Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.. Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại điểm N.. a Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đ
Trang 1TRƯỜNG THPT H ẬU LỘC 2 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 - NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y x= 3−3mx2+3 m( 2−1 x) (− m2−1) ( m là tham số) (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0.=
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: 2sin 2x 4sin x 1 0
6
π
2 Giải hệ phương trình: ( ) ( )
x y x y 13
x, y
x y x y 25
Câu III (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a,= = cạnh SA
vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 Trên cạnh o SA lấy điểm M sao choAM a 3
3
= Mặt phẳng (BCM cắt cạnh ) SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Câu IV (2 điểm)
1 Tính tích phân:
6
2
dx I
2x 1 4x 1
=
∫
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin8x + cos42x
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a.( 3 điểm ) Theo chương trình Chuẩn
1 Cho đường tròn (C) : ( ) (2 )2
x 1− + −y 3 =4 và điểm M(2;4) a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M
là trung điểm của AB
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) có hệ số góc k = -1
2 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n 2≥ ) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm
đã cho Tìm n
Câu V.b.( 3 điểm ) Theo chương trình Nâng cao
1 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của ( 2 )100
x +x , chứng minh rằng:
2 Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 4x +2y – 4 = 0 và (C2) : x2 + y2 -10x -6y +30 = 0
có tâm lần lượt là I, J
a) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm tọa độ tiếp điểm H
b) Gọi (d) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2) Tìm tọa độ giao điểm K của (d) và đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H
Hết
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2trờng thpt hậu lộc 2 đáp án đề thi thử đại học lần 1 năm học 2008 - 2009
Môn thi: toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I
2.0đ
1 1,25đ
Với m = 0 , ta có :
y = x3 – 3x + 1
- TXĐ: R
- Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn : xLim y→−∞ = −∞; Lim yx→+∞ = +∞
+) Bảng biến thiên:
Ta có : y’ = 3x2 – 3 y’ = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞) , nghịch biến trên khoảng ( -1; 1)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, giá trị cực đại của hàm số là y(-1) =3 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) =-1
- Đồ thị + Điểm uốn : Ta có : y’’ = 6x , y" = 0 tại điểm x = 0 và y" đổi dấu từ dơng sang âm khi x qua điểm x = 0 Vậy U(0 ; 1) là điểm uốn của đồ thị + Giao điểm với trục tung : (0 ;1)
+ ĐTHS đi qua các điểm : A(2; 3) , B(1/2; -3/8) C(-2; -1)
0,25 0,25
0,25
0,5
2 0.75đ
Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng, ta phải
có :
( ) ( )
( )1 2
y ' 1 2
0
x 0
x 0
y 0 0
>
>
>
<
V
(I)
Trong đó : y’ = 3( x2 – 2mx + m2 – 1)
∆y’ = m2 – m2 + 1 = 1 > 0 với mọi m y’ = 0 khi x1 = m – 1 = xCĐ và x2 = m + 1 = xCT
2
m 1 0
m 1 0
3 m 1 2
m 1 m 3 m 2m 1 0
− >
+ >
0,25
0,5
y’
y
+
+∞
−∞
-1
+ 0
-1
3
-1
6 4 2
-2 -4
y
x
Trang 32,0đ
1
1,0đ
Ta có : 2sin 2x 4sin x 1 0
6
π
⇔ 3 sin2x – cos2x + 4sinx + 1 = 0
⇔ 3 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0
⇔ sinx ( 3 cosx + sinx + 2 ) = 0
⇔ sinx = 0 (1) hoặc 3 cosx + sinx + 2 = 0 (2) + (1) ⇔ = πx k
+ (2) 3cosx 1sin x 1
sin x 1
3
π
5
6
π
0,25
0,5
2
1,0đ
x y x y 13 1
x y x y 25 2
( ) ( )
x xy x y y 13 1'
y xy x y x 25 2'
Lấy (2’) - (1’) ta đợc : x2 y– xy2 = 6 ⇔(x y xy 6− ) = (3) Kết hợp với (1) ta có :
x y x y 13
I
x y xy 6
2
I
đặt S = x +z và P = xz ta có :
( 2 ) 3
S S 2P 13 S 2SP 13 S 1
P 6
SP 6
SP 6
Ta có : x z 1
x.z 6
+ =
Hệ này có nghiệm
x 3
z 2
=
= −
hoặc
x 2
z 3
= −
=
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là : ( 3 ; 2) và ( -2 ; -3 )
0,25
0,25
0,25
0,25
III
1.0đ 1đ Ta có ( SAB) ⊥( BCNM) và
(SAB) (∩ BCNM) =BM
Từ S hạ SH vuông góc với đờng thẳng BM thì SH ⊥(BCNM) hay SH là đờng cao của hình chóp SBCNM
Mặt khác :
SA = AB.tan600 = a 3 Suy ra : MA = 1
3SA Lại có : MN là giao tuyến của của mp(BCM) với mp(SAD), mà
BC // (SAD) nên NM // AD và MN // BC
Do đó : MN SM 1 MN 2a
AD = SA = ⇒3 = 3 Vì AD ⊥(SAB) nên MN ⊥(SAB) , suy ra MN ⊥BM và BC ⊥BM Vậy thiết diện của mp(BCM) với hình chóp SABCD là hình thang vuông BCNM
Ta có : SBCNM = 1(MN BC BM)
0,5
N
D
A
S
M H
Trang 4Trong đó : BC = 2a , MM 2a
3
= và BM = AB2+AM2 = 2a 3
3
2a 2a
1 3 2a 3 4a 3
=
Khi đó : VSBCNM = 1
3SH SBCNM Tính SH : Ta có ∆MAB : ∆ MHS , suy ra :
SH MS
AB =BM SH MS.AB
MB
2a 3 a
2a 3 3
=
Vậy : VSBCNM = 1
3.a
2
4a 3
9 =
3
4a 3 27
0,5
IV
2đ
1
1.0đ
đặt t= 4x 1+ , ta có dt = 2dx
4x 1+ hay
t
2dt = dx và
2
t 1 x
4
−
=
Khi x = 2 thì t = 3 và khi x= 6 thì t = 5 Khi đó :
5 2 3
tdt I
t 1
2
=
( )
5
2 3
tdt
t 1+
3
dt
t 1 t 1
∫
=
5
3
1
ln t 1
t 1
3 1 ln
2 12−
0,25
0,5
2
1.0đ
Đặt t = cos2x (− ≤ ≤1 t 1) thì sin2x = 1 t
2
−
+ ( ) 3 1( )3 1 3 ( )3
f ' t 4t t 1 8t t 1
1 2t t 1 4t 2t t 1 t 1
3t 1 7t 4t 1
Bảng biến thiên
Qua bảng biến thiên ta có : miny = 1
27 và maxy = 3
0,25
0,5
Va
3đ
1a
Đờng tròn (C) : ( x – 1)2 + ( y – 3 )2 = 4 có tâm I ( 1 ; 3) và bán kính
R = 2
Ta có : (d) : qua M ( )d : qua M ( )d : Qua M 2;4( ) ( )
⇔(d) : x – 2 + y – 4 = 0 ⇔(d) : x + y – 6 = 0
0,25 0,5 0,25
t f’(t)
f(t)
+ 0
-3
1 27
1
Trang 5Đờng thẳng (d) với hệ số góc k = -1 có dạng : y = -x + m hay x + y – m =0 (1)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đờng tròn (C) ⇔kc(I,(d)) = R
1 2
2
+ Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn đề bài là : x + y – 4 2 2± = 0
0,25
0,5 0,25
2
Theo đề ra ta có : 3 3 3
C + −C −C =2800 ( n 2≥ )
2800 3! n 7 ! 3!7! 3! n 3 !
+
(n 10 n 9 n 8) ( ) ( ) 10.9.8 n n 1 n 2( ) ( ) 2800.6
⇔n2 + 8n – 560 = 0 ⇔ n 20 2
n 28
= − <
=
Vậy n = 28
0,25 0,25
0,25 0,25
Vb
3.0 đ
1
Ta có : [(x2 + x )100]’ = 100(x2 + x )99( 2x +1) (1)
x +x =C x +C x +C x + +L C x +C x
x x ' 100C x 101C x 199C x 200C x
Từ (1) và (2) ta thay x 1
2
= − , ta đợc
0.25
0.5 0,25
2a
(C1) có tâm I( 2 ; -1) và bán kính R1= 3 (C2) có tâm J(5;3) và bán kính R=2
Ta có : IJ2 = ( 5 – 2)2 + ( 3 + 1)2 = 25 ⇒ IJ = 5 = R1 + R2 Suy ra (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau Tọa độ tiếp điểm H đợc xác định
H
H
19 x
2HI 3HJ
7
5
uur uuuur
0,25 0,25 0,5
2b
Có : 2KI 3KJuur uuuur= ( ) ( )
( II KK) ( JJ KK) KK
y 11
2 y y 3 y y
=
Đờng tròn (C) qua K , tiếp xúc với (C1) , (C2) tại H nên tâm E của (C) là trung điểm của KH : E 37 31;
5 5
Bán kính (C) là EH = 6
Phơng trình của (C) là :
2
0,5
0,5
