GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông thường mà còn thường gặp trong các đề thi chọn họ
Trang 1GIÚP HỌC SINH ÔN TẬP TÍNH NHANH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Các dạng toán tính nhanh giá trị biểu thức không chỉ có trong các kì kiểm tra thông thường
mà còn thường gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi toán Tuy nhiên, khi gặp các dạng toán loại này nhiều em học sinh vẫn tỏ ra lúng túng hoặc bài toán yêu cầu tính nhanh mà mình lại đi
"tính chậm".
Chúng ta cùng tìm hiểu qua các bài toán sau :
1 Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau:
A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 + … + 0,19 ( 19 số hạng)
(Đề thi HSG lớp 5, TP Hà Nội, năm 2000)
Giải: Ta có: M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9
= (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5
= 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5
N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19
= (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15)
= 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29
= 0,29 x 5 = 1,45
Vậy: A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95
2 Vận dụng tính chất của dãy số cách đều
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
Giải: Cách 1
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = 101 + 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 Cộng vế với vế ta có:
2 x S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + (4 + 98) + … + (100 + 2) + (101 + 1)
2 x S = 102 + 102 + 102 + 102 + … + 102 + 102 (có 101 số 102)
2 x S = 102 x 101 = 10 302
S = 10 302 : 2 = 5151
Cách 2 Viết thêm số 0 vào tổng đã cho.
S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 100 + 101
= (0 + 101) + (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51)
= 101 + 101 + 101 + … + 101
Tổng trên có 102 số hạng nên số cặp ghép được là: 102 : 2 = 51 (cặp)
Vậy S = 101 x 51 = 5151
Trang 2Cách 3 Viết thêm số 102 vào tổng đã cho.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S + 102 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101 + 102
S + 102 = (1 + 102) + (2 + 101) + (3 + 100) + … + (51 + 52)
S + 102 = 103 + 103 + 103 + … + 103
S + 102 = 103 x 51 = 5253
S = 5253 - 102 = 5151
Cách 4 Tách số hạng đầu tiên đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = 1 + (2 + 101) + (3 + 100) + (4 + 99) + … + (51 + 52)
S = 1 + 103 + 103 + 103 + … + 103
S = 1 + 103 x 50 = 1 + 5150 = 5151
Cách 5 Tách số hạng cuối cùng đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) + 101
S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
S = 101 x 50 + 101 = 101 x 51 = 5151
Cách 6 Tách riêng số hạng ở chính giữa đứng một mình
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 + 101
S = (1 + 101) + (2 + 100) + (3 + 99) + … + (50 + 52) + 51
S = 102 + 102 + 102 + … + 102 + 51
= 102 x 50 + 51 = 5100 + 51 = 5151
3 Vận dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân
Ví dụ : Tính nhanh:
B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
Giải: B = 8 x 5 x 125 x 4 x 2 x 25
B = (5 x 2) x (8 x 125) x (4 x 25)
= 10 x 1000 x 100
= 1 000 000
4 Vận dụng quy tắc nhân một số với một tổng
Ví dụ : Tính bằng cách nhanh nhất:
241,324 x 1999 + 241,324
(Đề thi HSG lớp 5, tỉnh Hà Tĩnh, năm 2002) Giải: 241,324 x 1999 + 241,324
= 241,324 x 1999 + 241,324 x 1
= 241,324 x (1999 + 1)
= 241,324 x 2000 = 482 648
5 Vận dụng quy tắc nhân một số với một hiệu
Ví dụ : Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993
Tính hiệu B - A mà không tính riêng tích A và tích B
(Thi HSG lớp 5 toàn quốc, năm học 1992 - 1993) Giải: B - A = 477 x 1993 - 1993 x 427
Trang 3=1993 x (477 - 427)
= 1993 x 50 = 99 650
6 Vận dụng tính chất "a x 0 = 0"
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +
2
1 : 1 2
1
- 1 3
1 )
(Thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)
Giải:
Ta có: 1 +
2
1
: 1 2
1
- 1 3
1 = 1 +
2
1 : 2
3
- 1 3 1
= 1 +
2
1
x
3
2
- 1
3
1 = 1+
3
1
- 1 3
1 = 1 3
1
- 1 3
1 = 0
Vậy:
(1999 x 1998 + 1998 x 1997) x (1 +
2
1 : 1 2
1
- 1 3
1 ) = (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x 0 = 0
7 Vận dụng tính chất "0 : a = 0" (với a khác 0)
Ví dụ : Tính nhanh:
(
2
1
: 0,5 -
4
1
: 0,25 +
8
1 : 0,125 -
10
1 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008)
Giải: Ta có:
2
1 : 0,5 -
4
1 : 0,25 +
8
1 : 0,125 -
10
1 : 0,1 =
2
1 : 2
1
- 4
1 : 4
1 + 8
1 : 8
1
- 10
1 : 10
1 = 1 -
1 + 1 - 1 = 0 Vậy: (
2
1 : 0,5 -
4
1 : 0,25 +
8
1 : 0,125 -
10
1 : 0,1) : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008) = 0 : (1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 + 2008) = 0
8 Sử dụng phương pháp khử liên tiếp
Ví dụ : Tính nhanh tổng sau:
A =
2
1
1
3 2
1
4 3
1
x + +
2008 2007
1
x
Ta có:
2
1
1
x = 1 -
2
1
; 3 2
1
2
1
- 3
1
; 4 3
1
3
1
- 4
1
; ;
2008 2007
1
2007
1
- 2008
1 Vậy ta có:
A = (1 -
2
1
) + (
2
1
- 3
1 ) + ( 3
1
- 4
1 ) + + (
2007
1
- 2008
1 ) = 1 -
2
1 + 2
1
- 3
1 + 3
1
- 4
1 + +
2007 1
-
2008
1
= 1 -
2008
1 = 2008
2007
9 Nhóm các số lại với nhau để có kết quả bằng 0
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức:
A = 181 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - 8 - 9 + 10 + 11 - 12 - 13 + 14 + 15 - 16 - 17 + 18 + 19
Ta nhóm lại như sau:
A = 181 + (3 - 4 - 5 + 6) + (7 - 8 - 9 + 10) + (11 - 12 - 13 + 14) + (15 - 16 - 17 + 18) + 19 = 181 + 0 + 0 + 0 + 0 + 19 = 200
Trang 410 Đưa về dạng toán "Tìm thành phần chưa biết của phép tính
Ví dụ : Tính nhanh:
4
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64
1 + 128 1
(Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001) Giải: Đặt:
S =
4
1
+
8
1
+
16
1 + 32
1 + 64
1 + 128 1 Cùng nhân 2 vế với 2 ta được:
S x 2 = (
4
1
+
8
1 + 16
1 + 32
1 + 64
1 + 128
1 ) x 2 =
2
1 + 4
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64
1
Ta thấy giữa S và S x 2 chỉ khác nhau ở hai số hạng đầu và cuối
Vậy: S x 2 - S =
2
1
- 128
1
Từ đó ta tính được: S =
128
63