Tính góc giữa SA và mặt phẳng ABC... Tính SH, SC.
Trang 1TT iŸo vi˚n & Gi s, i TP Hu2 - 4T: 2207027 989 249
Ph ầ n Hình H ọ c Cho hình l ă ng tr ụ tam giác ABC A B C ' ' ', ñặ t uuurAA'=a ABr uuur, =r uuurb AC, =rc G ọ i
I là trung ñ i ể m c ủ a B’C’
a Phân tích véct ơ
uur
AI theo các vét ơ
r r r , ,
a b c
b Phân tích vét ơ
uuur
AO theo các véct ơ
r r r , ,
a b c, v ớ i O là tâm c ủ a hình bình hành BB’C’C
c Phân tích vét ơ
uuur
AG theo các véct ơ
r r r , ,
a b c, v ớ i G là tr ọ ng tâm
c ủ a ∆A B C' ' '
d Ch ứ ng minh r ằ ng: uuuur=1(uuuur' +uuuuur' ') (=1 uuur' +uuuuur' ')
MN AC A B AB A C , v ớ i M, N l ầ n l ượ t
là trung ñ i ể m c ủ a AA’, B’C’
e Ch ứ ng minh r ằ ng: uuur = 1(uuur+uuur' +uuuur' +uuur)
4
AO AB AB AC AC
' '
AI= AB +AC = a+ + + = +b a c a b+ c
'
1
'
AO a c b
uuur uuuur uuur r r r
uuur uuur uuuur r r r
uuur uuur uuuur uuuur r r r r r
d/Chứng minh rằng: uuuur= 1(uuuur' +uuuuur' ') (=1 uuur' +uuuuur' ')
với M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, B’C’
Chứng minh:
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
AC A B AB A C AC A B AC A C
AC AB A C A B B C B C
uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
2/
3/ Cho hình chóp S.ABC có AB = a 2, SA = SB = SC =a, SA, SB, SC
ñ ôi m ộ t vuông góc G ọ i H là tr ự c tâm c ủ a ∆ABC
a Ch ứ ng minh r ằ ng: SA⊥BC SB, ⊥AC
b Ch ứ ng minh r ằ ng: SH⊥(ABC)
c Tính góc gi ữ a SA và m ặ t ph ẳ ng (ABC)
a/ Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và BC Ta có
SB =SC suy ra SN ⊥BC, AH ⊥BC suy ra BC ⊥SA
Tương tự AC ⊥SB
c r
a r
b r
Trang 2TT iŸo vi˚n & Gi s, i TP Hu2 - 4T: 2207027 989 249
Ta có
SN BC
BC SH
AH BC
Tương tự AB⊥SH
b/ Từ câu a Suy ra SH ⊥(ABC)
c Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)
Ta có HS⊥(ABC)suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)
Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA
3 3 3
cos
3
b
SAH
a
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng •
trong ñó α là góc sao cho 3
cos
2
b a
α =
4/ Cho hình chóp S.ABCD có ñ áy là hình thoi tâm O c ạ nh a,
⊥
SA ABCD , SA = a, !BAD= 120 °.
a Tính s ố ñ o góc c ủ a BD và SC
b G ọ i H là trung ñ i ể m c ủ a SC Ch ứ ng minh r ằ ng: OH ⊥(ABCD)
c Tính s ố ñ o c ủ a góc SB và CD
a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra AC⊥BD
SA⊥ ABCD ⇒AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Suy ra góc giữa chúng bằng 900
b/ Ta có OH là ñường trung bình của tam giác CSA suy ra HO //
SA
mà
c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB
bằng 450 vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A
5/ Cho hình chóp S.ABCD có ñ áy là hình vuông c ạ nh a, tâm O, !BAC= ° 30 ,
SA SB SC SD a
a Ch ứ ng minh r ằ ng: SO⊥(ABCD)
b Tính góc gi ữ a SC và ( ABCD)
c G ọ i M, N l ầ n l ượ t là trung ñ i ể m c ủ a AB và BC Ch ứ ng minh r ằ ng:
( )
⊥
MN SBD
d Tính kho ả ng cách gi ữ a SB và AC
a/ Vì O là trong ñiểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên
SO AC
SO ABCD
SO BD
Trang 3TT iŸo vi˚n & Gi s, i TP Hu2 - 4T: 2207027 989 249
b/ Ta có SO⊥(ABCD) suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
30
BCA= suy ra tam giác ACD là tam giác ñều suy ra 3
2
a
CO=
!
