Xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian theo các cập độ nhận thức cho học sinh THPT khoá luận tốt nghiệp

Tam giác ABC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi I là trung điểm... Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt p

O α

b'

a' b

a

II QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

1 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1.1 Góc giữa hai đường thẳng

1.1.1 Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng

trong không gian là góc giữa hai đường

thẳng cùng đi qua một điểm bất kì lần

lượt song song đường thẳng đó

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng, khi đó: 00   900

1.1.2 Các trường hợp đặc biệt

Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 0Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 90 01.1.3 Phương pháp tìm góc giữa hai đường thẳng

α

d' d

A 90 0 B 60 0 C 45 0 D 0 0

Câu 4 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng bất kỳ Vậy  thõa mãn các điều kiện

nào sau đây ?

A 00   90 0 B 00   180 0

C 900   180 0 D 1800   360 0

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, các mặt bên là các

tam giác nhọn Xác định góc giữa hai cặp đường thẳng SA và SC, SA và CD

A  ASC, SAB B  SAC, SAB

C  ASC, SDC D  ASC, SCD

Hướng dẫn giải:

* Dễ thấy (SA,SC)ASC.

* Vì CD AB(SA, CD)(SA, AB)SAB.

1.1.3.2 Mức độ thông hiểu

Câu 1 Cho tứ diện ABCD các mặt đều là các tam giác nhọn, M; N lần lượt là trung

điểm của BC và CD Xác định góc giữa MN và BD; AB và MN

* MN là đường trung bình trong tam giác BCD do đó MN BD

Vậy (MN; BD)0 0

* MN BD(AB; MN) (AB; BD) ABD.

Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có tất cả các mặt đều là các tam giác nhọn Gọi M, N,

1.1.3.3 Mức độ vận dụng thấp

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD

Góc giữa AB và CD bằng bao nhiêu ? Biết ABCD và a MN a 3

2



A 60 0 B 30 0 C 45 0 D 90 0

a 3 2

S

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm AC, suy

ra:IM AB (AB, CD) (IM, IN)

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; cạnh

AB2a;DCa; SA AB; SAAD; SA 2a 3

3

 Góc giữa hai đường thẳng SB và DC bằng:

A 90 0 B 60 0 C 45 0 D 30 0Hướng dẫn giải:

N

M

K I

D

B A

S

Câu 3 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB,

BC, AD Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

2PQ.AB AC.AB BD.AB 0

        Vậy PQ AB nên góc giữa chúng bằng 900

1.1.3.4 Mức độ vận dụng cao

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SAa, SBa 3

(SAB) vuông góc với đáy, M là trung điểm AB, N là trung điểm BC

Tính góc giữa SM và DN

Hướng dẫn giải:

Gọi K là trung điểm AD, I là trung điểm AK

N M

C

B A

Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có SASBSCABAC và BCa a 2

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

C'

B' A'

B A

Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và DA ' bằng 60 0

*Ta có: BD      AD AB, AC' AB AD AA' 

d' d

α

d' d

1.2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1.2.1 Một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp 2:

d ( )

d d 'd' ( )

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCcó SA (ABC) và ABC vuông ở B Gọi AH là

đường cao của SABkhẳng định nào sau đây sai ?

Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD)

Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD Nhận xét nào sau đây là đúng ?

J I

B

B'

C' A'

G

Từ (3),(4),(5) suy ra: HK (SAC) HK  AI

Câu 3 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy là tam giác đều Gọi I là trung điểm

AB

a) Chứng minh rằng ICA ' B ', IC  A ' B

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: AG BC, AG BC '

c) Gọi J là điểm thuộc BC sao cho 3CJ2CB CMR : JG AA ', JG IC '

C B

Câu 2 Cho tứ diện ABCD Hãy chứng minh các mệnh đề sau:

a) Nếu AB AC ADavà BAC = CAD = DAB = α   thì ABCD và

C

B A S

5a 4a

a) Xét tam giác ABC:

AB AC (3a) (4a) 25a BC 2

Vậy ABC là tam giác vuông tại A

Câu 4 Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a, ABACa

Tam giác ABC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi I là trung điểm

a b

A'

D'

C B

D A

M

N

a

a I

D a

C B

A

Ta có:

(ABC) (BCD)(ABC) (BCD) BC AI (BCD)

Câu 1 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Trên các cạnh BC

và DD ' lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM DN x (0x a ) a) Chứng minh rằng MNAC'

2 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

2.1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

2.1.1 Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó Kí hiệu: a  ( )

Tức là: a   ( ) a  b,   b ( )

2.1.2 Các định lí, hệ quả, tính chất cơ bản:

Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên

mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với

hai cạnh của một tam giác thì cũng

vuông góc với cạnh thứ ba Tức là: d AB d BC

I A

B M

b a

Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tồn tại duy nhất một mặt

phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia

Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng thì đường thẳng đó nằm trên mặt phẳng

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua

trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng chứa đoạn thẳng đó

Cho ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn

thẳng AB Vậy tất cả những điểm M

thuộc ( ) đều cách đều A và B

2.1.3 Một số phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp 1:

Q P

α

d

P α

Câu 1 Cho bậc thang và các mặt

phẳng, đường thẳng như hình bên Nhận xét nào sau đây là đúng ?

