Đề thi và đáp án thi thử ĐH_19

Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ.. Biết diện tích của hình vuông ABCD là

Sở GD & ĐT Nghệ An

Trường THPT Phan Đăng Lưu

Đề thi thử đại học lần I Năm học 2009 – 2010

Môn thi: Toán; Khối B, D

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Phần chung cho tất cả thí sinh (8 điểm):

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (1 - x)3

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (1 - x )3, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5)

Câu II (2 điểm)

1 Giải hệ phương trình

4 8 4 15 0





2 Giải phương trình cos 3x+6 sinx=3, với ẩn x∈ℝ

Câu III (2 điểm)

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y = x – x2 và y = x3 – x

2 Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

a +b +c ≥ a + b+ c

Câu IV (2 điểm)

1 Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao bằng nhau Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ Biết diện tích của hình vuông ABCD là 100 m2 Tính diện tích xung quanh của hình trụ và cosin góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(-6; 0; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với đường thẳng BC và khoảng cách giữa đường thẳng

BC và mặt phẳng (P) bằng 3 22

11

Phần riêng (2 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu Va (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD, có giao điểm của AC và BD là I(2; 1) Các

điểm M(-1; 1), N(1; 0), P(3; -1), Q(-1; 2) lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1 3

B Theo chương trình Nâng cao

Câu Vb (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là xư 3yư =2 0 và hai điểm phân biệt A(1; 3 ), B không thuộc đường thẳng d Lập phương trình đường thẳng AB; Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d

2 Giải bất phương trình logx(log2(4xư6) )≤1, với ẩn x là số thực

- Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ……… ; Số báo danh ………

Sở GD & ĐT Nghệ An

Trường THPT Phan Đăng Lưu

đáp án và biểu điểm Đề thi thử đại học lần I

Năm học 2009 – 2010 Môn: Toán; Khối B,D

Hàm số có tập xác định là ℝ ; y’ = -3(1 – x)2; ' 0,y ≤ ∀ ∈x ℝ; 'y = ⇔ =0 x 1 Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ 0 25 Hàm số không có cực trị; ;

Lim y Lim y

x ư∞ 1 +∞

y’ - 0 -

y

0.25

0.25

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị số y = (1 - x )3 , tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5)

Nếu x0 > 0 thì phương trình tiếp tuyến đó là y = -3(1 – x0)2(x – x0) + (1 – x0)3 0.25 Vì tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5) nên ta có 5 = -3(1 – x0)2( – x0) + (1 – x0)3 (1)

(1) ⇔ 2x03 – 3x02 – 4 = 0 ⇔ (x0 – 2)(2x02 + x0 + 2) = 0 ⇔x0 = 2 (thỏa mãn x0 > 0) Vậy phương

trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (1 - x )3 tại điểm có hoàng độ dương là y = -3x + 5 0.25 Vì đồ thị hàm số y = (1 - x )3 đối xứng nhau qua trục tung và điểm A nằm trên trục tung nên tiếp tuyến có

x0 < 0 đối xứng với tiếp tuyến có x0 > 0 qua trục tung 0.25 Tại x0 = 0 hàm số y = (1 - x )3 không có đạo hàm nên không có tiếp tuyến tại đó

Vậy phương trình tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là y = -3x + 5 và y = 3x + 5

(Nếu thí sinh không nêu được trường hợp x 0 = 0, thì vẫn cho điểm)

0.25 +∞

ư∞

Câu II 2.0

1 Giải hệ phương trình

4 8 4 15 0 (1)





2 3 0

( )

2 2 5

2 3 2 5 0

4 8 4 15 0

( )

2 2 5

I

II













(HD: Để đưa phương trình (1) về PT tích như vậy TS có thể biến ủổi thành hiệu hai bỡnh phương

hoặc thêm bớt rồi đặt nhân tử chung hoặc xem (1) là phương trình bậc hai theo x, giải x theo y rồi

phân tích thành nhân tử hoặc nhõn (2) với 3 rồi cộng với (1) rồi ủưa về nhõn tử)

0.5

( )

1, 2

2 2 5 2 6 4 0

I

1, 2

2 2 5 10 30 20 0

II

0.25

(1)⇔4 cos xư3cosx+3(2 sinxư = ⇔1) 0 cos (4 cosx xư +3) 3(2 s inx 1)ư =0 0.25

2

cos (1 4 sin ) 3(2 s inx 1) 0 1 2 sin cos 2 sin cos 3 0

cos 2 sin cos 3 0 ( )



⇔



0.25

2

5 2

2 6





( )b ⇔cosx+sin 2xư =3 0 Vì cosx ≤ 1 và sinx ≤ 1 nên PT (b) vô nghiệm

Vậy nghiệm của PT đã cho là

2 6

5 2 6

k



= +



∈





Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT x - x2 = x3 - x ⇔ x3 + x2 – 2x = 0 ⇔

