2-4 <0

≤++

−

x x

x x

55

5

2 −

=+

4

1

2x+ 2 − −x 2 ≤ x+ c) x2 −36 =8 d) x2 −2x+2 =1e) (x+3)(x−2)+x=12 f) x+1+ x−2 =1 g) x+ 4x2 −4x+1=5

Bµi 2 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau

a)

11

322

11

121

y

543

111

=+

=

−

y x

y

15

151

−+

=

=

−+

−

x y

y x

05)(3)(

−+

y x

y x y

x

f)

1233

8)(3)(

=+

=

−+

−

y x

y x y

0

x y

−

−

= +

3 y x 2

36

5 y

1 x 1

4

3 y

6 x 5

1 2 x 1

1 1 y

3 2 x 2

 a Giải hệ phơng trình với a=- 2

b Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0

a ay x

1 y ax

; a Giải hệ phơng trình với a= 2-1

b Chứng minh hệ phơng trình có hai nghiệm với mọi a

c Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x>0; y>0

 Chuyên đề 4: Phơng trình bậc hai- Định lí vi- ét và ứng dụng I.Phơng trình bậc hai

1) Ph ơng trình bậc hai khuyết:

* Ph ơng pháp: Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đa về dạng phơng trình tích.

1

121

x

 + ữ =

S P

S P

Bài 2: Cho phơng trình :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0 Tìm m để phơng trình có nghiệm kép?

Bài 3: Cho phơng trình :m2x2 + mx +4 =0 Tìm m để phơng trình vô nghiệm?

Bài 4:Cho phơng trình :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0

a)CMR Phơng trình luôn có nghiệm?

b)Tìm k để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n0 mang dấu gì?

Bài 5: Xác định k để pt :3x2 - (2k+1)x +k2- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?

Bài 6: Xác định k để pt :x2- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?

Bài 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0

a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng - 3.Tìm nghiệm thứ hai?

b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

Bài 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0

a) m=? để phơng trình có nghiệm képb) m=? để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n0 mang dấu gì?

III.Bài toán liên quan giữa nghiệm phơng trình và hệ thức Vi-ét

Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho

tr-ớc Nếu đk cho trớc có chứa biểu thức x 1 +x 2 2 hoặc x 1 +x 2 thì cần áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ: x 1 +x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2

1 + =

x

x x

x

Bài 2:Cho phơng trình : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham số

a) Tìm k để pt(2) có n0 kép?

b) Tìm k để (1) có 2 n0 x1,x2 thỏa mãn x1 +x2 =10

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 (1)

a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x

b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?

Bài 4: Cho phơng trình: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn)

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để: x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m2

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0

Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?

• ơng pháp: Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đợcPh

biểu thức không phụ thuộc vào tham số

22

1

+

++

=

x x

c) Tính x1 +x2 theo m?

Bài 3: Cho phơng trình : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1)

a) Giải phơng trình khi m=-3/2b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấuc) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm m để x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m2

Bài 4: Cho phơng trình : x2- 2mx+2m-1=0

a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Đặt A= 2(x1 +x2 )-5x1x2

1.CMR: A= 8m2-18m+9

2 Tìm m để A=27

3 Tìm m sao cho phơng trình nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?

 Chuyên đề 5: Mối tơng quan giữa đồ thị

hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

 Ph ơng pháp:

Cho Parabol (P): y=ax 2 và đờng thẳng (d): y=mx+b

- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt ⇔ phơng trình ax 2 =mx+b có 2 nghiệm phân biệt ⇔∆ >0 (nghiệm của phơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm)

Bài 2: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm

số y= (m-1)x- (m-1)

a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm

b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ

Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x2-3x+2

a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung

b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x2 Lập phơng trình đờng thẳng

(∆) song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P)

Bài 6: Cho (P): y=1 2

2x và hai đờng thẳng (d1): y=2x-2 và (d2): y= ax-1

a) Vẽ (P) & (d1) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúngb) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d2)

c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm

d) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

 Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức

 Ph ơng pháp 1:

Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn ( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng

(hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay lớn nhất).

