Chương trình học trực tuyến trên Xuctu.com Thầy giáo: Nguyễn Quốc Tuấn Email: quoctuansp@gmail.com Đạ i số và giải tích 11-Chương 4: Giới hạn Phần I.. Giới hạn của dãy số A.. Bài tập
Trang 1Chương trình học trực tuyến trên Xuctu.com Thầy giáo: Nguyễn Quốc Tuấn Email: quoctuansp@gmail.com
Đạ i số và giải tích 11-Chương 4: Giới hạn
Phần I Giới hạn của dãy số
A Lý thuyết: Ta cần nhớ 4 giới hạn quan trọng sau:
1 lim1 0
n =
B Bài tập
Bài tập mẫu: Tìm các giới hạn sau:
a
3
lim
lim
5 2
lim
Hướng dẫn giải
a
( ) ( )
3 2
1
b
5 6
5
c
2
3
* Rút ra kết luận cho giới hạn của dãy số phân số dạng ( )
( )
n
A n u
B n
=
TH1: Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn của dạy số bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu
TH 2: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng 0
TH 3: Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng cộng hoặc trừ vô cùng
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:
Trang 2a
2
2
lim
n
3
lim
n n
3 7 2
lim
a
2
2
2
n
−
b
3
1
3
3
c
3
2
2
3
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
2
n n
2
2
2
3 3 2
2
2 2
lim
3
n
+ + − =
+
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
a 2 4.3
lim
5 7.3
n
+
3.2 5.7 lim
4 3.5
−
1 2 2 3
lim
+
+
−
a
2
4
5
n n
n n
n
+
Trang 3b
2
3
−
+
c
3
7
9
n
n
+
+
−
Bài tập tương tự
Bài tập 1: Tính cách giới hạn sau
a
8
lim
6 5
lim
2 12
3 9
lim
+ − + +
Bài tập 2: Tính các giới hạn sau
a
3 4
lim
n
n
3 2
lim
2 2
1 lim
n n n
+ +
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
lim 2n− n + +n 2
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
a 2 5
lim
4 6.5
n
+
3.2 4 lim
4.3 5.4
n
+
3 5.7 lim
4.5 5.6
n
− +
Giới hạn hàm số
1
2
1
5
lim
1
x
x
x
→
+
2 3
2 15 lim
3
x
x
→
2 2 1
lim
1
x
x
→−
3 2 1
1 lim
1
x
x
→
− + −
−
5
4
2
16
lim
2
x
x
x
→
−
2 1
lim
1
x
x
→
9 2 1
lim
1
x
x
→
7 5 1
1 lim
1
x
x x
→
−
−
Trang 49 ( )3 3
0
lim
h
h
→
3 2 1
lim
1
x
→
− +
2 2 2
lim
2
x
x
→
− +
3 2 2
8 lim
4
x
x x
→
−
−
13
2
2
lim
2
x
x
→+∞
−
14
2
lim
x
x
→+∞
+
15
4 3
lim
1
x
x x x
→+∞
− +
−
16
2 3
lim
x
→+∞
Dạng nhân thêm lượng liên hiệp Tìm các giới hạn sau
1
2 0
lim
x
x
→
2
2 lim
x
x
→
lim
x
x x
→
4
2 1
1 lim
3 2
x
x x
→
− + −
5
2
2 0
lim
x
→
1 lim
1
x
x
→
−
2
lim
1
x
x x x
→+∞
− +
9
2
lim
1
x
x x
→+∞
− +
10
11
2
1 lim
x
x
→+∞
( 4 2 2)
1
lim
1
x
x
→
sin lim
sin
x
→+∞
− +
17
x 0
lim
x
→
3
x 1
lim
1
x
→
lim
1
x
→
− −
x
→
21
2
2
1
lim
x
x
x
→+∞
+
2 x
1 2 lim 1
x x
→+∞
−
2 2
x 1
lim
x x
→
x 1
1 2 lim
1
x x x
→
+ −
−
25
x 0
lim
1
→
−
26
x 4
8 lim
4
x x x
→
−
xlim x 1 x
lim
cos
x
→+∞
− +
x 0
x
→
x 0
x
→
x 0
x
→
x 0
x
→
33
3
x 0
lim
3
x
x
→
34
3 2
