Tai lieu on thi tn12

Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hồnh nếu cĩ, tìm thêm điểm phụ nếu cần rồi vẽ đồ thị hàm số...  Lăng trụ đều là lăn

Tài Tài liệu ôn thi tốt nghiệp (2010–2011)

I.ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1) Tính tăng giảm và cực trị:Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

* Hàm số đồng biến (tăng) trên D ⇔ y’ ≥ 0, ∀x∈D ;

* Hàm số nghịch biến (giảm) trên D ⇔ y’ ≤ 0, ∀x∈D

* Hàm số cĩ cực trị ⇔ y’= 0 hoặc khơng xác định tại xo & đổi dấu khi x qua xo

* Hàm số cĩ cực trị tại x0 ⇔  "( ) 0'( ) 0=≠



o o

y x

* Hàm số đạt CĐ (CT) tại x0 ⇔ 0

0

'( ) 0 ''( ) 0( 0)

y x

y x

=





Chú ý:

 Đối với hàm nhất biến : Hàm số tăng ⇔ y’ > 0 ; Hàm số giảm ⇔ y’ < 0

 Nếu y’ cĩ dạng tam thức bậc hai thì Hsố cĩ cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần ⇔ y’= 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0 BÀI TẬP :

Bài 1 Tìm m để hàm số y = x3 –m

2 x

2 + x đồng biến trên khoảng của tập xác định của nĩ

Bài 2 Tìm m để hàm số y = mx 1

12x m

+ + nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định của nĩ.

Bài 3

II.GTLN, GTNN

 Tính y’

 Lập BBT trên (a ; b )

 Kết luận :

( ) ;

maxa b y=y CD hoặc min( )a b; y=y CT

 Tính y’

 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 ∈( )a b;

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , nhỏ nhất m kết luận

[ ] ;

max =

a b y M , min[ ]; =

a b y m

BÀI TẬP : TIM GIA TRỊ LỚN NHẤT VA GIA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CAC HAM SỐ

( )

1

x

f x

x

+

=

− trên đoạn [2 ; 4] (TNBT_2009)

d)

e) y = x – e2x trên [–1; 1]

III KHẢO SÁT HÀM SỐ : Gồm các bước:

Bước 1: Tập xác định

Bước 2: Tính và xét dấu y’ ( y’=0 ⇔ x=? ⇒ y=?)

Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái tại điểm gián đoạn (hàm nhất biến), giới hạn khi x dần đến +∞, −∞

đồng thời chỉ ra tiệm cận (nếu cĩ)

Bước 4: Tĩm tắt 3 bước trên qua bảng biến thiên

Kết luận về tính tăng giảm và cực trị của hàm số

Bước 5: Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hồnh (nếu cĩ), tìm thêm điểm phụ (nếu cần) rồi vẽ đồ thị hàm số

a) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0)

* D =  * y’ = 3ax2 – 2bx + c

* Có 2 cực trị (∆’ > 0) hoặc không có cực trị (∆’≤ 0) Lúc đó

Hàm số luôn đồng biến (nghịch biến) trên R khi a > 0 (a < 0)

Đồ thị đối xứng qua điểm uốn

b) Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0)

* D =  * y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

* Có 3 cực trị (a.b < 0 hoặc chỉ có 1 cực trị(a.b ≥ 0)

* Đồ thị có trục đối xứng là trục tung

c) Hàm nhất biến: y =ax b

cx d

+ + ( c ≠ 0 & ad – bc ≠ 0)

* D = \−d c

* y' (ad bc)2

cx d

−

=

+ y’ luôn dương hoặc luôn âm Không có cực trị.

* Có một TCĐ: x = − d/c và một TCN: y = a/c

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Vấn đề 1: Sự tương giao của hai đường

y = f(x): (C) ; y = g(x): (C’)

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) & (C’): f(x) = g(x) Số nghiệm của phương trình là số điểm chung

Vấn đề 2: Biện luận số nghiệm của 1 phương trình bằng đồ thị

 Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = m hay f(x) = h(m) (1)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = m (h(m)) cùng phương Ox.