0 1 2

x x x

=



 =



 = ư



0.25

1

2

2

ư

=

8 5 37

ư

37 12

2 2 2

a +b +c ≥ a + b + c (1)

Ta có 12 12 2 2 ;c 12 12 2 2 ;a 12 12 2 2 b

a +b ≥ = b +c ≥ = c +a ≥ = Suy ra 12 12 12 a b c

Tương tự cho a, b, c ta có a + b + c ≥ ab bc ca 1 1 1

+ + = + + (3) Từ (2) và (3) Ta có (1)

0.5

Gọi E là hình chiếu của B trên mặt đáy dưới suy ra DE là đường kính

(Vì DC⊥CB nên DC⊥CE)

Gọi bán kính đáy của hình trụ là r suy ra BE = r và DE = 2r Vì

ABCD là hình vuông có diện tích bằng 100m2 nên DC = CB = 10 m

0.25

Từ tam giác DCE vuông tại C và tam giác BCE vuông tại E suy ra

DE2 – DC2 = BC2 – BE2, suy ra 4r2 – 100 = 100 – r2 Vậy r = 2 10 0.25

Sxq = 2πrh = 2πr2 = 80 π (m2) 0.25 Vì EC⊥DC, BC⊥DC nên góc((EDC); (ABCD)) = góc(EC; BD) =

CE BCE

BC

Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với BC, suy ra PT đường thẳng d là

3 2 2

z

=





=



 =



và mp(P) chứa

đường thẳng d Do đó mp(P) đi qua điểm A và A’(3; 2; 2)

0.25

Gọi phương trình mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0 (ĐK A2 + B2+C2 > 0) Vì (P) đi qua A, A’ nên

C D

+ =







0.25

, ( ) ( ; ( ))

11

B D

d BC P d B P

+

Từ đó ta có hệ

C D







Nếu B=0 thì A=0 và C=0 nên không thỏa mãn điều kiện Do đó

B khác 0 vì vậy chọn B = 3 suya A = -2, C = 3, D = -6 hoặc A = -2, C = 225/13, D = -450/13 Vậy

phương trình mặt phẳng (P) là 2x – 3y – 3z + 6 = 0 hoặc 2x – 3y – (225/13)z + 450/13 = 0

(TS cú thể giải bằng cỏch gọi PT mp (P) ủi qua A là …, rồi giải hệ n BC P =0và d(B, (P)) =3 22

11

)

0.25

Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua I, suy ra M’(5; 1) và M’ thuộc đường thẳng CD Do đó phương trình

của đường thẳng CD là x – y – 4 = 0 Gọi Q’ là điểm đối xứng với Q qua I, suy ra Q’(5; 0) và Q’ thuộc

đường thẳng BC Do đó phương trình của đường thẳng BC là y = 0 Suy ra điểm C(4; 0)

0.5

Điểm A đối xứng với C qua I nên A(0; 2) Do đó phương trình của đường thẳng AB là x – y + 2 = 0 Do

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (ĐK A2 + B2 - C > 0)

0.25

A

B

C

D

E

F

Vì đường tròn đi qua A, B, C nên ta có hệ

ư + + =  = ư

Vậy phương trình đường tròn

cần tìm là x2 + y2 – 2x + 2y – 8 = 0

Gọi z = a + bi (a, b là số thực) Khi đó

2 2

1 1

a bi

a b

ư +

b

Vậy số phức càn tìm là z = 1 + i

0.5

Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng d, H là hình chiếu vuông góc của B trên d Vì BM = 2 BH nên góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng d bằng 300 0.25

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3 ) nên PT đường thẳng AB: m (x - 1) + n (y - 3 ) = 0 (m2 + n2 > 0)

Vì góc giữa đt AB và đt d bằng 300 nên 0

3 cos 30 2

m n

ư

= +

0.5

Giải

2 2

m n

ư

= + được m = 0, n = 1 hoặc m = 3 , n = -1

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3 hoặc 3 x - y = 0

0.25

Điều kiện xác định của BPT là 0, 1 log 74 1

4x 6 1

x

> ≠



⇔ > >



ư >

Khi đó logx(log2(4xư6) )≤ ⇔1 log2(4xư ≤ ⇔6) x 4xư ≤6 2x (*) 0.25

Đặt t = 2x, Bpt (*) trở thành t2 – t – 6 ≤ 0 Giải được -2 ≤ t ≤ 3, hay -2 ≤ 2x ≤ 3 suy ra x ≤ log23 0.25 Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của Bpt là log47 < x ≤ log23 0.25

-Hết -