2
OC
SC
= = ⇒ = Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 300 c/ Ta có
SO ABCD SO BD
BD SO
BD SAB
DB AC
BD SAB
MN SAB
MN AC
!
d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB
Ta có AC⊥(SBD)⇒ AC⊥HO Đoạn thẳng OH là ñoạn
vuông góc chung của AC và SB
Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =
2
a
7/ Cho hình chóp S.ABC có ñ áy là ∆ABC cân t ạ i A, ñườ ng cao AH là ñườ ng cao c ủ a tam giác ABC và AH= a, góc BAC! = 120 °, SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng
ñ áy, SA=a 3 Goi K là hình chi ế u vuông góc c ủ a A lên SH
a Ch ứ ng minh r ằ ng: AK ⊥( )SBC
b Tính góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng: ( SBC) và ( ABC)
c Tính kho ả ng cách gi ữ a SA và BC
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC
HA là ñường cao của tg ABC suy ra AH ⊥BC
AH BC
BC SAH
SA BC
BC SAH
BC AK
AK SAH
K là hình chiếu của A lên SH suy ra AK⊥SH
b/
,
AH ACB
SH SBC
ABC SBC SH AH AHS SBC ABC BC
SH AH BC
0
tanH SA 3 H 60
AH
Trang 4TT iŸo vi˚n & Gi s, i TP Hu2 - 4T: 2207027 989 249
Ta có AH là ñoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA
và BC bằng a
8/Cho hình chóp S.ABCD có ñ áy ABCD là hình thoi c ạ nh a, góc
! = ° 60
2
a
SA Hình chi ế u H c ủ a S lên m ặ t ph ẳ ng (ABCD) trùng
v ớ i tr ọ ng tâm c ủ a ∆ABD
a Ch ứ ng minh r ằ ng: BD⊥( )SAC Tính SH, SC
b G ọ i α là góc c ủ a (SBD) và (ABCD) Tính tanα
c Tính kho ả ng cách gi ữ a DC và SA
a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH ⊥BD
ABCD là hình thoi suy ra AC⊥BD
SH BD
SH AC H
ABCD là hình thoi cạnh a và góc ! 0
60
BAD= nên tam giác ABD là
OH = OA=OC=
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
.
5
12
3
2
SH a
a
SC
b/ Ta có
!
( , )
5 6
12 3
SAC BD
SAC ABCD AC OH SO
SAC SBD SO
SH
a
α α
9/ Cho hình chóp S.ABC có ñ áy là ∆ABC ñề u c ạ nh 2a, SA⊥(ABC), SA
= a G ọ i I là trung ñ i ể m c ủ a BC
a Ch ứ ng minh r ằ ng: BC⊥( )SAI
b Tính kho ả ng cách t ừ A ñế n m ặ t ph ẳ ng (SBC)
c Tính góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng (SBC) và (ABC)
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC(1)
ABC là tam giác ñều, I là trung ñiểm của BC nên AI ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥ (SAI)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)
Trang 5TT iŸo vi˚n & Gi s, i TP Hu2 - 4T: 2207027 989 249
Ta có
SBC SAI
H SI SBC SAI SI
Xét tam giác vuông SAI có:
2 2 2 2 2
a AH
AH = AI +SA ⇒ AH = a ⇒ =
c/ Ta có:
!
3
3 3 2 2
BC SAI
ABC ABC BC
SBC ABC SI AI SIA SBC SAI SI
ABC SAI AI
SA a
AI
a
10/ Cho hình chóp S.ABC, SA⊥(ABC), ∆ABC ñề u G ọ i I là hình
chi ế u c ủ a S lên BC, H là hình chi ế u c ủ a A lên SI và
= 2 3, = 2
SA a AB a
a Ch ứ ng minh r ằ ng: AH ⊥( )SBC
b Tính góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng: (SBC) và (ABC)
c Tính kho ả ng cách gi ữ a SA và BC
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC(1)
ABC là tam giác ñều, I là trung ñiểm của BC nên AI ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥ (SAI)
BC SAI
SA AH
AH SAI
H là hình chiếu của A lên SI nên AH ⊥SI
SA AH
SI BC I
b/
3 2 2
BC SAI
AI SBC SAI SI
a ABC SAI AI
α
Trong ñó α là góc sao cho tan α = 2
c/ khoảng cách giữa SA và BC là ñộ dài ñoạn AI = 2a 3
Trang 6TT iŸo vi˚n & Gi s, i TP Hu2 - 4T: 2207027 989 249
11: Cho hình chóp S.ABC có ñ áy là ∆ABC vuông cân v ớ i AB = BC =
a, SA⊥(ABC), SA = a G ọ i I là trung ñ i ể m c ủ a AC
a Ch ứ ng minh r ằ ng: BI ⊥( )SAC
b Tính s ố ñ o c ủ a góc gi ữ a 2 m ặ t ph ẳ ng (SAC) và (SBC)
c Tính kho ả ng cách gi ữ a SB và AC