A d1d ,d2 2  ( ), d2  ( )

B d1d , d2 1 ( ), d2  ( )

C d1  d , d2 1  ( ), d2  ( )

D d1  d , d2 1  ( ), d2  ( ).

Câu 2 Dựa vào hình vẽ bên, nhận

xét nào sau đây là đúng ?

A d1d , d2 1  d , d3 1 ( )

B d1 d ,d2 1d ,d3 3  ( )

Câu 4 Dựa vào hình vẽ bên, nhận xét

nào sau đây là đúng ?

Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai ?

A Nếu đường thẳng d ( ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( )

B Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì

d ( )

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )

D Nếu d ( ) và đường thẳng a  ( ) thì d  ( )

Câu 7 Trong không gian cho đường thẳng và điểm O Qua O có mấy đường

thẳng vuông góc với  cho trước ?

Câu 8 Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

 cho trước ?

Câu 9 Mệnh đề nào sau đây có thể sai ?

A Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song

B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

D Một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đã cho ) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau

Câu 11 Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là

A Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

B Đường trung trực của đoạn thẳng AB

C Mặt phẳng vuông góc với AB tại A

D Đường thẳng qua A và vuông góc với AB

2.1.4.2 Mức độ thông hiểu

Câu 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước

B Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc

với hai đường thẳng chéo nhau cho trước

C Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

D Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Câu 2 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P) Mệnh đề nào sau đây

Câu 4 Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng (P) là đường thẳng a ',

đường thẳng b nằm trong (P) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?

A Nếu abthì a 'b B Nếu a 'bthì ab

C Nếu a  bthì a' bhoặc a ' trùng b D Nếu a' b thì a  b

Câu 5 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc Trong các nhận xét

sau đây, nhận xét nào sai ?

A Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc

B Ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD) đôi một vuông góc

C Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) là trực tâm tam giác BCD

D Tam giác BCD vuông

Câu 6 Cho 2 đường thẳng a, b và mặt phẳng ( ) Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A Nếu a  ( ) và abthì b ( )

B Nếu a  ( ) và b ( ) thì ab

C Nếu a  ( ) và b  ( ) thì a  b

D Nếu a ( )và b ( ) thì ab

Câu 7 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABD và BCD là hai tam giác cân có chung

cạnh đáy BD Gọi E là trung điểm BD, AF là đường cao của tam giác ACE Nhận xét nào sau đây là đúng ?

Câu 8 Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) Kẻ BIAC, BJSC

Nhận xét nào sau đây là đúng ?

A SABI, SB BC B BI(SAC), SC(BIJ)

C BI(SAC), BC(BIJ) D AC (SBC), AC(BIJ)

H

B S

Câu 2 Cho tam giác ABC cân tại A có BCA1200, cạnh BCa 3 Lấy điểm S ở

ngoài mặt phẳng chứa tam giác ABC sao cho SA a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC

a) Chứng minh AO(SBC)

b) Tính AO khi tam giác SBC vuông tại S

60 0

60 0

a 3 2

Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA (ABC) Trong

tam giác SAB kẻ đường cao AH, trong tam giác SAC kẻ đường cao AK a) Chứng minh: BC(SAB), AH (SBC)

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và có SB SD AB.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD

b) Chứng minh tam giác ASC vuông tại S

c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD

Chứng minh mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trục của HK

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có:

Xét tam giác cân SBD có SO là đường

trung tuyến, do đó SO cũng là đường cao

Mà mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm O

của BD nên (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD

b) Vì SB = SD = AB = ADΔABD = ΔSBD, suy ra: SO AO 1AC

2

Tức là tam giác SAC vuông tại S

c) Dễ thấy: ΔSAB = ΔSADAK = AHΔSAK = ΔSAHSK = SH

Câu 2 Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy một điểm S khác H

a) Chứng minh AC(SHK )

K I H

A S

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD)

và SA a. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, SC

Chứng minh IK (SDC), và tính độ dài đoạn IK

  Vì KC = KS suy ra K là tâm đường tròn ngoại tiếp SCD nên

IK là trục của SCD Do đó: IK (SDC) Trong IKD ta có:

d' d

Định nghĩa: Phép chiếu song song theo phương l

lên mặt phẳng ( ) được gọi là phép chiếu vuông góc nếu phương l vuông góc với mặt phẳng chiếu

d 'là hình chiếu của d khi và chỉ khi

( )

  

2.2.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với ( ) thì góc giữa d và ( ) bằng 90o

Nếu đường thẳng d không vuông góc với ( ) thì góc giữa d và ( ) chính bằng góc giữa d và hình chiếu d 'của nó lên ( )

( ) là góc nào sau đây ?

A BC, ACB. B AC, CAB

C BC, 90 0 D AC, 0 0

Câu 2 Gọi 1, 2, 3, 4 lần lượt là góc

giữa đường thẳng d , d , d , d1 2 3 4

và mặt sàn của cây cầu Nhận xét

nào sau đây là đúng ?

