SKKN phương pháp sử dụng hình tọa độ trong mặt phẳng giải các bài tập về số phức

Trong khi đó, các bài toán về số phức trong đề thi môn toán THPT quốc gia năm 2017 và đề minh họa năm 2018 có xuất hiện nhiều bài toán khó, có liên quan đến hình học tọa độ trong mặt phẳ

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình đại số là phương trình dạng:

a0.xn + a1.xn-1 + … + an-1.x + an = 0

Trong đó n là một số nguyên dương; a0, a1, …, an là các số đã cho và được gọi là các hệ số của phương trình, x là ẩn số Nếu a0 ≠ 0 thì n là bậc của phương trình

Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số và tìm công thức tính nghiệm của nó đã thu hút công sức của nhiều nhà toán học, trong nhiều thế kỷ Chính từ những nghiên cứu đó đã ra đời ngành Đại số và thúc đẩy sự phát triển của nhiều lĩnh vực toán học khác

Ta đã biết rằng các phương trình x2 + 1 = 0 và x2 + 9 = 0 không có nghiệm thực Một cách tổng quát các phương trình bậc hai với hệ số thực

Ax2 + Bx + C = 0 mà biệt thức   0, chẳng hạn x2 – 2x + 2 = 0 (biệt thức

4

  ) đều không có nghiệm thực

Sự phát triển của toán học, khoa học đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các

số thực thành một tập hợp số mới gọi là tập hợp các số phức, trong đó có các phép toán cộng và nhân với các tính chất tương tự phép toán cộng và nhân số thực, sao cho các phương trình nói trên đều có nghiệm Muốn thế, người ta đưa ra số i sao cho bình phương của nó bằng -1 Khi đó i là một nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0 và 3i là một nghiệm của phương trình x2 + 9 = 0; còn

1 + i là một nghiệm của phương trình x2 – 2x + 2 = 0 … Các số a + bi

(a; b R)  gọi là các số phức

Trong chương trình toán THPT, “số phức” được giới thiệu trong sách giáo khoa chương IV giải tích lớp 12 Tuy nhiên, các tác giả mới chỉ bước đầu giới thiệu vè các khái niệm cơ bản như: định nghĩa số phức, các phép toán trên tập hợp số phức, số phức liên hợp,… Các bài tập đưa ra minh họa cho học sinh đa phần là áp dụng các biến đổi đại số về cơ bản Trong khi đó, các bài toán về số phức trong đề thi môn toán THPT quốc gia năm 2017 và đề minh họa năm 2018 có xuất hiện nhiều bài toán khó, có liên quan đến hình học tọa độ trong mặt phẳng

Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức

cơ bản về số phức, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn Đặc biệt, biết sử dụng các kiến thức về hình học tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết các bài toán số phức khó, tôi đã

chọn đề tài “Phương pháp sử dụng hình tọa độ trong mặt phẳng giải các bài tập về số phức”

2 Mục đính nghiên cứu

Các bài toán về số phức là một dạng bài tập mới đối với học sinh THPT, làm thay đổi các tư duy và nhìn nhận vấn đề về nghiệm của phương trình đại số, mang tính trừu tượng và bước đầu có thể làm cho học sinh có sự ngỡ ngàng, thiếu tính logic

Một kiến thức mới, cần phải có thời gian để học sinh thực hành và làm quen Tuy nhiên cái khó của người giáo viên trong giảng dạy số phức là số phức được đưa vào chương trình cuối cùng của SGK giải tích 12 khi kết thúc chương trình giáo dục phổ thông nên thời gian giành để nghiên cứu nó bị hạn chế Các bài toán khó của số phức lại cần vận dụng các kiến thức hình học phẳng của lớp 10 để giải quyết, hai vấn đề khó lại nằm cách xa nhau trong chương trình toán THPT Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh biết hệ thống kiến thức và xây dựng một lớp bài toán sử dụng phương pháp hình tọa độ trong mặt phẳng đề giải toán số phức là rất cần thiết Có như vậy, học sinh mới có thể giải quyết nhanh các bài tập khó về số phức trong đề thi trắc nghiệm toán

Vậy vấn đề đặt ra là:

 Cần giúp học sinh tiếp cận hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất

và khái niệm cơ bản về số phức

 Cần giúp học sinh biết vận dụng hình học phẳng để phân loại các bài tập về số phức và vạch ra sơ đồ tư duy cho các bài toán về số phức

 Giúp học sinh biết vận dụng kiến thức về số phức các bài toán thực

tế trong cuộc sống

3 Đối tượng nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý tưởng nghiên cứu sau:

 Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của hình tọa độ trong mặt phẳng dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được kiến thức

 Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải toán Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài toán số phức

áp dụng hình học tọa độ trong mặt phẳng

 Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn cuộc sống

4 Phương pháp nghiên cứu

 Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản

 Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về số phức áp dụng hình học và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập

về số phức

 Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy

và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất

 Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của số phức trong các nghiên cứu toán học, vật lí, khoa học, kĩ thuật

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

 Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn hình học lớp 10 (chương III)

 Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn giải tích lớp 12 (chương IV)

 Căn cứ vào hệ thống bài tập ôn tập chương IV giải tích lớp 12

 Căn cứ vào phân loại các dạng bài tập trong tài liệu tham khảo: Prox luyện thi THPT quốc gia môn toán 2018 (Biên soạn Đặng Hoài Nam)

Tuy nhiên, trong các tài liệu tham khảo trên đa phần đều nặng về lí thuyết, chưa phân dạng các bài toán số phức cụ thể và chi tiết, chưa đưa ra được kết cấu một bài làm dưới dạng sơ đồ tư duy Dựa vào các tài liệu trên, tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng toán cụ thể và xây dựng được một hệ thống tư duy cho lớp các bài tập về số phức

Vì vậy, chỉ cần đọc đề bài là học sinh đã có thể phân loại và nhận dạng bài tập cần làm (theo sơ đồ tư duy định sẵn có ở trong đầu đã được học và không sa vào chứng minh rườm rà) Khi đó học sinh chỉ cần áp dụng kết quả cuối cùng và sử lí theo số liệu cụ thể của đề bài Đây chính là bí quyết để học sinh rút ngắn thời gian làm bài

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi vận dụng và câu hỏi vận dụng cao Thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 12 A5 năm học 2017 – 2018 thu được kết quả sau:

Nhận biết(nắm vững lý

thuyết)

Thông hiểu(có thể vận dụng lý thuyết để giải

toán)

Vận dụng linh hoạt (giải được đa số các bài

tập đưa ra)

Số

học sinh

học sinh

học sinh

Phần trăm

Tuy nhiên về thời gian thu được kết quả sau:

1,8 phút / 1 bài đến 5 phút/ 1 bài Từ 2 phút/ 1 bài

Từ 5 phút/ 1 bài đến 10 phút/ 1 bài

Trên 10 phút / 1

bài

Số

học

sinh

Phần

trăm

Số học sinh

Phần trăm

Số học sinh

Phần trăm

Số học sinh

Phần trăm

Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:

Số học sinh của lớp: 45

Kết quả học tập về môn toán năm học 2016 – 2017 là: 7 học sinh có học lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình 4 học sinh có học lực yếu

Như vậy qua khảo sát trên ta thấy đa số học sinh chưa đảm bảo với yêu cầu kiểm tra đánh giá mới

3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

3.1 Phương pháp giúp học sinh sử dụng kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng để giải bài tập số phức.

a Hệ thống kiến thức về đường thẳng, đoạn thẳng, cần sử dụng:

Bước đầu tiên học sinh phải biết hệ thống lại các kiến thức cần thiết để

sử dụng khi giải toán bao gồm:

a.1 Phương trình tổng quát của đường thẳng  trong mặt phẳng

ax + by + c = 0 (a2 b2  0)

a.2 Khoảng cách từ điểm M(x0,y0) đến đường thẳng :

d M( , ) a x. 0 2b y. 02 c

 



a.3 Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng

cách đều hai điểm A ≠ B cho trước là đường trung trực

của đoạn thẳng AB

Tính chất sử dụng: Đường thẳng d là trung trực

của đoạn thẳng AB

Md  MA MB

Đặc biệt: học sinh cần chứng minh được hai bài toán cực trị đặc biệt sử dụng đến đường thẳng:

Bài toán cực trị 1: Cho điểm M không nằm trên đường thẳng d Tìm

điểm N trên d sao cho độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d

Ta có MN MH

Vậy MNmin MH  N H

Bài toán cực trị 2: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B

không nằm trên d Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB có độ dài nhỏ nhất

Trường hợp 1: A, B nằm khác phía với d

Gọi I AB d

M

H

M

N H

d

Ta có MA MB AB 

MA MB IA IB  

Vậy (MA MB ) min AB M I

Trường hợp 2: A, B nằm cùng phía với d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

Gọi I A B d' 

Ta có: MA MB MA MB  ' 

Mà MA MB A B'   '

