Dạng 1: Các phép toán về số phức Câu1: Thực hiện các phép toán sau: a.. phương trình bậc hai Dạng 1: tính căn bậc hai của số Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau: a... Có ba ng
Trang 1CÁC BÀI TẬP PHẦN SỐ PHỨC (Biên soạn :Nguyễn Văn Ngọc NC2)
Bài1: Biểu diễn các số phức sau và các số phức của chúng trên mặt phẳng phức
2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i
Bài2: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức Bài3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z' = a'+b'i Với điều kiện nào giữa a,b,a',b' thì
a/ Tổng , hiệu của z và z' là số thực ; là số thuần ảo
b/ Tích , thương của z và z' là số thực ; là số thuần ảo
c/ z2 , z3 là số thực ; là số thuần ảo
Bài4: Cho z và z' là hai số phức bất kì Chứng minh rằng :
' '
( ' 0)
z z z z
z z z z
z z z z
z z
z
z z
=
Bài5: Thực hiện các phép tính (m,a,b >0)
i m b/ a i a
a i a
+
− c/a i b
i a
+
Bài6: Cho số phức z = a+bi Hỏi a,b phải thoả mãn điều kiện gì để
a/Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng x = -2 và x = 2
b/Điểm biểu diễn cúng nằm trong dải giữa 2 đường thẳng y = -3i và y = 3i
c/Điểm biểu diễn cúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2
Bài7: Phân tích ra thừa số phức
a/ a2 + 1 b/ 2a2 + 3 c/ 4a2 + 9b2 d/ 3a2 + 5b2
Bài8: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau
a/ 1+i 3 b/ 2+i 2 c/ 3 i− d/ 3 0i+
Bài9: Viết dưới dạng đại số các số phức sau
a/ cos45o+isin 45o b/ 2(cos sin )
+ c/ 3 cos120( o+isin120o)
Bài10: Thực hiện các phép tính
a/3 cos120( o sin120o)
i
i
+ b/ 2 cos18( o sin18o)
i
i
+
cos 40 sin 40
i i
+ +
e/
i i
+ +
f/ 2 (cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin15 )
i i
+ +
− + h/ 2008
2008
1
z z
z
Bài11: Tìm vị trí của những điểm biểu diễn các số phức
a/ Có module bằng 2 ; 3
b/ Có acgumen bằng 30o , 60o , 135o ,
-4 π
Bài12: Áp dụng công thức Moivre để tính
Trang 2a/ 5
(cos15o +isin15 )o b/ 2 cos 30( o+isin 30o)7 c/ 16
(1+i) d/ 1 3
+
Bài13: Tìm các căn bậc 5 của 1.CMR: Tổng các giá trị căn này bằng 0
Bài14:
a/Hãy tìm các căn bậc 2 của các số phức : 3+4i ; 1 - i ; -2 + 3i
b/Hãy tìm các căn bậc 3 của số phức : 1−i 3
c/Hãy tìm các căn bậc 4 của các số phức : -1 ; 3 i+
Bài15: Hãy giải các phương trình sau trong tập C
a/ 2
3x −x+2=0 2
x − x+ = 2
3 2x −2 3x+ 2 =0 b/ 2
ix + ix− = 2
x − −i x+ − i= 2
3ix −2x−4+ =i 0 c/ 3
3x −24=0 4
2x +16=0 5
(x +2) + =1 0
Bài16: Giải các phương trình sau với ẩn là z
z
=
− + b/ z −2z= − −1 8i c/2z −3z= −1 12i
2
i z i iz
i
0
z + z = f/ 2
0
z +z=
0
z + z = h/z+2z=2−4i k/
4
1
z i
z i
+
=
−
l/ 2
.sin(Re ) 0
cos (Im ) 0
(z +1)(e −1)=0 o/ 2
(z −1) tan(Im )z =0 (Trong đó Rez và Im z lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z)
Bài17:Giải các hệ phương trình sau
a/
4
1
8
z
z i
z
z
−
=
−
−
−
b/
1 1
3 1
z
z i
z i
z i
−
=
−
−
c/
1 2 3
1 1
z z z
z z z
z z z
5 2
= − −
4
5 2
g/
0
z z
z z
=
Bài18:Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn mỗi
điều kiện sau:
a/ z +1<1 b/1< z− <i 2 c/ 2i−2z = 2z−1 d/2iz−1=2 z+3
z
+ = Tìm số phức có module lớn nhất , module nhỏ nhất
2
i
2
i
z= a− a +
Bài20:
a/Trong các số z thoả mãn :2z−2+2i =1 hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất
b/Trong các số z thoả mãn : z−5i ≤3 hãy tìm số z có acgumen dương nhỏ nhất
S = +z+z +z + z − biết rằng z cos2 isin2
Bài22: Giải các phương trình sau :
n
z=z − n∈N b/ (z+a)n =z n(n∈N a, ∈R a, ≠0)
Trang 3Dạng 1: Các phép toán về số phức
Câu1: Thực hiện các phép toán sau:
a (2 - i) + 1 2i
3
ư
3 4
c 3 1 i 3 2i 1 i
Câu2: Thực hiện các phép tính sau:
a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2 c
