Một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh

Tuy nhiên phần số phức lại được đặt ở cuốichương trình lớp 12 nên cả giáo viên và học sinh đang trong tâm thế kết thúcchương trình để bước sang giai đoạn ôn thi THPT quốc gia, hơn nữa vấ

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạyphải có tầm nhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khigiảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán đểtạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Tuy nhiên phần số phức lại được đặt ở cuốichương trình lớp 12 nên cả giáo viên và học sinh đang trong tâm thế kết thúcchương trình để bước sang giai đoạn ôn thi THPT quốc gia, hơn nữa vấn đề sốphức nhìn chung khá mới và khó đối với cả giáo viên và học sinh, do đó chuyên đềnày ít được quan tâm khai thác, vận dụng đúng mức.Vấn đề tư duy, đặc biệt là nănglực tư duy liên quan đến tư tưởng và nguồn lực trí tuệ con người, không chỉ đượcnghiên cứu ở phương diện triết học mà còn được nghiên cứu ở nhiều phương diệnkhác: khoa học quản lý, giáo dục và đào tạo, dạy và học môn học cụ thể “Hội nghịTrung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo ” đãkhẳng định nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng cao dân trí, phổ cập giáo dục phổthông cho toàn dân, song song nhiệm vụ đó cần phải bồi dưỡng nhân tài, phát hiệncác học sinh có năng khiếu ở trường phổ thông và có kế hoạch đào tạo riêng để họthành những cán bộ khoa học kĩ thuật nồng cốt Hiện tại các tài liệu viết về chuyên

đề số phức khá phong phú, tuy nhiên chưa có tài liệu nào nghiên cứu sâu về việcphát triển năng lực tư duy học sinh thông qua việc dạy về số phức Vì vậy, tôi đã

chọn và nghiên cứu đề tài “Một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằm

phát triển năng lực tư duy cho học sinh”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng, phát triển năng lực và phẩmchất cho học sinh THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Cơ sở lý luận của đề tài

- Các biện pháp xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy chohọc sinh lớp 12 thông qua chuyên đề số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của lí thuyết

- Nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo, các đề thi thử của cáctrường THPT trong cả nước.

- Thực nghiệm: Khảo sát học sinh ở các lớp 12A, 12G

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Khái niệm nhận thức

Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lý của con người Nó

là tiền đề của hai mặt kia và đồng thời có quan hệ chặt chẽ với chúng và với cáchiện tượng tâm lý khác

Những phẩm chất của tư duy bao gồm

Tính định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính độc lập

và tính khái quát Để đạt được những phẩm chất tư duy trên, trong quá trình dạy

học, chúng ta cần chú ý rèn cho học sinh bằng cách nào?

2.1.2 Rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học ở trường trung học phổ thông

Trong logic học, người ta thường biết có ba phương pháp hình thành những phán đoán mới: Quy nạp, suy diễn và loại suy.Ba phương pháp này có quan hệ chặtchẽ với những thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng ,khái quát hoá

Phân tích "Là quá trình tách các bộ phận của sự vật hoặc hiện tượng tự nhiên của

hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng theo một hướng xác định" Nhưvậy, từ một số yếu tố, một vài bộ phận của sự vật hiện tượng tiến đến nhận thức trọnvẹn các sự vật hiện tượng Vì lẽ đó, môn khoa học nào trong trường phổ thông cũngthông qua phân tích của cả giáo viên cũng như học sinh để bảo đảm truyền thụ và lĩnhhội

Tổng hợp "Là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập

tính chất thống nhất của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trongviệc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệgiữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, liên kết giữa chúng được một sự vật và hiệntượng nguyên vẹn mới" Phân tích và tổng hợp là hai quá trình có liên hệ biện chứng

So sánh "Là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật hiện tượng của

hiện thực" Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực quan trọng

Khái quát hoá là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ

chung, bản chất của sự vật và hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thứckhái niệm, định luật, quy tắc

2.1.3 Đánh giá trình độ phát triển của tư duy học sinh

* Đánh giá khả năng nắm vững những cơ sở khoa học một cách tự giác, tự lực, tíchcực và sáng tạo của học sinh (nắm vững là hiểu, nhớ và vận dụng thành thạo)

* Đánh giá trình độ phát triển năng lực nhận thức và năng lực thực hành trên cơ sởcủa quá trình nắm vững hiểu biết