A       4 3 2 1

B       4 3 2 1

C       4 3 2 1

D       4 3 2 1

Câu 4 Gọi 1, 2, 3, 4 lần lượt là góc giữa đường thẳng d , d , d , d1 2 3 4 và

mặt ( ). Nhận xét nào sau đây là đúng ?

C B

A S

Suy ra : (SC; (ABCD)) (SC; AC)SCA.

b) SA(ABCD) BA là hình chiếu của SB

lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra : (SB; (ABCD)) (SB; AB) SBA.

c) SA(ABCD)

 DS là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra : (SD; (ABCD)) (SD; AD) SDA.

d) SA(ABCD) AO là hình chiếu của SO lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra : (SO; (ABCD))(SO; AO) SOA.

của SC lên mặt phẳng (ABCD)

Suy ra: (SC; (ACBD))(SC; AC) SCA

Xét tam giác vuông SAC có

SAACa 2

S

C

B A

Vậy tam giác SAC là tam giác vuông

cân, do đó:SCA 45 0 Vậy  0

(SC; (ACBD))45

Tương tự AD là hình chiếu của SD lên

mặt phẳng (ABCD) Suy ra: (SD; (ACBD))(SD; AD)SDA

Xét tam giác vuông SAD vuông tại A:  SA

b) SA(ABCD)SABD và ABCD là hình vuông nên ACBD, do đó:

BD(SAC) Vậy góc giữa đường thẳng BD và (SAC) bằng 90 0

Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

Theo giả thiết: SASBSCdo đó:

SO(ABC) Vậy AO là hình chiếu

của SA lên mặt phẳng đáy

Suy ra :(SA; (ABCD)) (SA; AO) SAO. Xét tam giác vuông SAO vuông

tại O Ta có: 

2 a 3

B A

  cùng hợp với đáy góc 60 0 Gọi I là trung điểm của CD

a) Tính góc hợp bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (SBD)

b) Tính góc hợp bởi đường thẳng SI với mặt phẳng (SAB)

K O J

I

N

M D

C

B A

b) Gọi J là trung điểm của AB Ta có: IJ AB mà SOAB nên AB(SIJ),

do đó hình chiếu của đường thẳng SI lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng

SJ.Hình vuông ABCD có đường chéo ACSASB nên b IJ BC b ,

Suy ra NH là hình chiếu của MN trên ABCD MNH chính là góc giữa

đường thẳng MN với ABCD

  Gọi I là trung diểm của OB , J

là trung điểm của SO thì MJ  INvà MJIN Gọi KIJMN và

SO ABCD Mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với SC cắt hình

chóp theo một thiết diện có diện tích Std 1a2

a β

Do SOABCDOC là hình chiếu của SC trên ABCD suy

ra:SC, ABCD  SCO   Ta có AJACsin a 2 sin;

tan2

3.1.2 Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc

giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với

hai mặt phẳng đó

Δ d'

d β

Khi hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 0

+ Trong ( ) dựng một đường thẳng d vuông góc với

+ Trong ( ) dựng một đường thẳng d ' vuông góc với 

Câu 3 Nhận xét nào sau đây là sai:

1 2 2

A SBA; SOA.  B SBA; SDA. 

C SCA; SDA.  D SCA; SOA. 

D

C B

A S

C

B A

Vậy ((SBD); (ABCD))(AO;SO)SOA.

Câu 3 Cho hình chóp S.ABC vuông tại B, SA (ABC)

Vậy ((SBC); (ABCD)) (SB; AB)SBA.

Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có tất cả các mặt đều là tam giác nhọn, ABAC;

O

D

C A

S

I

C

B A

S

SBSC Gọi I là trung điểm BC Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là:

A SBA. B SCA. C SAI. D SIA.

((SBC); (ABC))(SI; AI)SIA

Câu 5 Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' Góc giữa hai mặt phẳng (A ' BCD ')

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a,

AD a 3 Cạnh bên  SA vuông góc với đáy và SA = a

a) Góc giữa hai mặt phẳng SCD và (ABCD)

b) Góc giữa hai mặt phẳng SBC và (SAD)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có SCD  ABCDCD

SAB  SBCSB, SAB   SADSA suy ra ASB chính là góc giữa

hai mặt phẳng SBC và  SAD Tam giác  ASB vuông cân tại A nên

Ta có (A'BC)(A'CD) = A'C Gọi O là tâm của

hình vuông ABCD và H là hình chiếu

vuông góc của O trên A'C

Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AB2a; cạnh bên SA vuông góc với đáy và

SA a 3

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

Hướng dẫn giải:

Dựng DESI, ESI khi đó BDESI

Do đó BED là góc giữa hai

Trong tam giác SAH ta có :

Cách trình bày:

( ) ( )( ) ( )

d ( )

d ( )d

γ β

Câu 2 Trong không gian, nếu mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì:

A Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (Q)

B Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q) đều vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P)

C Mỗi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (Q)