Bài 5: 4 điểm Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác.. Chứng minh:OM ON OP AM + BN +CP không đổi... Gọi cạnh của hình vuông EFGH là a Chu vi hình vuông EFGH là 4a Chu v
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN THI: TOÁN 8 THỜI GIAN 120 PHÚT
Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a3 + 4a2 -29a +24
Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + x + 1
b) Chứng minh rằng P = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 với mọi n∈N
Bài 3: (4 điểm) Cho a b, là các số dương Chứng minh rằng:
3
3 3
)
)
a A
b B
= + ≥
+ + +
= ≥ ÷
Bài 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ
tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ nằm trong tam giác Các
đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P Chứng minh:OM ON OP
AM + BN +CP không đổi.
……….HẾT………
HƯỚNG HẪN CHẤM – BIỂU ĐIỂM
Trang 2Câu Nội dung Biểu điểm
Bài 1 Ta cĩ: a3 + 4a2 -29a +24
= a3 – a2 +5a2 – 5a – 24a + 24
= a2(a – 1) + 5a(a – 1) + 24(a – 1)
= (a – 1)(a2 + 5a – 24)
= (a – 1)[a2 – 3a + 8a – 24]
= (a – 1)[a(a – 3) + 8(a – 3)]
= (a – 1)(a – 3)(a + 8)
0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5
2
x
+ + = + + ÷+
= + ÷ + ≥
Dấu “=” xảy ra khi x = - 1
2
Vậy GTNN của biểu thức A = 3
4 khi x = -1
2
b)Ta cĩ
P = 5n+2 + 26.5n + 82n+1
= 5n.52 + 26.5n +82n.8
= (25.5n + 34.5n) + (82n.8 – 8.5n)
= 59.5n + 8(64n 5n)
= 59.5n + 8(64-5)(64n-1 + 64n-2.5 + …+5n-1)
= 59.5n + 8.59(64n-1 + 64n-2.5 + …+5n-1)
= 59[5n +8(64n-1 + 64n-2.5 + …+5n-1)]Chia hết
cho 59
Vậy P = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 với
mọi n∈N
0.5 0.5 0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25
Bài 3 a)Với a > 0, b > 0
a b 2ab 4ab
4ab
ab a b
≥ ⇔ + ≥
+
+
⇔ + ≥
+
2
2
Ta có: (a - b)
(a + b)
(ĐPCM)
b)Với a > 0, b > 0=> a + b > 0
0.25 0.25 0.5 0.5 0.5
0.25
Trang 3( )
3
3 3
2
2
2
2
a b
a b
+ +
≥ ÷
+
⇔ − + ≥ ÷
Vậy
3
3 3
≥ ÷
0.5 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 4
a) Ta có: ∆AHE= ∆BEF= ∆CFG= ∆DGH c g c( − − )
⇒ = = = (cạnh tương ứng)(1)
180
90
180 90 90
HEF
Từ (1) và (2) suy ra từ giác EFGH là hình vuông
b) Gọi O là giao điểm của AC và EG
Ta xét ∆AOEvà ∆COG
( )
OGC OEA slt
AE GC gt
EAO GCO slt
=
=
=
Suy ta ∆AOE= ∆COG(g-c-g)
;
OA OC OE OG
Hình vẽ chính xác đạt 0.5
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.5 0.25
Trang 4Vậy O là tâm 2 hình vuông ABCD và EFGH
Từ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất khi E, F, G, H
là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA
Gọi cạnh của hình vuông EFGH là a
Chu vi hình vuông EFGH là 4a
Chu vi hình vuông EFGH nhỏ nhất khi a nhỏ nhất
2
a
a nhỏ nhất khi OE nhỏ nhất
Vậy E là trung điểm của AB, F là trung điểm của
BC, G là trung điểm của Cd, H là trung điểm của
DA
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Bài 5
Kẻ AH vuông với BC, OK vuông với BC
Xét hai tam giác MAH và MOK
Do OK // AH
Nên
1 2 1 2
OBC ABC
Tương tự:
(2)
(3)
OAC ABC OAB ABC
S ON
S OP
=
=
Công vế với vế (1),(2),(3) ta được
1
OBC OAC OAB ABC ABC
ABC
S
S
Hình vẽ chính xác đạt 0.5
1
0.5 0.5
0.5 0.5
Trang 5Vậy OM ON OP
* Lưu ý: Học sinh lảm cách khác đúng vẫn đạt trọn số điểm.