2.2.Thực trạng việc dạy Toán hiện nay

Vài năm trở lại đây, trong kỳ thi THPT quốc gia vấn đề về số phức luônchiếm một tỉ lệ không nhỏ trong đề thi, phần lớn là các câu hỏi ở mức độ dễ, tuynhiên cũng có một vài câu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, gây không ít khókhăn không chỉ cho học sinh mà còn khó khăn cho cả giáo viên Tuy nhiên nếu họcsinh nắm chắc kiến thức cơ bản, có lối tư duy hợp lý, có năng lực phát hiện vấn đề,

có khả năng tư duy sáng tạo thì không có gì có thể làm khó được các em Trongphạm vi sáng kiến này, tôi trình bày một số biện pháp xây dựng bài tập về số phứcnhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh

2.3 Một số biện pháp xây dựng bài tập nhằm phát triển năng lực học sinh 2.3.1 Bài tập rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Ví dụ 1 Số phức sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho

PHVĐ: Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z , z là số ảo khi và chỉ khi zz

GQVĐ:

Ta có z2  z 2 ( )z2  z 2  ( )z2 z2 z2  ( )z2

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng phức, cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B

biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z ' 0 và B’ biểu diễn số phức

'

zz Hai tam giác OAB và OA’B’ có phải là hai tam giác đồng dạng hay không ?[1]

PHVĐ: Hai tam giác OAB và OA’B’ đồng dạng khi OA' OB' A B' '

OA OB  AB  Vậy hai tam giác OAB và OA’B’ đồng dạng.

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 i  z 2 3  i  2 5 Tìm giá trị nhỏnhất của z [2]

PHVĐ: Gọi A(-2; 1), B(2; 3), M(x; y) là điểm biểu diễn z Khi đó, ta có:

z  i MA z  i MB và AB 2 5

Do đó z  2 i  z 2 3  i  2 5  MA MB AB   M thuộc tia đối của tia BA

Yêu cầu của bài toán: tìm GTNN của z , nghĩa là điểm M trên tia đối của tia BA và cách gốc tọa độ O một khoảng nhỏ nhất

-2 O A

2.3.2 Bài tập rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo

Ví dụ 1 Xét số phức z thỏa mãn z 2 2  i  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  z i  z  i ? [2]

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z Do z 2 2  i  2 nên tập hợp điểm M làđường tròn   C : x 22 y 22  4.

Các điểm A1;1, B5; 2 là điểm biểu diễn các số phức 1 i và 5 2i Khi đó,

P MA MB 

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C còn điểm B nằm ngoài đường tròn

 C , mà MA MB AB   17 Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB

22 59 17

a b

Ví dụ 3 Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 2w  3, 2z 3w  6 và z 4w  7 Tínhgiá trị của biểu thức P z w z w  [2]

z P w

2 2 2 2

Vậy giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng 4

2.3.3 Bài tập rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng diễn đạt logic, chính xác

Ví dụ 1 Cho hai số phức z z1 , 2 thoả mãn z1  2, z2  3 Gọi M , N là các điểm

biểu diễn cho z1 và iz2 Biết MON   30 Tính 2 2

1 4 2

Sz  z

Do MON  30 nên áp dụng định lí cosin ta tính được MN 1 Khi đó OMP có MN

đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra OMP cân tại M

16

x y

x

x y y

Suy ra  H là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16 và hai hình tròn

 C1 có tâm I18;0, bán kính R 1 8 và C2 có tâm I20;8, bán kính R 2 8

Gọi S là diện tích của đường tròn C2

Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: 1 2

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT  3 phải có nghiệm a 0 duy nhất.

2.3.4 Xây dựng bài tập có nhiều cách giải khác nhau

Ví dụ 1 Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2   8 6i và z1  z2  2, tìm giá trị

Theo giả thiết ta có

2

2 3

5 1 cos

5

t t

Cách 4 Từ điều kiệnx 32y 42  5 suy ra quỹ

tích các điểm M biểu diễn z là đường tròn tâm (C)

(với N là trung điểm của đoạn AB, K là hình chiếu

của M trên AB).

x

y

K 3

O

I M

1 A

P = 2BA.KN nhỏ nhất khi và chỉ khi KN nhỏ nhất, mà N là trung điểm của

đoạn thẳng AB cố đinh nên KN nhỏ nhất khi KM là tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với AB, từ đó tìm được M(1;3) hay z  1 3i z i  17

Ví dụ 3 Cho số phức z thõa mãn z   1 i 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  z i  z  i [2]

Cách 1: Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn cho số phức z Gọi I1; 1  , A  2;1, B2;3

lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1 i ;  2 i; 2 3i Khi đó, ta có:

P ME EA EB  ME  , với E0; 2 là trung điểm của AB Do đó

P có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME có giá trị lớn nhất

5

2

3 2

O

y

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK.

