Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S.. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình
2 3 2
3 0
x xy
2 Giải phương trình 18x+ +16 4 2x2+5x− =3 7 4x2+2x− +2 7 2x2+8x+6
Câu II (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương (m n p; ; ) sao cho mỗi một trong các số
; ;
là một số nguyên
Câu III (2,0 điểm)
1 Giả sử a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a20122010 b20122010 c20122010 2011
b +c +a < Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho 13 13 31 2011 2 2 2
2010
2 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất đẳng thức a m m 31 b m m13 c m m31 a m m2 b m m2 c m m2
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
1 Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
2 Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu V (1,0 điểm)
Kí hiệu ¥ chỉ tập hợp các số tự nhiên Giả sử f :¥ →¥ là hàm số thỏa mãn các điều kiện f ( )1 >0 và ( 2 2) ( ( ) )2 ( ( ) )2
f m + n = f m + f n với mọi m n, ∈¥ Tính các giá trị của
( )2
f và f (2011)
-Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………SBD: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH
Trang 2TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên)
Đáp án gồm 4 trang
I (3 điểm) I.1 (3 điểm)
+) Nếu y=0 thay vào hệ ta có 32 0
3 0
x x
=
+) Nếu y≠0 thì ta đặt x ty= thay vào hệ ta được
3 3
2 2 2
3 0
ty y ty y
t y ty
0,5
2 2
2 2
2
2 2
2
3 3
ty y t
y ty y t
y
t t y
t t
=
0,5
2 2
2
2 2
1
3 3
3 3
2
y y
y
t t
t t
0,5
3
2
x y
x y y
=
0,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ; ) 3; 3 ; 3; 3
I.2 (1 điểm)
ĐK 1
2
x≥ với điều kiện này phương trình được đưa về dạng
0,25
Đặt a= x+ +3 2x−1;b= 2x+2 thay vào phương trình trên ta được
2a −7ab+6b = ⇔0 2a−3b a−2b = ⇔0 2a=3 ;b a=2b 0,25
+) a=2b⇔ x+ +3 2x− =1 2 2x+2 phương trình này vô nghiệm 0,25
+) 2a=3b⇔2 x+ +3 2 2x− =1 3 2x+2 giải phương trình này được
nghiệm x=1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=1 0,25
Trang 3(1 điểm) Giả sử tìm được bộ ba số (m n p; ; ) trong đó m n p, , là các số hữu tỉ
1
abc mnp = mnp+
0,25
v
3 2
3 2
0,25
|
p u v thì hoặc p u|
(1)
1
abc
u v u v
=
0,25
(a b c; ; ) (= 1;1;8 , 1; 2; 4 , 2; 2;2) ( ) ( ) và các hoán vị và vì vậy
( ; ; ) (1;1;1 ,) 1 1; ; 4 , 1;1; 2
0,25
III III 1 (1,0 điểm)
2011 2010
Lần lượt cho n=0,1, 2, , 2009 và cộng từng vế của 2010 bất đẳng thức ta
được 2012 2012 2012 2 2 2
2010 2010 2010
2011
2010
a b c
thiết nên ta có đpcm
0,5
III.2 (1,0 điểm)
b
+
2
m
m
+ +
+
0,25
(2 điểm) Tương tự ta được
2
m
m
+ +
+
2
m
m
+ +
+
Trang 4Cộng từng vế các bđt trên ta được
2 2 2
a b c
b
+
m m
m
+
+
m m
m
+
+
m m
m
+
+
0,25
Cộng từng vế của các bđt trên ta được
2 2 2
a b c
Kết hơp với (1) ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = =a b c
0,25
IV (1 điểm)
FDH =FBH =FBE FCE HCE HDE= = =
0,5
MBT =MCT =BAC MB MC= = ⇒d M BT =d M CT =
0,25
+) Ta có
MEF =HEF HEM+ =HAB HEM+ =HAB HBM+ = − +B − =C A và
ME= = ⇒d M EF =
2
a
d M TB =d M TC =d M EF = × A nên M là tâm đường
0,25
IV.2 (1 điểm)
FDB FAC BAC CBT= = = =DBT
0,5
Trang 5+) Từ đó, với k DF
TX
0,5
X
Y
S
M
T
H
D
E F
O
A
V
(1 điểm) Đặt f ( )2 =a Cho ( ) ( ( ) )2 ( )
0,25
Mặt khác với mỗi số tự nhiên
( )
0,25
0,5