dấu “=” xảy khi m-3=0 ⇔ m=3

Vậy GTNN của A là 2 khi m=3

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B= -4x2-8x+5

Ta có: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+6≤6Vậy GTLN của B là 6 khi 2x+1=0 ⇔ x=-1/2

• ơng pháp 2:Phơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số Ph

Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

1

12

2

++

+

x x

Đặt y=

1

12

2

++

+

x x

3 Khi x=1 ; GTLN là 2 Khi x=-1

 Ph ơng pháp 3: Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

+ với a≥0;b≥0 ta có a+b ≥ ab

2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

• Hệ quả: + Nếu a+b =S thì

42

2

S ab

S

ab ≤ ⇔ ≤ Vậy ab đạt GTLN là S ⇔a=b

42

+ Nếu ab =P thì a+b ≥2 P .Vậy a+b đạt GTNN là 2 P ⇔a =b

Ví dụ: Cho biểu thức P= (x+3)(5−x)

⇒ ( ) ( )

24

5

−+ x

Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN Tìm GTNN đó

a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15 b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2

Bài 3: Cho biểu thức :

x

x Q

2

3

2 +

−+ x x

Bài 5: Giả sử x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình x 2-2(m-1)x+m2-m -0 (1)

Tìm GTNN của tổng S= x1 +x2

Bài 6: Cho phơng trình : x2- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1)

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình.Tìm GTNN của tổng S= x1 +x2

Bài 7: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x 2-3mx-2 =0

Tìm giá trị của m để x1 +x2 đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:

A= x2 +3x+4 B=-3x2+4x+1 C=

23

5

2 −

− x

Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5

Bài 10:Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

2

+

−

++

=

x x

x x

13

Giải: Xét hiệu 2(a2+b2) -(a+b)2=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0 ∀a,b

Theo định nghĩa ⇒ 2(a2+b2) ≥(a+b)2 (đpcm)

x

x+ ≥ ∀+

II Phơng pháp biến đổi tơng đơng

 Để chứng minh A ≥B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần

− + > ∀

2 4

• Ghi chú: Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc rồi mới vận dụng

 Bài tập vận dụng :

Bài 1:Cho 2 số dơng a,b thoả mãn a+b=1 CMR: 1 2 1 2 6

ab a+ b ≥

+ (có thể hỏi: Tìm GTNN củabiểu thức A= 1 21 2

ớc 2: - Biểu thị các đại lợng đã biết và cha biết qua ẩn số

- Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho trớc trong bài để

cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho?

Bài 3 Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33

Bài 4 một sân trờng hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là

20m Tính chiều dài và chiều rộng của sân trờng

Bài 5 Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là

3

5 cạnh cònlại dài 8cm Tính cạnh huyền

Bài 6 Bảy năm trớc, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp

3 lần tuổi con Hỏi năm nay mỗi ngời bao nhiêu tuổi?

Bài 7 Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000đ Hôm nay mẹlan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600đ mà giá trứng thì vẫn nh cũ Hỏi giá mỗiquả trứng mỗi loại là bao nhiêu?

Bài 8 Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không

có chỗ, nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế

Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Bài 9 Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch đợc tất cả 460

tấn thóc Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu Biết rằng 3ha trồng lúa mới thuhoạch đợc ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn

Bài 10 Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác

nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Bài 11 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km Nên đến địa đỉêm B trớc ô tô thứ hai là 100 phút Tính vậntốc của mỗt ô tô biết quãng đờng AB dài 240km

Bài 12 Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ngợc chiều và

gặp nhau sau 2h Tìm vân tốc của mỗi ô tô Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h

và vận tốc ô tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô tô B

Bài 13 Một ô tô đi t A đến B Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng

3

2 vậntốc của ô tô th nhất Sau 3h chúng gặp nhau Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB mất bao lâu?

 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo) Bài 14 Một ô tô du lịch đi từ A đến C Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ô tô vân

tải cũng đi đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu Biếtrằng vân tốc của ô tô tải bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch

Bài 15 Hai ngời thợ cùng xây một bức tờng trong 7h12phút thì xong nếu ngời thứ nhất làm

trong 5h và ngời thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đơc 3/4 bức tờng Hỏi mỗi ngời làm một mìnhthì bao lâu song bức tờng?

