ĐỀ 8 và đáp án THI học SINH GIỎI môn TOÁN cấp HUYỆN mới

Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đềa Hai người đi xe máy cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ B đến A, với vận tốc gấp hai lần người thứ nh

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

a) Hai người đi xe máy cùng một lúc, người thứ nhất đi từ A đến B

và người thứ hai đi từ B đến A, với vận tốc gấp hai lần người thứ nhất

Sau bốn giờ hai người gặp nhau Tính thời gian của mỗi người khi đi hếtquãng đường AB

b) Chứng minh rằng 21 + 21 =1

x +1 y +1 khi và chỉ khi xy 1

Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD; trên tia đối của tia BA lấy E,

trên tia đối CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân;

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trungđiểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 8 Bài 1: (2,0 điểm)

b)

3

x -x+2 2 2P= x + -1; P nguyên x U(2)

Cho x= 0 thì f(0) = 0 vậy x=0 là nghiệm của pt f(x) = 0 0,25

Cho x = -2 thì f(-1) = 0 vậy x = -1 là nghiệm của pt

Thời gian người thứ nhất 12(h) 0,25

t t

x=

y1x=-y

KL a) Chứng minhEDF vuông cân;

1 2

Chứng minh EDF vuông cân

a2 –a + b2 –b + 1=(a-1/2)2 + (b-1/2)2 +1/2≥1/2

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

1

1 : 1

1

x x x

x x

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x   132

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường

thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M

Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh

1 ( ) 1 (

) 1 ( 1

3 2

2 2

3

3 3 4 5

4 5

x x x x

x x

x x x x

x x

0,250,250,25

b)

) 2 ( ) 2 ( 4 ) 4 4 ( 4

2 2

2 2

2 2 2

4 4

x x

x x

0,25

x x x x x

x x x

x x x

)(

1 (

2

2

x x x

x x x

x x x x

5 (

9

25 1

27

2 10 27

272 3

8 9

34





DM AM

0,25Chứng minh tương tự: ON( 1  1 )  1

 S AOB.S DOC S BOC.S AOD 0,25

 S AOB.S DOC  (S AOD)2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 0,25

B A

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giaođề)

ĐỀ SỐ 3

Bài 1: (2,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 3x2 – 7x + 2;

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi

E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lầnlượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

UBND HUYỆN

Môn thi: Toán - Lớp 8

Bài 1: (2,0 điểm).

Chứng minh : BEODFO g c g(   ) 0,5

Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)

Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

0,25

0,25

ĐỀ SỐ 4

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

 a b  c a b c     b c a a b c

Khi dấu " = " xảy ra thì tam giác đó là tam giác gì ?

Bài 5: ( 3.5 điểm )

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường

thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M

2 1 1

Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 8

Thì C = 11 1  n

n 11 1   + 4 11 1  n + 1 = a 10n + a + 4 a + 1

=> 0< ( a + b - c )( a - b +c) = a2 - ( b - c )2  a2 (1) Tương tự có 0< ( a + b - c )( b + c - a ) = b2 - (a - c)2  b2 (2)

0< ( a - b + c )( b + c - a ) = c2 - (a - b)2  c2 (3)

Từ (1) ; (2) và (3) => 0 <  a b  c 2 a b c   2 bc a2 a2 2 2b c

=> a b  c a b c     b c a a b c

0.25

Dấu "=" xảy ra khi đẳng thức ở (1); (2) và (3) xảy ra

=> a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều 0.25

 S AOB.S DOC  (S AOD)2

Thay số để có a2.b2 = (SAOD)2  SAOD = ab 0.25

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giaođề)

x x

x

x

3

1 3 1

4 2 : 3 1

2 3

b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

c) Tính giá trị của biểu thức A tại x 2 3

Bài 2: (2 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Các đường cao AE, BF cắt nhau tại

H Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt

AB, AC lần lượt tại I và K

a Chứng minh ABC đồng dạng EFC

b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, ABtheo thứ tự tại N và D Chứng minh NC = ND và HI = HK

c Gọi G là giao điểm của CH và AB Chứng minh:AH BH CH 6

Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 8 Bài 1: (2 điểm)

3

1 3 3

x x x

x

0,25đ0,75đ

b) A nhận giá trị nguyên khi x nguyên và x- 1 chia hết cho

3

Ta có :x - 1 = 3k  x = 3k + 1 ( với k nguyên )