 Số điểm chung là số nghiệm của phương trình (1)

Vấn đề 3: Điều kiện tiếp xúc giữa hai đường

y = f(x): (C); y = g(x): (C’)

 Điều kiện (C) và (C’) tiếp xúc nhau ⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm:f x f x'( )( )==g x g x( )'( )



( Nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm)

Vấn đề 4: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):y=f(x)

Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ; y0 ) là: y – y0 = y’ (x 0 ) ( x – x 0 ) Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) Nếu biết một trong ba số đó ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 ).

Chú ý :

 k = y’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại M ( x0 ; y0 )

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì k = 1

a

−

Các dạng thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0)∈ ( )C có pttt y = y’(x0)(x – x0) + y0

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.

Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0

Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và y0

*Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA)

Gọi M0(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là: y = y’(x0)(x – x0) + y0

tiếp tuyến đi qua A(xA ; yA) nên yA = y’(x0)(xA– x0) + y0

giải pt này tìm được x0, trở về dạng 1

Vấn đề 5: Điểm cố định của họ đường (C m ): y=f(x,m)

(dồn m, rút m, khử m)

A(x0,y0) là điểm cố định của (Cm)⇔ A(x0,y0) ∈ (Cm), ∀m

A 0

=



⇔ y0 = f(x0,m), ∀m⇔ Am2 + Bm + C = 0,∀m hoặc Am + B = 0, ∀m

Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định

Vấn đề 6: Tập hợp điểm M(x;y)

 Tính x và y theo tham số

 Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y

 Giới hạn quỹ tích (nếu có)

Vấn đề 7: CMR điểm I(x 0 ;y 0 ) là tâm đối xứng của (C):y=f(x)

Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo uurOI=(x y0 ; 0)

Công thức đổi trục: 0

0

= +



 = +



x X x

y Y y

Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)

Chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ

Suy ra I(x0;y0) là tâm đối xứng của (C)

Vấn đề 8: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C).

Dời trục bằng phép tịnh tiến OIuur=(x0 ;0)

Công thức đổi trục  = + 0

 =



x X x

y Y

Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)

C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn

Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C)

BÀI TẬP :

(TNBT_2004)

(TNBT_2005)

(TNBT_2006)

(TNBT_2007)

(TNBT_2008_LẦN 1)

(TNBT_2008_LẦN 2)

(TNBT_2009)

(TNBT_2010)

(TNPT_2009)

(TNPT_2010)

(TNPT_1997)

IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

1/ Phương trình mũ - logarít cơ bản :

Cần nhớ: log ( ) loga x x1 2 = a x1 + loga x2; 1

2

log ( ) loga x a x loga x

x = − ; logaα bβ β loga b

α

log

c a

c

a b

b

= ; aloga x=x ;

Dạng a x = b (0 < a ≠ 1 )

 b≤0 : pt vô nghiệm

 b > 0 : x log

a

Dạng loga x b= ( 0 < a ≠ 1)

 Điều kiện : x > 0

a x b= ⇔ =x a

2/Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ

BÀI TẬP: Giải các PT sau:

x 10 x 5

x 10 x 15

16 +− =0,125.8 −+ i) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x j)4x2+2−9.2x2+2+ =8 0 k)6.9x−13.6x+6.4x =0 l)

x 17

x 5

x 3

x 7 1

4

+ +

−

− =

V TÍCH PHÂN

Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số thường gặp

C

x

dx= +

∫

( 1)

1

1

≠ +

+

= +

α

α

x

( 0)

=

x

dx

C e

dx

e x = x +

∫

(0 1)

=

a

a

dx

C x

∫cos sin

C x

C x dx

cos

1

2

C x dx

sin

1

2

a b ax

1

≠ +

+

+

=

α

α

a dx b ax

( 0)

ln 1

≠ + +

= +

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

a dx b

(ax b)dx=a (ax+b)+C +

cos

1

2

(ax b)dx= −a (ax+b)+C +

sin

1

2

Nguyên hàm của những hàm số hợp

C

u

du= +

∫

( 1)

1

1

≠ + +

= +

α

α

u

( 0)

=

u

du

C e

du

e u = u +

∫

(0 1)

=

a

a

dx

C u

∫cos sin

C u

C u du

cos

1

2

C u du

sin 1

2

Dạng 1: Tính trực tiếp:b ( ) ( ) b ( ) ( )

a a

f x dx=F x  =F b −F a

∫

Chú ý: Ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( ) ( )

b a

f u x u x dx  ′ = f t dt F t=

(Với x = a thì t = c; x = b thì t = d)