Bài 16 Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 thì xong việc Nếu ngời thứ

nhất làm một mình trong 9 ngày, rồi ngời thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xongviệc Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong việc

Bài 17 Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ một

sản xuất vợt mức 15%, tổ hai sản xuất vợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất đợc 945chi tiết máy Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

Bài 18 Cho một dung dịch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200g nớc thì đợc một dung dịch

6% Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho?

Bài 19 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 4

5

4 giờ bể đầy mỗi giờ lợng nớc của vòi một chảy đợc bằng 1

2

1 lợng nớc chảy đợc của vòi hai Hỏi mỗi vòichảy riêng thì trong bao lâu đầy bể

Bài 20 Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30’ một ngời đi xe

máy cũng đi từ A đến B sớm hơn 1h Tính vận tốc của mỗi xe Biết rằng vận tốc xe máy gấp2,5lần vận tốc xe đạp

Bài 21 Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B ngời đó nghỉ

20phút rôì quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đờng AB biết rằng thời giancả đi lẫn về là 5h50’

Bài 22 Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16h thì song nếu ngời thứ nhất làm trong

3h và ngời thứ hai làm trong 6h thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình thisong công việc trong bao lâu

Bài 23 Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn

số đã cho là 12 Tìm số đã cho

Bài 24 Trong một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều

bằng nhau Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủchỗ cho 400 đại biểu Hỏi bình thờng trong phòng có bao nhiêu dãy ghế

Bài 25 Quãng đơng AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15’ rồi trở về A hết tất cả10h Tính vận tốc của ôtô lúc về Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h

Bài 26 Một số máy suôi dòng 30km và ngợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà

số máy đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc của xuồng khi đi trong hồ Biết rằng vậntốc của nớc chảy trong sông là 3km/h

Bài 27 Một bè nứa trôi trên sông sau đó 5h20’ một xuồng máy đuổi theo và đi đợc 20km thì

gặp bè nứa Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h

 Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo) Bài 28: Ngời ta dự định chia 73 học sinh thành một số tổ nhất định để tham gia hoạt động hè.

Sau khi chia số học sinh cho mỗi tổ thì thấy thừa ra 1 học sinh Lần thứ hai chia thêm mỗi tổ 1ngời thì thiếu 7 học sinh Hỏi số tổ dự định và số học sinh của mỗi tổ lúc chia lần đầu

Bài 29:Hai cạnh góc vuông của một ∆ vuông hơn kém nhau 14 cm.Tính các cạnh của ∆ đóbiết chu vi của nó là 60cm

Bài 30Cho một thửa ruộng hình chữ nhật Nếu tăng thêm mỗi cạnh 10m thì diện tích mới bằng

2

3 diện tích cũ.Nếu giảm mỗi cạnh đi 10 m thì diện tích mới bằng 3

5 diện tích cũ

Bài 31: Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bể không có nớc trong 3h45’ Nếu chảy riêng rẽ, mỗi

vòi phải chảy trong bao nhiêu lâu để bể đầy.Biết rằng vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4giờ

Bài 32:Quãng đờng Hải Phòng – Hà Nội dài 105 km.Một ô tô đi từ Hải Phòng đi Hà nội với

vận tốc đã định.Lúc về, mỗi giờ ôtô đi nhanh hơn lúc đi là 7km nên thời gian về ít hơn lúc đi lànửa giờ Tính vận tốc lúc đi của ôtô?

Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ

só đó, ta sẽ đợc một số viết theo thứ tự ngợc lại Tìm số đó?

Bài 34:Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong 1 giờ Lúc về ngời đó đi đợc 1

3quãng đờng với vậntôc hơn lúc đi là 2km/h.Phần đờng còn lại, ngời đó rút vận tốc xuống thành ít hơn lúc đi 1km/h,lúc về chậm hơn lúc đi là 40giây Tính quãng đờng AB?