MA MB IA IB'   ' 

Vậy (MA MB ) min A B'  M I

b Mối liên hệ của số phức với hình tọa độ trong mặt phẳng:

b.1 Biểu diễn hình học số phức:

Mỗi số phức t = a + bi, trong đó a b R,  hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (a;b) Điểm M(a;b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi

b.2 Mô đun của số phức

Độ dài của véc tơ OM

được gọi là mô đun của số phức z và kí hiệu là z

Vậy z OM



hay a bi OM OM

Như vậy: Từ các khái niệm cơ bản trên học sinh phải biết chuyển ngôn ngữ của số phức từ đại số sang ngôn ngữ của hình học tọa độ trong mặt phẳng Điều quan trọng nhất là phải biết đưa bài toán tìm mô đun nhỏ nhất,

mô đun lớn nhất của số phức z về tìm khoảng cách (hay độ dài) OM nhỏ nhất,

OM lớn nhất Viết tắt là:

min min

z OM , zmax OMmax

Bài toán 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

hoặc miền giới hạn bởi các đường thẳng.

Trong bài toán này, học sinh sẽ làm quen với hình minh họa trong đề thi và ngược lại từ đề bài biết thể hiện lại hình ảnh minh họa cho số phức z

Bài tập 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng như

hình vẽ Khi đó giá trị z nhỏ nhất bằng?

A 5 C 1

5 B 2 D 2

5

Giải:

Học sinh tìm được phương trình đường thẳng trong hình vẽ : x 2y  2 0

A I

B A

M

B

d

A

’

y

 2  2

5

Vậy đáp án đúng là D

Bài tập 2 : Tập hợp các điểm biểu

diễn số phức z là đường thẳng như hình

vẽ Khi đó giá trị z nhỏ nhất với số phức

z bằng:

A z = 1 + i C 1 1

2 2

B 1

2

z i D 1

2

z i

Giải:

Bài toán này có yêu cầu khó hơn Ngoài nhận dạng zmin học sinh cần tìm được tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z

Phương trình đường thẳng trong hình vẽ:  :x y  1 0 

min min

z OM  M là hình chiếu vuông góc của O trên 

 có véc tơ pháp tuyến n(1,1) M   M x( ;1  x)  OM  ( ;1x  x)

OM song song với n  OM                             k n.

1

2

n

x k

k











Vậy 1 1; min 1 1

  Đáp án: C

Bài tập 3: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa

độ là hình vuông (phần tô đậm) như hình vẽ

Mô đun lớn nhất của số phức z là bao nhiêu?

A 1 C 3

B 2 D 2

Giải:

Học sinh sẽ dễ dàng nhận dạng được

max

z khi OMmaxkhi M nằm ở bốn vị trí A,

B, C, D như hình vẽ và khi đó

2 2

max 1 1 2

Đáp án: B

O

Bài tập 4: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa

độ là hình chữ nhật tô đậm như hình

vẽ Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức

z

A 1 C 0

B 2 D – 1

Giải:

min

Khi và chỉ khi M O

Đáp án: C

Bài tập 5: Trên mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số

phức z thỏa mãn điều kiện phần thực của z bằng -3

A Đường thẳng x + y = 3

B Đường thẳng x = -3

C Đường thẳng y = -3

D Đường thẳng x + y = c

Giải :

Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm

M(a ;b)

Theo đề bài a = -3 Vậy M (-3 ;b)

Hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = -3

Đáp án: B

Bài tập 6 : Các điểm biểu diễn số phức z được xác định như hình vẽ.

(Phần tô đậm kể cả các điểm nằm trên 2 đường

thẳng) Khi đó số phức z có dạng :

A z x yi x y R  ( ;  )

B z x yi x y R  ( ;  ; 1   x 2)

C z x yi x y R  ( ;  ; 1  x 2)

D z x yi x y R  ( ;  ; 1  x 2)

Giải:

Học sinh sẽ nhận thấy được phần thực của sô

phức z được giới hạn từ

-1 đến 2 Vậy đáp án đúng là B

Bài tập 7: Các điểm biểu diễn số phức z được xác định như hình vẽ.

(Phần tô đậm không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng) Khi đó số phức z

có dạng

A z a bi a b R  ( ;  ;1  b 3)

B z a bi a b R  ( ;  ;1  b 3)

C z a bi a b R  ( ;  ;1  b 3)

D z a bi a b R  ( ;  ;1  b 3)

Giải:

Đáp án: C.

Bài toán 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

trung trực của đoạn thẳng.