3 1
3i 2
ư
Câu3: Thực hiện các phép tính sau:
a 1 i
2 i
+
ư b 2 3i
4 5i
ư
5 i ư d
2 3i
4 i 2 2i
+
Câu4: Giải phương trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
a ( 4 5i z ư ) = 2 + i b ( 3 2i ư ) (2 z + i ) = 3i
b z 3 1 i 3 1 i
3 5i
2 4i z
+
= ư
Câu5: Cho hai số phức z, w chứng minh: z.w = 0 ⇔ z 0
w 0
=
=
Câu6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dưới dạng x i
x i
+
ư với x là số thực mà ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mEn:
a z 3 1 + = b z i + = z ư 2 3i ư
Câu2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mEn:
a z + 2i là số thực b z - 2 + i là số thuần ảo
c z z = 9 d z 3i 1
z i
ư
= + là số thực
căn bậc hai của Số phức phương trình bậc hai
Dạng 1: tính căn bậc hai của số
Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a -5 b 2i c -18i d 4 5 i
3 2
ư ư
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai
Câu1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a x2 + 7 = 0 b x2 - 3x + 3 = 0 c x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
Trang 4d x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e ix2 + 4x + 4 - i = 0
g x2 + (2 - 3i)x = 0
Câu2: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a ( z + 3i z ) ( 2 ư 2z + 5 ) = 0
b ( z2 + 9 z )( 2 ư + z 1 ) = 0
c 2z3ư 3z2+ 5z + 3i 3 ư = 0
Câu3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a 2 + 3i và -1 + 3i b 2i và -4 + 4i
Câu4: Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:
a α = 3 + 4i b α = 7 ư i 3
Câu5: Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mEn điều kiện đE chỉ ra:
a z2 - mz + m + 1 = 0 điều kiện: z12 + z22 = z z1 2+ 1
b z2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: z13 + z32 = 18
Bài tập:
Câu1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a 7 - 24i b -40 + 42i c 11 + 4 3 i d 1 2 i
4 + 2 Câu2: Chứng minh rằng:
a Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi
b Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x y i
k + k là căn bậc hia của số phức
i
k + k (k ≠ 0)
Câu3: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a z2 + 5 = 0 b z2 + 2z + 2 = 0 c z2 + 4z + 10 = 0
d z2 - 5z + 9 = 0 e -2z2 + 3z - 1 = 0 g 3z2 - 2z + 3 = 0
Câu4: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0 b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
c (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0 d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
Câu5: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a (z + 2i)2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b
2
Câu6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a) α = 2 - 5i b α = -2 - i 3 c α = 3 i 2 ư
Trang 5Câu7: Chứng minh rằng nếu phương trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R) có nghiệm phức
α ∉ R thì α cũng là nghiệm của phương trình đó
Câu8: Cho phương trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0
HEy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình
a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
b Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c Có ba nghiệm phức
Câu9: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a z2 + z + 2 = 0 b z2 = z + 2
c (z + z )(z - z ) = 0 d 2z + 3 z = 2 + 3i
Câu10: Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0
b z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
Câu11: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
a x 2y 1 2i
i
x y 1 2i
c
x y 5 i
x y 8 8i
+ = ư
x y 4
xy 7 4i
+ =
= +
e
x y 5 i
x y 1 2i
+ = ư
+ = +
x y 1
+ =
+ = ư ư
g
1 1 2
x y 5
+ = ư
+ =
x y 3 2i
i