Bài 35: Hai ngời thợ cùng làm một công việc Nếu làm riêng rẽ mỗi ngời nửa công việc thìtổng số giờ làm việc là 12 h30.Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm cả việc đó trong6giờ Nh vậy, làm riêng rẽ cả công việc, mỗi ngời phải mất bao nhiêu giờ?

Phần II: Hình học

 Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình

hệ thức lợng trong tam giác vuông

 Ph ơng pháp;

- Các phơng pháp nhận biết tam giác cân.

- Các phơng pháp nhận biết tam giác đều

- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông

- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông cân

- Các phơng pháp nhận biết hình thang, hình thanh cân

SR

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính tỉ số lợng

giác của góc B Từ đó suy ra các hệ thức tính tỉ số lợng giác của góc C

Bài 4 giải tam giác vuông ABC Biết Aˆ= 900 AB=5 ,BC=7

Bài 5 Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 13:21 Bài 6 Dựng góc x Biết sinx = 3/5

Bài 7 Dựng góc x Biết cotgx = 1/2

Bài 8 Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 400 góc F = 580 kẻ đờng cao EI của tam giác đó Hãy tính (lấy 3 chữ số thập phân)

h2

Q R

S P

e) ∆ ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là một hình vuông?

Bài 10: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi K là điểm chính giữa của cung AB.Gọi M làmột điểm nằm trên cung AK, N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN=AM

Chứng minh rằng:

a)∆ AMK = ∆ BNK; b)∆ MKN là ∆ vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của ãAMN

c)Khi điểm M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn luôn đi quamột điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại B

Bài 11: Cho hinh fvuông ABCD.Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1

4 đờng tròn phía trong hìnhvuông.lấy AB là đờng kính, vẽ 1

2 đờng tròn phía trong hình vuông Gọi P là điểm tuỳ ý trêncung AC (không trùng với A và C) H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD; PA và PBcắt nửa đờng tròn tại I và M

c) Chứng minh I là trung điểm của APd) Chứng minh PH,BI,AM đồng quy tại một điểme) Chứng minh PM=PK=AH

f) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang câng) Tìm vị trí của điểm P trên cung AC để ∆ APB đều

 Chuyên đề 2: Chứng minh một số điểm nằm trên đờng tròn

tứ giác nội tiếp

 Ph ơng pháp;

- Phơng pháp chứng minh 4 điểm nằm trên một đờng tròn

- Phơng pháp chứng minh 5 điểm nằm trên một đờng tròn

1.Chứng minh 4 đỉnh của tứ giỏc cỏch đều một điểm nào đú

2 Chứng minh tứ giỏc cú tổng hai gúc dối bằng 1800

3 Chứng minh từ hai đỉnh liờn tiếp nhỡn hai đỉnh cũn lại dưới hai gúc bằng nhau

4 Chứng minh tứ giỏc cú tổng hai gúc đối bằng nhau

5 Sử dụng định lý đảo về hệ thức lượng trong đường trũn

Nếu M là giao điểm của AB và CD và thoả món AM.MB = CM.MD thỡ tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn

6 Trong trường hợp phải chứng minh từ 5 điểm trở lờn cựng nằm trsờn một đường trũn ta chọn

3 điểm nào đú cố định ,rồi kết hợp với một điểm thứ tư để chứng minh 4 điểm nằm trờn đường trũn và cứ tiếp tục như vậy chứng minh tiếp

Bài tập vận dụng:

Bài 1 Từ một điểm M nằm ngoài (o) kẻ cỏc tuyến qua tõm MAB và cỏc tiếp tuyến MC,MD , gọi

K là giao điểm của AC và BD

C/m 4 điểm B,C,M,K cựng thuộc một đường trũn ,xỏc định tõm đường trũn đú

Bài 2.Gọi AB là đường kớnh của (o) từ A kẻ hai dõy bất kỡ cắt tiếp tuyến tại B của đường trũn

ở E và F và cắt đường trũn ở C và D Chứng minh tứ giỏc DCEF nội tiếp

Bài 3 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD ( A ˆ B C >900)

Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC,BD

A’ là hỡnh chiếu của DS trờn BC, B’ là hỡnh chiếu của D trờn AC, C’ là hỡnh chiếu cuả D trờn

AB Chứng minh O nằm trờn đường trũn ngoại tiếp ∆A’B’C’.

Bài 4.Cho ∆ABC ngoại tiếp đường trũn (O) gọi D và E là hai tiếp điểm.Trờn AB và AC.Cỏc

đường phõn giỏc của gúc B và C cắt đường thẳng DE tại N và M.

Chứng minh rằng 4 điểm B,M,N,C cựng nằm trờn một đường trũn.

Bài 5.Cho ∆ABC (AB=AC),M thay đổi trờn cạnh BC Cỏc đường thẳng qua M và song song với

cỏc cạnh bờn AB,AC lần lượt cắt AB và AC ở Q và P.Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp tõm giỏc ABC.Chứng minh.

a, Tứ giỏc APOQ nội tiếp.

b, Điểm đối xứng của M qua PQ nằm trờn đường trũn ngoại tiếp ∆ABC

Bài 6 Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D sao

cho DB=DC và góc DCB bằng 1/2góc ACB

Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp

Bài 7 S là điểm chính giữa cung AB của đờng tròn tâm 0 Trên dây AB lấy hai điểm E và H các

đờng thẳng SH và SE cắt đờng tròn tại C và D Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp

Bài 8 Tứ giác ABDC nội tiếp đờng tròn tâm O E là điểm chính giữa cung AB hai dây EC,EB

cắt AB tại P và Q các dây AD,EC cắt nhau tại I ,các dây BC và ED cắt nhau tại K Chứng minhrằng

a Tứ giác CDIK nội tiếp ; b Tứ giác CDQP nội tiếp

Bài 9 Cho tam giác ABC các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S Các

đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E Chứng minh BSCE là tứ giác nội tiếp

Bài 10 Cho tam giác cân ABC đáy BC và góc A =20o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa

C lấy D sao cho DA=DB và góc DAB =40o Gọi E là giao điểm của AB và CD Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp

Bài 11 Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E biết AE.EC =BE.ED Chứng minh 4 điểm

A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn

Bài 12 Cho đường tròn tâm O SA ,SB là hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B Kẻ dây

BC Đờng kính vuông góc với AC cắt BC tại I Chứng minh rằng :

a 4 điểm S,A,I,B cùng nằm trên đờng tròn

b Tứ giác SAOI nội tiếp

Bài 13.Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I và

cắt đờng tròn tai P ,kẻ đường kính PQ các tia phân giác của góc ACB và góc ABC cắt AQ tại E

và F Chứng minh 4 điểm B,C,E,F nằm trên một đường tròn

Bài 14.Cho tam giác ABC có các góc nhọn Gọi H là Trực tâm P,M,N là chân các

đờng cao hạ từ A,B,C xuống BC ,AC,AB Chứng minh rằng

a Các tứ giác AM HN và BMNC nội tiếp

b Gọi D,E,F lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AC,AB,BC

Chứng minh rằng 6 điểm A,E,B,F,C và D cùng nằm trên một đờng tròn

Bài 15 Cho tam giác ABC vuông tại C Gọi D là hình chiếu của C trên AB đờng tròn tâm O

đờng kính CD cắt cạnh AC,BC tại E và F.Gọi M là giao điểm thứ hai của BE với đờng tròn ,K làgiao điểm của AC và MF ,P là giao điểm của EF và BK

Chứng minh rằng : 4 điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng tròn

Bài 16: Cho ∆ ABC, các đờng cao BE và CF cắt nhua tại H Gọi H’ là điểm đối xứng của Hqua BC Tìm các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ

Bài 17: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Đờng thẳng AO

cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C và C’ Đờng thẳng AO’ cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợttại D và D’ Chứng minh rằng:

a) C, B, D’ thẳng hàng

b) ODC’O’ nội tiếp

c) Đờng thẳng CD và đờng thẳng D’C’ cắt nhau tại M Chứng minh: MCBC’ nội tiếp

Bài 18: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính BC lấy điểm A trên đờng tròn sao cho AB>AC Dựnghình vuông ABED ở miền ngoài ∆ ABC Gọi F là giao điểm của AE với đờng tròn và K là giao