Phương pháp: Cho số phức z thỏa mãn:

1 1 2 2 1 1 2 2

Khi đó điểm A(a1;b1) biểu diễn số phức

1 1 1

z a b i

điểm B(a2;b2) biểu diễn số phức

2 2 2

z a b i

Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z = x + y.i

Ta có

z (a1 b i1 )  z (a2 b i2 )  MA MB

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Bài tập 1: Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4  i  z 2i

Tìm số phức x có mô đun nhỏ nhất:

A z = 2 + 2i C z = -2 + i

B z = -2 – 2i D z – 2 – 2i

Giải:

Ta có z 2 4  i  z 2i

Điểm A(2;4) biểu diễn số phức

z1= 2 + 4i

Điểm B(0;2) biểu diễn số phức z2= 2i

Gọi M(x;y) biểu diễn z

MA MB

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng

 trung trực của đoạn thẳng AB

min min

z OM  M là hình chiếu vuông góc của O trên  hay z = 2 +2i

Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1 2i  z 5i

Cho w  iz 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của w

A w  10 C w  7 10 B w  7 D w 7

10



Giải:

Ta có z  1 2i  z 5i

w 22 i w 25

Điểm A(22;1) biểu diễn z1 = 22 + i

Điểm B(25;0) biểu diễn z2 = 25.

Vậy tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng , trung trực của đoạn thẳng AB wmin OMmin d O( ; ) 7 10  

(Khi đó M là hình chiếu của O trên ) Vậy đáp án đúng là C

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 5 2 3 2

Biết biểu thức Q z 2 4  i  z 4 6  i đạt giá trị nhỏ nhất tại z a bi a b R  ( ;  ) Tính P =a - 4b

A P = -2 B 1333

272

P  C P = -1 D 691

272

P 

Giải:

Điểm 5; 2

2

A 

  biểu diễn số phức 1

5 2 2

Điểm 3; 2

2

B  

  biểu diễn số phức 2

3 2 2

Vậy tập hợp các điểm I(x;y) biểu diễn

số phức z là đường trung trực d của đoạn

thẳng AB có phương trình x – 4y + 2 = 0

Xét hai điểm M(2;4), N(4;6) ta có: Q =

IM + IN với I d

Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là

giao điểm của M’N với ' 58; 28

17 17

  là điểm đối xứng của M qua d

Vậy 62 24;

17 17

 ứng với 62 24

17 17

Vậy 62 4.24 2

17 17

P    Đáp án đúng: A

Bài tập 4: Trong các số phức z thỏa mãn z 4i 3 z Biết rằng số phức z a bi a b R  ( ;  ) có mô đun nhỏ nhất Khi đó, giá trị của P = a2 – b là:

A 3

4 B 1

4 C 2

4 D 4

3

Giải:

Học sinh phải áp dụng kiến thức z z

để giải bài tập này

Gọi z = a + bi

        (a 3) (4   b i)

(a 3) (4 b i)

     a bi 3 4  i  z 3 4  i

Gọi A(3;4) biểu diễn z1 = 3 + 4i

Gọi M(x;y) biểu diễn z = a + bi Gọi O(0;0) biểu diễn z2 = 0

Ta có: MA = ON  Md với d là trung trực của đoạn thẳng OA

min min

   M là trung điểm của OA

3 4

;

2 2

3 4

2 2

   Vậy

2

P     

  Đáp án đúng là B

Bài toán 3 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đoạn thẳng.

Phương pháp: Trong các số phức z thỏa mãn z z 1  z z 2 k k(  0) Gọi M(x ;y) biểu diễn số phức z x y i x y R  ( ;  )

Gọi A(x1 ;y1) biểu diễn z1

Gọi B(x2 ;y2) biểu diễn z2

Học sinh kiểm tra nếu có tính chất đặc biệt: AB=kthì khi đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB

Bài tập 1 : Cho số phức z thỏa mãn z  1 i  z 3 2  i  5 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M + m

A 13  3 B 13  5 C 13  7 D 13  2

Giải :

Gọi N(x ;y) biểu diễn số phức z x yi x y R  ( ;  )

A(1;1) biểu diễn z1 = 1 + i

B(3;2) biểu diễn z2 = 3 + 2i

Ta có NA NB  5

Mà AB (2;1)  AB 5



Ta có NA + NB = AB

Vậy tập hợp các điểm N biểu diễn số

phức z là đoạn thẳng AB

Học sinh quan sát hình vẽ sẽ tìm

được :

max 13

min 2

13 2

Đáp án đúng là D