x 1
1 lim
3 2
x x
→−
+ + −
35
3
x 0
x
→
36
3
x 1
lim
1
x x
→
+ −
−
37
3
x 1
lim
1
x
→
−
38
xlim x 3x x 2x
39
( 3 2 3)
xlim x 3x x
40
3
xlim x 1 x 2 x 3 x
→+∞
Tính liên tục của hàm số
Xét tính liên tục của các hàm số
x
khi x
−
>
=
tại x=1 2 ( )
2
2
2
1 1
x x
khi x
tại x=1
Trang 53 ( )
2
2
1 5
3
3 9
x
khi x
x
khi x x
−
−
tại x=1 và x=3
4 Xác định m để hàm số f x( ) liên tục tại x=1
1
1 1
mx khi x
khi x x
−
5 Xác định m để hàm số liên tục tại x=2
( )
1
2 4
2 2
2 2
f x
x
khi x x
=
+ −
6 Xác định m để hàm số liên tục tại x=0
0
1 1
0
khi x x
≤
7 ( )
2
16
4 4
x
khi x
khi x
tại x0 =4 8 ( ) sin 1
1
1
x khi x
khi x
π π
≠
tại x0 =1
9 Xác định a để hàm số liên tục với với mọi x
Vẽ đồ thị hàm số khi đó
ax khi x
f x
khi x
=
>
10 Xác định a để hàm số liên tục tại x0=0
( )
4
0 2
x
f x
x
x
=
−
11 Xác định a để hàm số liên tục tại x0 =0
( )
2
0 cos cos 2
0
a khi x
khi x x
=
≠
12 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số
( )
2
1
1 3
f x
khi x
=
>
13 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số
2
2
khi x
khi x
≠
− +
14 Xác định a để hàm số liên tục trên R
( ) 3 2
1
2 4
2 2
f x
x
khi x x
=
+ −
15 Xác định k để hàm số liên tục tại x0=2
f x
x kx khi x
=
16 Xác định a để hàm số liên tục tại 0
3
x =π
Trang 6( )
sin
3
tan
x
khi x
π
π
−
17 Xét tính liên tục của hàm số tại x0=0
x
khi x x
f x
khi x
≠
=
18 Xét tính liên tục của hàm số tại x0 =0
khi x
≠
=
19 Xét tính liên tục của hàm số khi x0 =2
( )
2
x khi x
x khi x
20 Xác định a, b để hàm số liên tục trên R
( )
khi x
f x ax b khi x
khi x
≤
21 Xét tính liên tục của hàm số khi x0 =0
1
0
x
khi x x
f x
x
khi x x
<
=
+
22 Cho hàm số f x( ) xác định trên R, sao cho
( )3 ( )
f x = f x và hàm số f x( ) liên tục tại
0 0
x = Biết rằng f ( )0 =2011 Tìm f x( )
Dựa vào tính liên tục xác định nghiệm của phương trình
1 Chứng minh rằng phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm
3
3x −2x− =2 0
2 Chứng minh rằng phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1)
3 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m( với m là tham số ) :
cosx+mcos 2x=0
4 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m( với m là tham số ) :
( ) (3 )
m x− x+ + x+ =
5 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m( với m là tham số ) :
m + +m x + x− =
6 Chứng minh rằng phương trình x3−3x+ =1 0 có 3 nghiệm phân biệt
7 Chứng minh rằng phương trình x4− − =x 2 0 có nghiệm x0 thuộc khoảng ( )1; 2 và x0 >78 8 Chứng minh rằng phương trình 2x3−6x+ =1 0 có ba nghiệm phân biệt trong khoảng (−2; 2)
9 Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình sau đây có nghiệm