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :

Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số

(sin )cos

1 cot sin

x

(cos )sin

( )ln 1

x

1

tan

cos

x

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

( )

b a

Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :

Dạng 1 : c ( ) ( )

a p x q x dx

∫ (p x : đa thức; ( ) q x :( ) sinα( )x ;cosα( )x ; ( )x

eα ) ta đặt : ( )

( )

dv q x dx

=



 =



Dạng 2 : b ( ) ( )

a p x q x dx

( )

u q x

=



 =



BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:

n) o) p)

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : ( )C1 :y= f x( ) ( ); C2 :y g x x a x b a b= ( ); = ; = ( < )(trong đó hai

đường thẳng x a x b= ; = có thể thiếu một hoặc cả hai)

Công thức : b ( ) ( )

a

∫

Các bước thực hiện :

Bước 1 : Giải phương trình hoành độ giao điểm của ( ) ( )C1 & C để tìm các nghiệm thuộc 2 ( )a b Giả sử được ; các nghiệm là :x x1, , ,2 K x nvà a x< <1 x2 < <L x n<b

Bước 2 : Áp dụng công thức :

( ) ( )

b

a

n

1

n

Chú ý :

Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình f x( ) =g x( ) tương ứng

là a và b

Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình f x( ) =g x( ) ta chỉ nhận những nghiệm thuộc ( )a b ; (nếu có) Những nghiệm không thuộc đoạn [ ]a b phải loại bỏ.;

Thể tích của khối tròn xoay.

Công thức :

Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi : ( )C :y= f x Ox x a x b a b( ); ; = ; = ( < ) (trong đó hai đường x a= &x b= có

thể thiếu một hoặc cả hai) Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox Khi đó thể tích của khối tròn xoay được sinh

ra là :

( ) 2

b

a

V =π∫f x  dx

Các bước thực hiện :

Bước 1 : Nếu hai đường x a= &x b= đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình f x( ) =0(phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục Ox) để tìm.

Bước 2 : Áp dụng công thức

Chú ý :

Nếu đề bài đã cho đầy đủ cả a và b thì không cần giải phương trình f x( ) =0.

Nếu để bài không cho a và b thì giải phương trình f x( ) =0 để tìm Phương trình này có thể có nhiều hơn hai

nghiệm Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần chèn vào

trong quá trình tính tích phân

BÀI TẬP:

(TNBT_2006)

(TNPT_1995)

(TNPT_1996)

(TNPT_2001)

(TNPT_2004)

(TNPT_2005)

VII SỐ PHỨC

•Số i : i2 = -1 •Số phức dạng : z = a + bi, a: Phần thực, b :phần ảo

•Môđun của số phức : z = a2 +b2 •Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi= −

•a+ bi = c + di a c

b d

=



 • (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

• (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i • (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

a bi c di

a bi

•Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; , ,a b c R∈ ) Đặt ∆ =b2 −4ac

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =

2

b a

−

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2

2

b x

a

− ± ∆

=

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 1,2

2

b i x

a

=

BÀI TẬP :

Bài 1 : Giải các PT :

z + z − = d) Bài 2 :

a)

b)

c)

d)

e)

f)

VIII THỂ TÍCH

Nhắc lại Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

S=12a.ha = 1 sin .

a b c

a b C

R

= = p r = p p a p b p c.( − )( − )( − )vớip=a b c+ +2

Đặc biệt : ∆ABC vuông ở A : 1 .

2

S= AB AC;  ∆ABC đều cạnh a: 2 3

4

a

S=

b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh

c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = 1

2(chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : 1

2

S= (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

f/ Diện tích hình tròn : S = π.R2

Chú ý:

 Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2,

 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,

 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a2 + +b2 c2 ,

 Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3

2

a

 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, …) và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

 Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V = B.h

(B diện tích đáy, h chiều cao)

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c ( a,b,c là ba kích thước)

Thể tích khối lập phương: V = a3 ( a là độ dài cạnh)