điểm của CF và ED Chứng minh:

a) B,K, D, C cùng thuộc một đờng tròn

b) AC=EK

Bài 19: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) Các đờng chéo AC và BD cắtnhau tại E Các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F Chứng minh rằng:

a) A,D,E, O cùng thuộc một đờng tròn

b) Tứ giác AOCF nội tiếp

c) MNCP là hình bình hành trong đó M, N lần lợt là trung điểm của BD, AC và P là chân

đờng cao hạ từ B xuống CD

 Chuyên đề 3: Chứng minh tam giác đồng dạng

- Muốn chứng minh một đẳng thức mà mỗi vế là tích cảu hai đoạn thẳng, chẳng hạn: MA.MB=MC.MD ta có thể dùng các phơng pháp sau đây:

+ Chứng minh mỗi vế cùng bằng một tích thứ ba + Chứng minh hai tam giác MAC và MDB (hoặc hai tam giác MAD

và MCB) (Trờng hợp đặc biệt: MT 2 =MA.MB thì chứng minh ∆ MTA : ∆ MBT)

+ Sử dụng các hệ thức trong ∆ vuông

 Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại M một đờng thẳng cắt đờngtròn tại A, B và tiếp xúc với đờng tròn (O) tại C Các tai AM , MB cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại E

và D Tia CM cắt đờng tròn (O) tại I

a) Chứng minh ∆ AIB : ∆ ECD b) Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn kẻ từ M cắt tại P.

Chứng minh PC 2 =PA.PB

Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, dờng kính AB=2R và một điểm M trên nửa đờng tròn (Mkhác A,B) Tiếp tuyến tại M cắt nửa đờng tròn, cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lợt ở C và E

c) CMR: CE=AC+BE d) CMR: AC.BE= R 2

e) CM: ∆ AMB : ∆ COE

Bài 3: Cho góc vuông xOy Trên Ox đặt đoạn OA=a.Dựng đờng tròn (I; R) tiếp xúc với Ox tại

A và cắt Oy tại hai điểm B,C Chứng minh các hệ thức:

 Chuyên đề 4: Chứng minh một đờng thẳng

là tiếp tuyến với đờng tròn-Toán tổng hợp

 Ph ơng pháp;

- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

- Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau (thuận, đảo)

- Các định lí về tiếp tuyến

 Bài tập vận dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC cận tại A ( có BC<BA) nội tiếp (O) tiếp tuyến tại B và C của đờng

tròn lần lợt cắt các tia AC,AB ở D và E Chứng minh :

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A trên AC lấy M dựng đờng tròn đờng kính MC Nối BM và

kéo dài cắt đờng tròn tại D,DA cắt đờng tròn tại S Chứng minh rằng :

a ABCD là tứ giác nội tiếp

b CA là phân giác của góc SCB

c Gọi T là giao điểm của đờng tròn đờng kính MC với B và K là giao điểm của BA và CDKéo dài Chứng minh: K,M,T thẳng hàng , ATˆK=OTˆK

d Chứng minh tứ giác KBTS là hình thang

Bài 3 Cho tam giác ABC có góc C=900 nội tiếp nửa đờng tròn (O,R).Gọi Ax, By lần lợt là tiếp tuyến của nửa đờng tròn, tiếp rtuyến lại của (O) cắt Ax, Bythứ tự tại E, F

a Tính góc EOF

b Chứng minh rằng EF = AE + BF

c Chứng minh rằng AE.BF = R2

d Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính EF

e Gọi M là giao điểm của OE và AC, N là giao điểm của OF và BC

Tứ giác OMNC là hình gì ? Vì sao ?

g BC cắt Ax tại G, AC cắt By tại H Chứng minh rằng: AG.BH = AB2 và AG2 = GC GB

h Gọi D là giao điểm của AF và BE Chứng minh rằng: CD // AE

i Chứng minh rằng: EF CD = EC.FB

k Khi C chuyển động trên nửa đờng tròn thì M, N chuyển động trên đờng nào

l Xác định vị trí của C để tam giác EOF có diện tích bé nhất ?