0,5đ

Vậy với x = 3k + 1 ( k nguyên ) thì A nhận giá trịnguyên

0,25đ

E A

Vì CN //IK nên HM CN  M là trực tâm HNC 0,25đ

 MN CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD

0,25đ

Do M là trung điểm BC nên  NC = ND 0,25đ

c)

Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giaođề)

1) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

c a

b a

c b

a

2) Tìm các số nguyên n để biểu thức A = n4 + 2n3 + 2n2 + n + 3 là một số

chính phương

Bài 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy

điểm F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC

và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2) Chứng minh rằng: 2 2 2

3) Xác định vị trí của E và F lần lượt trên AB và AD để diện tích tam giác

BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH

Họ và tên thí sinh: ; Số báo

danh

UBND HUYỆN

Môn thi: Toán - Lớp 8

 > 0 với x 0,x 2,x 8thì -x2 và x + 2 cùng dấu mà –x2 < 0 với mọi x0 => x+2 < 0

3 0

x y x

2 2 0

3 0

x y x

x y

 

2 2 2

0 0

1 0

0

3 3

c a

b a

c b

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

Lại có (x – y)2 0 với mọi x,y => x2 + y2 2xy

=>

2 2

2

x y xy



 (do x,y > 0) => x y 2

y x  ,

0,25

B A

ΔADMvADM và ΔADMvBAFcó: DAM = ABF   (cùng phụ BAH),

AB = AD (do ABCD là hình vuông) BAF = ADM = 90   0 (do ABCD là hình vuông)

0,25

 ΔADMvADM = ΔADMvBAF(g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt)

=> AE = DM 0,25

Tứ giác AEMD có: AE = DM và AE // DM (vì AB // DC ) 0,25Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành mà DAE = 90  0 (gt)

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0,252)

Ta có:

2 CBH

<=> E là trung điểm của AB

Mà AE=AF và AB = AD nên F là trung điểm của ADVậy khi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD thì SCBH = 4SEAH

N

M

C B

A

Kẻ đường phân giác BM, ta chứng minh được: AM =

c a

c b a

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử

1 3

27

: 3

3 3

1005 1004

1003 1006

Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB

và MF vuông góc với AD

a Chứng minh DE  CF; EF = CM

b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui

c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

_ Hết _

(Đề thi gồm 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ; Số báo danh

4 x  x x

x

=( 4 2 2 1 ) ( 3 )

x x x

1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

1

2 3 2

2 2

2 2

3

2 2 3 4 3 4 5

x x x

x x x

x x

x x x x x x x x

) 2 1 2 )(

2 1 2

(

) 2 ( ) 1 2

(

4 1 4 4

1 4

2 2

2 2

2

2 2

4 4

x x

x x

x x

x x

1 3

27

: 3

3 3

x A

3 ( 3

: ) 3 (

3 3

x x

x

x x

x

ĐKXĐ: x  0 ;x  3

) 3 )(

3 ( 3

) 3 ( 3 :

) 3 ( 3

9 ) 3

x x

x x

x x

9 3

) 3 )(

3 ( 3 ) 3 ( 3

9 3

2 2

x x x

x

x x

0 3

0 1 ) 3 ( 1

x x x x A

2 2 3

0 2

0 )

1 )(

2 (

0 )

2 (

) 2 (

2 2

2 2

x x x x

x x

x x

x

x 2 =-1 vô lí Vậy phương trình có nghiệm x=-2

4 1000

1007 1002

1005 1004

1003 1006

2007 1002

2007 1004

2007 1006

2007

0 1 1000

1007 1

1002

1005 1

1004

1003 1

1006 1001

x x

x x

x x

2007

0 2007

0 ) 1000

1 1002

1 1004

1 1006

1 )(

2007 (

Vậy phương trình có nghiệm x=2007

Chứng minh: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc với mọi số a, b, c

2 ) (

2 a2 b2 c2  abbcac



ca bc ab c b

M

EF

 EDC + DCF = EDC + ADE

EDC + ADE = 900nên DE  CF

TRƯỜNG THCS LÂM THAO

HUYỆN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN 8

Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

1

1 : 1

1

x x x

x x

Cho hình thang ABCD cóA D  = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếucủa D lên AC; M,P,Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD

a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giácvuông cân

b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành

c) Chứng minh AQ vuông góc với DP

d) Chứng minh S ABCD  6S ABC

x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

5 (

9

25 1

27

2 10 27

272 3

8 9

Vì a N và a > 1 nên a là số tự nhiên Ngoài ước là 1 và chính A, nó còn có thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2) 0,25

+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau

lại có A=900 nên ABMD là hình vuông 0,25+/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và

BM = 1

2DC BMD vuông tại B 0,25lại có BDM = 450  BMD vuông cân tại B 0,25

Đề số 9

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015-2016 Môn thi: TOÁN – Lớp 8

Thời gian 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 4 ( 1,5 điểm ) Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia

thi phải trả lời 10 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại,mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểmtrở lên thì được thưởng Hỏi: Một học sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ítnhất bao nhiêu câu hỏi ?

Bài 5 (3,5 điểm):: Cho ABCcó A 90  , AB = 5cm, AC = 12 cm AD là đường phân giác của góc A Gọi E, F lần lượt là chân của đường cao hạ từ D xuống

AB, AC BF cắt CE tại M

a, CMR: EF  AD

b, Tính độ dài BD

c, Tính diện tích tứ giác AEDF

d, CMR: diện tích tứ giác AEMF bằng diện tích tam giác BMC

*********************** HẾT ************************

Đề thi này gồm có 01 trang.

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không cần giải thích gì

0,250,25b) Ta có: 10x2  50y2  42xy 14x 6y 57 < 0

Phần Đáp án Điểma)

x x

Gọi x là số câu trả lời đúng (x nguyên và 0  x  10)

Số câu trả lời sai là: 10 – x

Số điểm được cộng là 5.x

Số điểm bị trừ là: 2.(10 – x)

Nếu được thưởng thì phải đạt từ 30 điểm trở lên, nên ta có:

5x – 2.(10 – x)  30

Giải bất phương trình trên được: x  8 (thỏa ĐK)

Vậy: Để được thưởng, học sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu hỏi.

0,5

0,50,5

Bài 5: ( 3,5 điểm )

Hình

a) Ta có: A E F     90  nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật, mà

AD là phân giác của BACnên AEDF là hình vuông 0,5

b)

Xét ABC có: BAC   90

5 12 169 13

17

DC AC DB

0,25

Ghi chú: Mọi cách giải mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa

ĐỀ SỐ 10

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp: 8

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

b) Tìm x để P > 0

c) Với x > 2, x ≠ 3 Tìm GTLN của biểu thức P(x+1)

Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM Gọi D

và E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC

a, Chứng minh rằng AD.AB = AE.AC

b, Chứng minh rằng AM vuông góc với DE

c, Tam giác ABC phải có điều kiện gì để diện tích tứ giác ADHE bằng nửa diệntích tam giác ABC

Bài 5: (2,0 điểm)

a) Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9

a  b  c b) Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002

Tính: a2011 + b2011

- HẾT -

(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh

0,25

Bài 2: (2,0 điểm)

 c a

 Tam giác ABC vuông cân tại A

0,5

0,5

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán Lớp: 8

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)

c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A đạt giá trị nguyên

Bài 2 (2 điểm): Phân tích các đa thức thành nhân tử

3 15

8

2 6

5

1

2 2

Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H

BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D

cắt AC tại E

a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và

BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: Toán - Lớp 8

Bài 1 (2 điểm)

+) 1 – a = 3  a = -2 ( Không thoả mãn điều kiện xác định của a )

+) 1 – a = -3  a = 4 Z và thoả mãn điều kiện xác định của a Vậy với a = 4 thì A đạt giá trị nguyên

Bài 3 (2 điểm)

BC  BC  AC (do BECADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

Do đó BHM  BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC  135 0  AHM  45 0

0.25

0.25 0.25 0.25

c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Bài 5( 1 điểm)

Từ giả thiết =>

b a

) y x ( b

y a

1 b

a

y x b

y a

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 2

Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 8

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề)

và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH

-Hết -(Đề thi gồm: 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : ; Số báo danh :

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 8

Với n = 2 suy ra: A = 15n2 - 16n - 15 = 15.22 - 16.2 -15 = 13 là số nguyên tố

KL : Vậy n = 2 thì giá trị của biểu thức A là số nguyên tố 0.25

H F

E

B A

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25

= 4 AE

 

  

  nên BC2 = (2AE)2

 BC = 2AE  AB = 2AE nên E là trung điểm của AB,Suy ra F là trung điểm của AD

 2 22

0

   đúng  a, b > 0

Lưu ý khi chấm bài:

- Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần

theo thang điểm tương ứng.

- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.