2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V =1

3Bh

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

SABC

SA B C

4 KHỐI NÓN:  V = 13πr2h ;  Sxq = πrl 5 KHỐI TRỤ:  V = π r2h ;  Sxq = 2πrl

6 KHỐI CẦU :  V = 4 3

3

r

π ;  S = 4 πr2

(Hình nón) (Hình trụ) (Hình chóp tứ giác đều) (Hình chóp tam giác đều)

(SA vuông góc với đáy, đáy tam giác) (SA vuông góc với đáy, đáy hbh(h.thoi, h.vuông, h.c.n))

BÀI TẬP:

Bài 1(TNBT_2010)

Bài 2 (TNBT_2009)

Bài 3 (TNPT_2010)

Bài 4.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy là 600 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD

Bài 5 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB a= , góc ·SAC=450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB vuông góc với đáy,

cạnh bên SC bằng a 3.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Bài 9 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 300 , AB = a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Bài 10.Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA a= và vuông góc với đáy, đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B

, ·ACB=60o, cạnh AB a= Tính thể tích của khối chóp S ABC theo a.

Bài 11 (TNPT_2008_Lần 2)

Bài 12 (TNPT_2008_lần 1)

Bài 13 (TNPT_2007)

IX, HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Cho hai vectơ : ar=(a a a1; ;2 3),br=(b b b1; ;2 3)

a)

1 1

a b

=



 =

= ⇔ 

 =



r r

b) a br r± =(a1±b a1; 2 ±b a2; 3±b3)c)Tích vô hướng của hai vectơ: a b a br r = 1 1+a b2 2+a b3 3

ar = a +a +a

d)Góc giữa hai vectơ : Gọi ϕ=( )a; b Khi đó : cos .

| | | |

a b

ϕ =

r r

r r e) a br⊥ ⇔r a br r =0

MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:

* (x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1)

* x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)

Chú ý :

(2) là phương trình mặt cầu ( a2 + b2 + c2 – d > 0)cĩ tâm I(a,b,c) ,bK R = a2 +b2 +c2 −d > 0

KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp ( )α : Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M0; ( )α ) = 0 0 0

MẶT PHẲNG 1) Phương trình tổng quát của mp ( )α có dạng : Ax + By +

CZ + D = 0 (A, B,C ≠ 0) có VTPT nr=(A B C; ; );

Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT nr=(A B C; ; ) thì mp ( )α có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

a b+ + =c

(phương trình theo đoạn chắn) ( ; ;a b c≠0)

4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) và có cặp VTCF ;a br r thì VTPT là:nr=a br r; =(A B C; ; ) là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

ĐƯỜNG THẲNG

0 0 0

1 2 3

( ; ; ) :

; ;

Qua M x y z



 r PTTS của ∆ :

0 1

= +



 = +



 = +



PTCT của ∆ : 0 0 0

2)Cho

' ' 1 1

' '

' '

'

'

o o

o

 = +

= +





Tìm vị trí tương đồi ta xét hệ:

' '

' '

' '

' ' '

o





 + = +



(I)

a) d // d’⇔ 1 1 1

( )I VN





 = =

 hoặc d ≡ d’ ⇔ (I) vơ số nghiệm; b) d cắt d’ tại (x y z0; ;0 0)(I) cĩ nghiệm duy nhất c)d chéo d’ 1 1 1 1 1 1

( )I VN





 hoặc hoặc

3)cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và

1 2

:

o

o

= +



 = +



 = +



⇒ A(x o +a 1 t) + B(y o +a 2 t) + C(z 0 +a 3 t) + D = 0 (1)

Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α); Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α); Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d⊂(α) BÀI TẬP:

Bài 1 (TNBT_2005)

Bài 2 (TNBT_2006)

Bài 3 (TNBT_2007)

Bài 4 (TNBT_2008)

Bài.5(BT_2009)

Bài 6 (TNBT_2010)

Bài 7.(TNPT_2010)

Bài 8 (TNPT_1009)

Bài 9 (TNPT_2008)

Bài 10 (TNPT_2007)

Bài 11 (TNPT_2007_Lần 2)

Bài 12 (TNPT_2006)

Bài 13 Cho mặt cầu ( )S :x2 + y2 +z2 −2x+4y+6z+5=0

a/ Tìm tâm và bán kính của (S)

b/ Viết phương trình mặt phẳng α tiếp xúc với (S) và song song với ( )β :x+2y−2z+1=0