Bài 4 Cho hai đờng tròn ( O; R ) và ( O; G ), cắt nhau tại hai điểm A và B ( O và O, thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB ) các đờng thẳng AO và AG cắt đờng tròn ( O ) tại điểm thứ hai C1D và cắt đờng tròn ( G ) ại các điểm thứ hai E và F

a Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng

hàng b Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đợc đờngtròn

c Chứng minh AB, CD, EF đồng quy d Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam

giác BDE

e Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến trung của ( O ) và ( G )

Bài 5 Cho ( O ) và một điểm A nằm ngoài ( O ) các tiếp tuyến với ( O ) kẻ từ A tại B và C Gọi

M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( khác B và C ) từ M kẻ MH vuông góc BC, MK vuông góc CA,

MI vuông góc AB Chứng minh: a Tứ giác ABOC nội tiếp.b Góc BAO = góc BCO

c Tam giác MIH đồng dạng tam giác MHK d MI.MK = MH2

Bài 6 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn ( O ) Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC; gọi E là điểm đối xứng của H qua AB, F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC

Chứng minh:

a Tứ giác BHCF là hình bình hành.

b E, F nằm trên ( O )

c BCFE là hình thang cân

d Gọi G là giao điểm của AI và OH Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

e Gọi BB', CC'là đờng cao của tam giác ABC Chứng minh AO vuông góc B'C'

g Tìm điều kiện ràng buộc góc B và góc C để OH // BC

Bài 7 Cho (o) đờng kính AB một các tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB

a, Chứng minh khi cát tuyến MN di động trung điểm I của MN luôn nằm trên một đờng tròn

cố định

b, Từ A kẻ ã vuông góc với MN tia By cắt Ax tại C chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành

c, chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN

d, Khi MN quay xung quanh H thì C di động trên đờng nào ?

e, Cho AB = 2R, AM.AN = 3R2 AN =R 3 Tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài tam giácAMN

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B vẽ về một phía của AB các nửa đờngtròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng trònlớn tại D DA và DB cắt các nửa đờng tròn có đờng kính AC và CB theo thứ tự tại M, N

a)Tứ giác DMCN là hình gì? tại sao

b)Chứng minh hệ thức: DM.DA=DN DB

c)CMR MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn có đờng kính AC và CB

d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất

Bài 9:Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn, vẽ N đối xứng với A qua M,

BN cắt đờng tròn ở C Gọi E là giao điểm của AC với BM

a)CMR: NE ┴ AB

b)Gọi F là điểm đối xứng với E qua M CMR: FA là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

c)CMR: FN là tiép tuyến của (B,BA)

 Chuyên đề 5: Bài toán về tính toán số đo

diện tích xung quanh,thể tích của một số hình

Bài 1: Cho dờng thẳng d cố định Một doạn thẳng AB cắt đờng thẳng d tại diểm O sao cho

OA = 4 và OB=10, đồng thời AB tạo với d một góc 300.Gọi I và J tơng ứng là hình chiếu vuônggóc của A,B trên d

a)Khi quay hình IAOBJ một vòng xung quanh d đoạn AB sẽ tạo nên hình gì?

b)Tính diện tích xung quanh của hình tạo đợc; c)Tính thể tích của hình tạo đợc

Bài 2: Một chiếc hộp có dạng hình trụ,ngời ta đo đợc chiều cao của hộp bằng đờng kính đáycủa nó và bằng 30cm Hãy tính diện tích toàn phần của hộp đó

Bài 3: Một bình đựng nớc có dạng hình trụ với bán kính đáy là R Một hình cầu nằm khít tronghình trụ đó Ngời ta đổ nớc vào trọng bình sao cho mặt nớc phía trên vừa ngập hết quả cầu.Sau đó vớt quả cầu ra, hỏi mực nớc tụt xuống bao nhiêu so với lúc đầu?

Bài 4:Hãy hoàn thành bảng sau với hình nón:

Bán kính

đáy (r) Chiều cao (h) Chu vi đáy (C) Diện tích một

đáy(S đ )

Diện tích xung quanh (S xq )

Diện tích toàn

phần (S tp )

Thể tích (V)