Do đó MA 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C và đoạn thẳng BK.Phương trình đường thẳng BK x : 2

2.3.5 Xây dựng bài tập theo hướng phát triển

Ví dụ 1 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 Tìm GTLN và GTNN của z 3 4  i

Gọi z x yi  và M x y( ; )là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức Từ điều

kiện z 1 suy ra M thuộc đường tròn (C): x2 y2  1 tâm O(0; 0), bán kính R = 1.

M2

M1

A 4

3

O

1 M

Cách 2 Gọi z x yi  và M x y( ; )là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng

phức Từ điều kiện z 1 suy ra M thuộc đường tròn (C): x2 y2  1 tâm O(0; 0), bán

kính R = 1

Đặt x sin ,t y cost, khi đó z 3 4  i  sint 32cost 42  26  6sint 8cost

Mặt khác  10 6sin  t 8cost 10 hay

Do đó 4  z 3 4  i  6 Vậy z 3 4  imax  6 , z 3 4  imin  4

Cách 3 Gọi z x yi  và M x y( ; )là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng

phức Từ điều kiện z 1 suy ra M thuộc đường tròn (C): x2 y2  1 tâm O(0; 0), bán

Tập hợp các điểm M(a; b) biểu diễn số

phức z là đường tròn (C) tâm I(3; 2),

bán kính R = 2

Gọi A(-1; 2) là điểm biểu diễn số phức –

1 + 2i Gọi M1, M2 là các giao điểm của

đường tròn với đường thẳng IM.

3 O

I A

1

Ví dụ 3 Xét các số phức z a bi  (a b  , ) thỏa mãn z 3 2  i  2 Tính T  a b

khi z  1 2i  z 2 3  i đạt giá trị nhỏ nhất

Tập hợp các điểm M(a; b) biểu diễn số

phức z là đường tròn (C) tâm I(3; 2),

bán kính R = 2

Gọi A(-1; 2), B(2; 5) là các điểm biểu

diễn số phức – 1 + 2i và số phức 2 + 5i.

Đường thẳng qua I vuông góc với

đường thẳng AB cắt đường trong (C) tại

O

I A

Vậy GTNN của P là bằng 6 đạt được khi z  2 2  3i T   4 3.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Trong những năm qua, khi giảng dạy, ôn thi THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi

về phần số phức tôi đã cung cấp cho đồng nghiệp và các em học sinh lớp 12 củatrường THPT Mai Anh Tuấn một số biện pháp xây dựng bài tập về số phức nhằmphát triển năng lực tư duy cho học sinh, kết quả cho thấy các biện pháp này đã giúpcho học sinh một hướng đi rõ ràng, một cách nhìn tổng quát, toàn diện, tự tin hơnkhi phải đối mặt với những bài toán khó về số phức

Qua khảo sát học sinh lớp 12 các năm học 2017 – 2018 và năm học 2018 –

2019, tôi nhận thấy số lượng học sinh giải quyết được những câu ở mức độ khó đãchiếm tỉ lệ cao hơn nhiều so với những năm học trước Qua kết quả trên và nhữngnhận định, góp ý của đồng nghiệp, chúng ta có thể khẳng định: Nếu vận dụng sángkiến vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Mai Anh Tuấn thì sẽ góp một phầnquan trọng nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán trong nhà trường

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận

Qua nghiên cứu, vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi nhận thấy:Học sinh có thể vận dụng linh hoạt hơn kiến thức vào việc giải quyết các bài toánliên quan; nhiều em luôn luôn đặt ra các câu hỏi như là: còn cách nào khác để giảiquyết bài toán này hay không, có thể phát triển bài toán theo hướng nào khác haykhông?

Tuy nhiên tôi mới chỉ áp dụng sáng kiến này ở trên các lớp mũi nhọn của nhàtrường và nhận thấy kết quả khá tốt, trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để

có thể vận dụng giảng dạy ở các lớp có chất lượng thấp hơn

3.2 Kiến nghị

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song kinh nghiệm giảng dạy nói chung và bồidưỡng học sinh giỏi nói riêng còn có hạn chế Vì vậy, bài viết này không tránh khỏinhững thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và bạn đọc để đề tàiđược hoàn thiện, hiệu quả hơn

Xin trân trọng cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 2 tháng 6 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trịnh Ngọc Sơn

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12

[2] Các bài từ đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT năm 2017 - 2018

MỤC LỤC

1.Mở đầu Trang

học sinh

3

2.3.1 Bài tập rèn luyện năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 3 2.3.2 Bài tập rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo 4 2.3.3 Bài tập rèn luyện khả năng suy luận, kỹ năng diễn đạt

logic, chính xác

7

2.3.4 Xây dựng bài tập có nhiều cách giải khác nhau 10 2.3.5 Xây dựng bài tập theo hướng phát triển 16 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường